第三章导数与微分 (2)

1、第三章 导数与微分本章教学要求 1.理解导数和微分的概念及其几何意义，会用导数（变化率）描述一些简单的实际问题.2.熟练掌握导数和微分的四则运算法则和基本初等函数的求导公式.3.熟练掌握复合函数、隐函数以及由参数方程所确定的函数的一阶导数的求法.4.了解高阶导数的概念，熟练掌握初等函数的二阶导数的求法.5.了解可导、可微、连续之间的关系.重点:导数的概念及其几何意义，计算导数的方法，初等函数的二阶导数的求法.难点:求复合函数和隐函数的导数的方法.第一节 导数的概念一、引例为了说明微分学的基本概念导数，我们先讨论两个问题：速度问题和切线问题。1、直线运动的速度设某点沿直线运动，运动完全由位置函数

2、函数所确定。非匀速运动的动点从位置移动到,求在时刻t0的速度应如何理解,又如何求得呢？最简单的匀速运动情形，（1）如果运动不是匀速的，那末在运动的不同时间间隔内，比值(1)会有不同的值。这样，把比值(1)笼统地称为该点的速度就不合适了，而需要按不同时刻来考虑。首先去从时刻t0到t这样一个时间间隔，在这段时间内，动点从位置移动到。这时由(1)式算得比值 （2）可认为是动点在上述时间间隔内的平均速度。如果时间间隔选得较短，这个比值(2)在实践中也可用来说明动点在时刻t0的速度。但对于动点在时刻t0的速度的精确概念来说，这样做是不够的。，而更确切地应当这样：令，取(2)式的极限，如果这个极限存在，设

3、为v，即 （3）这时就把这个极限值称为动点在时刻t0的瞬时速度。2、切线问题(1)切线的定义：设由曲线C及C上的一点M，在点M外另取C上一点N，做割线MN。当点N沿曲线C趋于点M时，如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置MT，直线MT就称为 曲线C在点M处的切线。这里极限位置的含义是：只要弦长趋于零，也趋于零。现在就曲线C为函数的图形的情形来讨论切线问题。设是曲线C上的一点，则。根据上述定义要定出曲线C在点M处的切线，只要定出切线的斜率就行了。为此，在点M外另取上的一点，于是割线MN的斜率为 （4）其中为割线MN的倾角。当点N沿曲线C趋于点M时，。如果当 时，上式的极限存在，设为k，即 （5）存

4、在，则此极限k是割线斜率的极限，也就是切线的斜率。这里，其中是切线MT的倾角。于是，通过点且以k为斜率的直线MT便是曲线C在点M处的切线。事实上，由以及时，可见时，(这时)，。因此直线MT确为曲线C在点M处的切线。二、导数的定义在自然科学和工程技术领域内，还有许多概念，例如电流强度、角速度、线密度等等，都可归结为形如(3)、（5）式的数学形式。我们撇开这些量的具体意义，抓住他们在数量关系上的共性，就得出函数的导数概念。1、导数的定义定义1 (导数) 设函数在点的某个领域内有定义，当自变量在处取得增量时(点仍在该领域内)，相应地函数y取得增量，如果与之比当时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这

5、个极限为函数在点处的导数，记为，即 （6）也可记作 或 注解:函数在点处可导时，也称在点具有导数或导数存在。如果极限(6)不存在，称函数在点处不可导。导数的定义式也可取不同的形式，常见的有 （7）和 （8） 式(7)中h的即自变量的增量、若时，则函数在处是不可导的。但为了描述函数的这一特殊性态，我们宁愿称函数在处的导数为无穷大。并赋予它记号：。定义2（导函数） 上面讲的是函数在一点处可导，如果函数在开区间I内的每一点都可导，就称函数在开区间I内可导。这时，对于任一，都对应着的一个确定的导数值。这样就构成了一个新的函数，这个函数叫做原来函数的导函数， （9） 记作或。例1求在处的导数.解:由导数

