直线与圆锥曲线的位置关系

1、第8讲直线与圆锥曲线的位置关系1直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程AxByC0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程即消去y后得ax2bxc0.(1)当a0时，设一元二次方程ax2bxc0的判别式为，则0直线与圆锥曲线C相交；0直线与圆锥曲线C相切；0直线与圆锥曲线C无公共点(2)当a0，b0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行

2、2圆锥曲线的弦长(1)圆锥曲线的弦长直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长(2)圆锥曲线的弦长的计算设斜率为k(k0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|y1y2|.(抛物线的焦点弦长|AB|x1x2p，为弦AB所在直线的倾斜角)一种方法点差法：在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程“点差法”的常见题

3、型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式是否为正数一条规律“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”双基自测1直线ykxk1与椭圆1的位置关系为()A相交 B相切C相离 D不确定2 “直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3已知以F1(2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线xy40有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为()A3 B2 C2 D44(2012成都月考)已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是

4、E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(12，15)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.15(2011泉州模拟)ykx2与y28x有且仅有一个公共点，则k的取值为_考点一直线与圆锥曲线的位置关系6(2011合肥模拟)设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A. B2,2C1,1 D4,4 研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，但对于选择题、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解7 若直线mxny4与O：x2y24没有交点，则过点P(m，n)

5、的直线与椭圆1的交点个数是()A至多为1 B2 C1 D0考点二弦长及中点弦问题8若直线l与椭圆C：y21交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值 当直线(斜率为k)与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，则|AB|x1x2| |y1y2|，而|x1x2|，可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解9椭圆ax2by21与直线xy10相交于A，B两点，C是AB的中点，若AB2，OC的斜率为，求椭圆的方程考点三圆锥曲线中的最值(或取值范围)问题10(2011湘潭模拟)已知椭

6、圆y21的左焦点为F，O为坐标原点(1)求过点O、F，并且与直线l：x2相切的圆的方程；(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围 直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型11 (2012金华模拟)已知过点A(4,0)的动直线l与抛物线G：x22py(p0)相交于B、C两点当直线l的斜率是时，4.(1)求抛物线G的方程；(

7、2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围考点四定值(定点)问题12(2011四川)椭圆有两顶点A(1,0)、B(1,0)，过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.(1)当|CD|时，求直线l的方程(2)当点P异于A、B两点时，求证：OO为定值 解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路很明确：即定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积等，其不受变化的量所影响的一个值即为定值，化解这类问题的关键是引进参数表示直线方程、数量积等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量，解题

8、过程中要注意讨论直线斜率的存在情况，计算要准确13(2011山东)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：y21.如图所示，斜率为k(k0)且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x3于点D(3，m)(1)求m2k2的最小值；(2)若|OG|2|OD|OE|，求证：直线l过定点14【示例】(本题满分12分)(2011辽宁)如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M、N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e.直线lMN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.(1)设e，求|BC|与

9、|AD|的比值；(2)当e变化时，是否存在直线l，使得BOAN，并说明理由 第(1)问，设C1的方程，C2的方程同样由C1的系数a，b来表示，再分别求点A、B的坐标，进而可求|BC|AD|；第(2)问利用kBOkAN，得t与e、a的关系式，再由|t|a，求e的范围 本题探索的是离心率e的变化范围，化解这个难点的方法首先假设存在直线l，使得BOAN，根据kBOkAN，再由|t|a构建关于e的不等式，解出e的范围，最后作出肯定回答15 已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程；(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两

10、个交点A，B的任一直线，都有0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由1A2A3C4B50或16C7B8解设A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)当ABx轴时，|AB|；(2)当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为ykxm.由已知，得，即m2(k21)把ykxm代入椭圆方程，整理，得(3k21)x26kmx3m230.x1x2，x1x2.|AB|2(1k2)(x2x1)2(1k2)3.当k0时，上式334，当且仅当9k2，即k时等号成立此时|AB|2；当k0时，|AB|，综上所述|AB|max2.当|AB|最大时，AOB面积取最大值Smax|AB|max.9解法一设A(x1，y1)

11、、B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0.而1，koc，代入上式可得ba.再由|AB|x2x1|x2x1|2，其中x1、x2是方程(ab)x22bxb10的两根，故244，将ba代入得a，b.所求椭圆的方程是1.法二由得(ab)x22bxb10.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则|AB|.|AB|2，1.设C(x，y)，则x，y1x，OC的斜率为，.代入，得a，b.椭圆方程为y21.10解(1)a22，b21，c1，F(1,0)，圆过点O，F，圆心M在直线x上设M，则圆半径r，由|OM|r，得 ，解得t，所求圆的方程为2(y)2.(2

