第二章第四节曲面面积

1、第二章曲面论第四节 曲面面积1、 正则曲面的概念设曲面有向量方程，其中，是中的一个区域。也就是说，有参数向量方程，如果与曲面上的点有一一对应关系，且，则称为正则曲面。2、正则曲面面积的定义设正则曲面有参数向量方程表示，。我们来定义曲面的面积。用曲线和曲线把曲面分成小块。每一小块在曲面的切平面上的投影的面积可以近似地表示为，这样，和式就可当作的面积的近似值。加密曲线和曲线，通过极限过程，我们就把此极限值定义为曲面的面积。定义18.1 设正则曲面有参数向量方程表示，,我们称，为曲面的面积，并且记，称为曲面的面积元素，简称面元。特别地，平面图形的面积： 设是平面上的区域，参数方程,其中.这时,从而,

2、则。这正是我们在过去给出的平面图形面积的定义.这说明,一般曲面面积的定义与过去已经给出的平面图形面积的定义没有冲突。3、曲面面积的几种计算公式（1）设正则曲面有参数向量方程，由于，于是；（2）设正则曲面有参数向量方程， 由于，记，从而，有，于是。（3）当曲面是由显式表达时，于是。设曲面的方程为，其中为有界闭区域,在上有连续的偏导数,法向量,则的面积表示为 (1) 图(1)注意到,所以公式(1)也表示为 （2）例1 求圆锥面被圆柱面截下的部分的面积如图(2).解,.,所以 . 图(2)例2 求球面的面积.解 球面的参数方程为.，.,于是有 ,.因此有. 球面参数方程的本质是平面上的区域到三维空间

3、的球面上的映射,表示面积的变化率.（4）旋转曲面的面积 曲线绕轴旋转所得旋转曲面的面积。 显然，曲面的方程为，由此得旋转曲面在正方向的方程为，由此得，于是，面积，其中是旋转曲面在平面的投影区域，于是，（我们看到，这里证明得到的公式与用定积分时用微元法得到公式一致的）。曲线绕轴旋转所得旋转曲面的面积。 则曲面方程为，。4、计算曲面面积的步骤（1） 为曲面求得一个符合要求的参数表示，或显表示，定出它们的定义域或，靠画图形和空间想象力；（2） 计算面积元或者；（3）代入公式转化为计算二重积分，然后按二重积分的计算方法技巧进行。5、计算曲面面积举例例1计算下列曲面的面积： （1）锥面被圆柱面截下的部分

4、； （2）圆柱面被圆柱面截下的部分。解 （1）所截得的曲面为：，；面积；（2） 由图象的对称性，所截得的上半曲面为：，于是所截得曲面的面积 。由对称性，得这两个柱面所围成的封闭曲面的面积 。例2计算下列曲面的面积： （1）圆柱面 介乎平面和之间的部分；（2）球面被椭圆柱面所截下的部分。解（1）所截得曲面在第一卦限的曲面为：，；，于是利用对称性，所求的面积为；（2） 由图象的对称性，所截得的上半曲面为：，由积分区域位于第一象限部分为，于是利用对称性，所求的面积为 。特别地，当时，得到球面面积。例3 求马鞍面被圆柱面所截下的部分曲面的面积。解所截得的曲面为：，于是所截得曲面的面积 。例4求抛物面被柱面截下的部分曲面的面积。解 所截得的曲面为：，于是所截得曲面的面积，由对称性，再采用极坐标变换计算此二重积分，在第一象限内，利用在第一、第三象限内的对称性，得 。例5 求螺旋面：，的面积。解 因为，所以 ， 。例6曲线绕轴旋转所得旋转曲面的面积。则曲面方程为，面积。例7圆曲线绕轴旋转所得旋转曲面称为圆环面，的方程为；的参数表示为：，；时曲面上的曲线称为经线，时曲面上的曲线称为纬线。（1）求环面被两条经线，和两条纬线，所界那部分的面积；（2）求整个环的表面积。解 因为，故，于是，所求的面积为（1）；（2）整个环的表面积