6、的定义知注解: 在(6)式或(7)式中把换成，即得导函数的定义式或在以上两式中，虽然可以取区间I内的任何数值，但在极限过程中，是常量，或是变量。函数在点处的导数就是导数在点处的函数值，即导函数简称导数， 例2求的导函数(导数).解:由导数的定义知2、左、右导数根据函数在点处的导数的定义，是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等，因此存在即在点处可导的充分必要条件是左、右极限 及 都存在且相等。这两个极限分别称为函数在点处的左导数和右导数，记作及，即 （10） （11）特别地，函数在点可导的充分必要条件是在点处左导数、右导数都存在且相等。例3求函数在的导数解： 不存在。即在不

7、可导。 函数在的左导数及右导数 都存在，但不相等，故函数在处不可导。另外,如果函数在开区间内可导，且及都存在，就说在闭区间上可导。3、导数的几何意义（1）函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处的切线的斜率，即其中是切线的倾角。（2） 如果在点处的导数为无穷大，这时曲线的割线以垂直于轴的直线为极限位置，即曲线在点处具有垂直于轴的切线。 （3） 根据导数的几何意义并应用直线的点斜式方程，可知曲线在点处的切线方程为 过切点且与切线垂直的直线叫做曲线在点处的法线。如果，法线的斜率为，从而法线方程为例4求曲线的通过点的切线方程解设切点为，这切线的斜率为于是所求切线方程可设为 (12)切点在曲线上，故有

8、(13)切线(11)通过点，故有 (14)求得方程(13)及(14)组成的方程组的解为,代入(11)式并化简，即得所求切线方程为 4、变化率模型在实际中，需要讨论各种具有不同意义的变化快慢问题，在数学上就是所谓的函数的变化率问题。导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述，他撇开了自变量和因变量所代表的几何或物理等方面的特殊意义，纯粹从数量方面来刻划变化率的本质：因变量增量与自变量增量之比是因变量在以和为端点的区间上的平均变化率，而导数则是因变量在点处的变换率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。例5 电流模型设在0，t这段区间内通过导线横截面的电荷为 ，求时刻的电流解：对恒定电流 非

9、恒定电流：，例6 化学反应速度模型 在化学反应中，某种物质的浓度 和时间 的关系为=求在 时刻该物质的瞬时速度。解：当时间从变到是，浓度的改变量为浓度函数的平均变化率为=当时， 时刻的瞬时反应速度为=三、函数的可导性与连续性的关系设函数在点处可导，即存在。由具有极限的函数与无穷小的关系知道其中当时为无穷小。上式两边同乘以，得由此可见，当时，。这就是说，函数在点处是连续的。所以，如果函数在点处可导，则函数在该点必连续。 另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点处可导。举例说明如下：例7 函数在区间内连续，但在点处不可导。这是因为在点处有因而，即导数为无穷大(注意，导数不存在)。这事实在图形中表

10、现为曲线在原点具有垂直于轴的切线。例8 函数(即)在内连续，但在例6中已经看到，这函数在处不可导。曲线在原点没有切线 由以上讨论可知，函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件。四、求导举例下面根据导数的定义来求一些简单函数的导数。例9 求函数(C为常数)的导数解 即 这就是说，常数的导数等于零。例10求函数(n为正整数)在处的导数解 把以上结果中的换成得。 更一般地，对于幂函数(为常数)，有这就是幂函数的导数公式。这公式的证明将在以后讨论。利用这公式，可以很方便地求出幂函数的导数，例如例11求函数的导数 解 即 用类似的方法，可以求得例12 求函数的导数 解 即 特别 上式表明