12、)设直线AB的方程为yk(x1)(k0)，代入y21，整理得(12k2)x24k2x2k220.直线AB过椭圆的左焦点F且不垂直于x轴，方程有两个不等实根如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)，则x1x2，x0(x1x2)，y0k(x01)，AB的垂直平分线NG的方程为yy0(xx0)令y0，得xGx0ky0，k0，xG0，点G横坐标的取值范围为.11解(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线l的斜率是时，l的方程为y(x4)，即x2y4.由得2y2(8p)y80，又4，y24y1，由及p0得：y11，y24，p2，得抛物线G的方程为x24y.(2)设l

13、：yk(x4)，BC的中点坐标为(x0，y0)，由得x24kx16k0，x02k，y0k(x04)2k24k.线段BC的中垂线方程为y2k24k(x2k)，线段BC的中垂线在y轴上的截距为：b2k24k22(k1)2，对于方程，由16k264k0得k0或k4.b(2，)12 (1)解因椭圆焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0)，由已知得b1，c1，所以a，椭圆方程为x21.直线l垂直于x轴时与题意不符设直线l的方程为ykx1，将其代入椭圆方程化简得(k22)x22kx10. 设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x2，x1x2，|CD|.由已知得，解得k.所以直线l的方程为yx1或

14、yx1.(2)证明直线l与x轴垂直时与题意不符设直线l的方程为ykx1(k0且k1)，所以P点坐标为.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由(1)知x1x2，x1x2，直线AC的方程为y(x1)，直线BD的方程为y(x1)，将两直线方程联立，消去y得.因为1x1，x21，所以与异号22.又y1y2k2x1x2k(x1x2)1，与y1y2异号，与同号，解得xk.因此Q点坐标为(k，y0)OO1.故OO为定值13(1)解设直线l的方程为ykxt(k0)，由题意，t0.由方程组得(3k21)x26ktx3t230.由题意0，所以3k21t2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得

15、x1x2，所以y1y2.由于E为线段AB的中点，因此xE，yE，此时kOE.所以OE所在直线方程为yx，又由题设知D(3，m)，令x3，得m，即mk1，所以m2k22mk2，当且仅当mk1时上式等号成立，此时由0得0t2，因此当mk1且0t2时，m2k2取最小值2.(2)证明由(1)知OD所在直线的方程为yx，将其代入椭圆C的方程，并由k0，解得G.又E，D，由距离公式及t0得|OG|222，|OD| ，|OE| ，由|OG|2|OD|OE|得tk，因此直线l的方程为yk(x1)，所以直线l恒过定点(1,0)14(1)因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设C1：1，C2：1，(ab0)设直线

16、l：xt(|t|a)，分别与C1，C2的方程联立，求得A(t，)，B.(4分)当e时，ba，分别用yA，yB表示A，B的纵坐标，可知|BC|AD|.(6分)(2)t0时的l不符合题意t0时，BOAN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即，(8分)解得ta.因为|t|a，又0e1，所以1，解得e1.(10分)所以当0e时，不存在直线l，使得BOAN；当e1时，存在直线l，使得BOAN.(12分)15(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足：x1(x0)化简得y24x(x0)(2)设过点M(m,0)(m0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)

17、设l的方程为xtym，由得y24ty4m0，16(t2m)0，于是又(x11，y1)，(x21，y2)0(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1y1y20.又x，于是不等式等价于y1y210y1y2(y1y2)22y1y210，由式，不等式等价于m26m14t2，对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式对于一切t成立等价于m26m10，即32m32.由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有0，且m的取值范围是(32，32)第9讲曲线与方程1曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了

18、如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线2直接法求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标(2)写出适合条件p的点M的集合PM|p(M)(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)0.(4)化方程f(x，y)0为最简形式(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上3两曲线的交点(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，

19、方程组无解，两条曲线就没有交点(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题一个主题通过坐标法，由已知条件求轨迹方程，通过对方程的研究，明确曲线的位置、形状以及性质是解析几何需要完成的两大任务，是解析几何的核心问题，也是高考的热点之一四个步骤对于中点弦问题，常有的解题方法是点差法，其解题步骤为：设点：即设出弦的两端点坐标；代入：即代入圆锥曲线方程；作差：即两式相减，再用平方差公式把上式展开；整理：即转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解五种方法求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系

20、F(x，y)0；(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(4)代入转移法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程；(5)参数法：当动点P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程双基自测1f(x0，y0)0是点P(

21、x0，y0)在曲线f(x，y)0上的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2(2012泉州质检)方程x2xyx的曲线是()A一个点B一条直线C两条直线D一个点和一条直线3(2012合肥月考)已知点P是直线2xy30上的一个动点，定点M(1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|MQ|，则Q点的轨迹方程是()A2xy10B2xy50C2xy10D2xy504(2012福州模拟)若点P到直线x1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为()A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线5(2011北京)曲线C是平面内与两个定点F1(1,0)和F2(1,0)的距离的积等于

22、常数a2(a1)的点的轨迹给出下列三个结论：曲线C过坐标原点；曲线C关于坐标原点对称；若点P在曲线C上，则F1PF2的面积不大于a2.其中，所有正确结论的序号是_考向一直接法求轨迹方程6已知O的方程是x2y220，O的方程是x2y28x100，如图所示由动点P向O和O所引的切线长相等，求动点P的轨迹方程 直接法求曲线方程的一般步骤：(1)建立恰当的坐标系，设动点坐标(x，y)；(2)列出几何等量关系式；(3)用坐标条件变为方程f(x，y)0；(4)变方程为最简方程；(5)检验，就是要检验点轨迹的纯粹性与完备性7 如图所示，过点P(2,4)作互相垂直的直线l1，l2.若l1交x轴于A，l2交y轴

23、于B，求线段AB中点M的轨迹方程考向二定义法求轨迹方程8一动圆与圆x2y26x50外切，同时与圆x2y26x910内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么曲线审题视点 由曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程 在利用圆锥曲线定义求轨迹时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程，若所求轨迹是某种圆锥曲线上的特定点的轨迹，则利用圆锥曲线的定义列出等式，化简求得方程，同时注意变量范围9已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程考向三参数法、相关点法求轨迹方程10已知抛物线y24px(p0)，

24、O为顶点，A，B为抛物线上的两动点，且满足OAOB，如果OMAB于M点，求点M的轨迹方程 在一些很难找到形成曲线的动点P(x，y)的坐标x，y所满足的关系式的情况下，往往借助第三个变量t，建立t和x，t和y的关系式x(t)，yx(t)，再通过一些条件消掉t就间接找到了x和y所满足的方程，从而求出动点P(x，y)所形成的曲线的普通方程11 如图所示，从双曲线x2y21上一点Q引直线xy2的垂线，垂足为N.求线段QN的中点P的轨迹方程12(本小题满分12分)(2011天津)在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)(ab0) 为动点，F1、F2分别为椭圆1的左、右焦点已知F1PF2为等腰三角形(1)

25、求椭圆的离心率e；(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足AB2，求点M的轨迹方程 第(1)问设出焦点坐标，根据|PF2|F1F2|列出等式，解方程即可求得；第(2)问根据题意设出A，B两点坐标，代入关系式2即可求得点M的轨迹方程 代入法求曲线方程的难点是建立x，y，x0，y0所满足的两个关系式，这需要根据问题的具体情况，充分利用已知条件列出关系式，一般需要找到两个互相独立的条件建立两个方程，通过这两个方程所组成的方程组用x，y表达x0，y0.1C2C3D4D56解设P(x，y)，由圆O的方程为(x4)2y26，及已知|AP|BP|，故|OP|2|AO|2|OP|2

26、|OB|2，则|OP|22|OP|26.x2y22(x4)2y26，x，故动点P的轨迹方程是x.7解设点M的坐标为(x，y)，M是线段AB的中点，A点的坐标为(2x,0)，B点的坐标为(0,2y)(2x2，4)，(2,2y4)由已知0，2(2x2)4(2y4)0，即x2y50.线段AB中点M的轨迹方程为x2y50.8解如图所示，设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，设已知圆的圆心分别为O1、O2，将圆的方程分别配方得：(x3)2y24，(x3)2y2100，当动圆与圆O1相外切时，有|O1M|R2.当动圆与圆O2相内切时，有|O2M|10R.将两式相加，得|O1M|O2M|12|O1O2|，动圆圆心M(x，y)到点O1(3,0)和O2(3,0)的距离和是常数12，所以点M的轨迹是焦点为O1(3,0)、O2(3,0)，长轴长等于12的椭圆