11、，以e为底的指数函数的导数就是他自己，这是以e为底的指数函数的一个重要特性。例13 求函数的导数解即 特别 例14 求 ，的导数.解:当时， ， 当时，当时，所以 ，因此 ，于是 注意: 求分段函数的导数时，除了在分界点处的导数用导数定义求之外，其余点则仍按初等函数的求导公式求得,要熟练导数的定义式.小结:1、基本知识点：导数、导函数的概念，左、右导数，可导与连续的关系，2、区分导数与导函数的概念，掌握可导与左、右导数的关系3、利用导数定义求基本函数的导数、分段函数求导（要注意分界点的导数的求法）第二节 求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则前面我们根据导数的定义，求出了一些简单函数的导数

12、。但是，对于比较复杂的函数，直接根据定义来求他们的导数往往很困难，在本节和下节中，将介绍求导数的几个基本法则和基本初等函数的导数公式。借助于这些法则和公式，就能比较方便地求出常见的函数初等函数的导数本节探索函数的和、差、积、商的求导法则。为此，设函数及在点具有导数及，并分别考虑这两个函数的和、差、积、商在点的导数1.设，则由导数的定义有这表示，函数在点处也可导，且 以上结果简单地写成 类似地可得 由此的函数和、差的求导法则：两个可导函数之和(差)的导数等于这两个函数的导数之和(差)。 这个法则可推广到任意有限项的情形，例如2.设，则由导数定义有其中是由于存在，故在点连续。 因此，函数在点处也可

13、导，且 以上结果简单地写成 由此可得函数积的求导法则：两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数与第二个因子的乘积，加上第一个因子与第二个因子的导数的乘积. 特殊地，如果(为常数)，则因，故有这就是说，求一个常数与一个可导函数的乘积的导数时，常数因子可以提到求导记号外面去。 积的求导法则也可以推广到任意有限个函数之积的情形，例如例1，求解：例2，求及解例3，求解3.设，则由导数定义有这表示，函数在点处也可导，且 以上结果简单地写成 由此得函数商的求导法则：两个可导函数之商的导数等于分子的导数与分母的乘积减去分母的导数与分子的乘积，在除以分母的平方。注解：条件不容忽视。不可将商的求导法则记成：“

14、商的求导，楼上一撇，楼下一撇”、一个常用推论：(此处负号容易出错 ) 例4，求解即 例5 ，求解即 这就是正割函数的求导公式。 用类似方法，还可求得余切函数及余割函数的导数公式：二、复合函数的求导法则到目前为止，对于那样的函数，我们还不知道它们是否可导，可导的话如何求它们的导数。这些问题借助于下面的重要法则可以得以解决，从而使可以求导数的函数的范围得到很大的扩充。复合函数求导法则：如果在点可导，而在点可导，则复合函数在点可导，且其导数为证 由在点可导，因此存在，于是根据极限与无穷小的关系有，其中是时的无穷小。上式中，用乘上式两边，得用除上式两边，得于是 根据函数在某点可导必在该点连续的性质知道

15、，当时，从而可以推知又因在点可导，有，故 ，即 证毕。 更一般地，根据上述法则，如果在开区间内可导，在开区间内可导，且当时，对应的，那么复合函数在区间内可导，且下公式成立：复合函数求导法则是一个非常重要的法则，特给出如下注记：求导法则也称锁链法则，有点“顺藤摸瓜”的味道yux欲求对的导数，先求对的导数，再求对 的导数，最后将它们相乘。弄懂了锁链规则的实质之后，不难给出复合更多层函数的求导公式：，求引入中间变量，设，于是变量关系是，由锁链规则有：用锁链规则求导的关键:引入中间变量，将复合函数分解成基本初等函数。还应注意：求导完成后，应将引入的中间变量代换成原自变量。例6，求 解可看作由复合而成，

16、因此例7，求解可看作由复合而成，因此例8，求解可看作由复合而成，因所以 对复合函数的分解比较熟练后，就不必再写出中间变量，而可以采用下列例题的方式来计算。 例9,求解例10，求解 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形， 例11，求解 所给函数可分解为，因，故 不写出中间变量，此例可这样写：例12，求解例13(为常数),求解 首先应用积的求导法则得，回需用复合函数的求导法则，由此得 最后，就的情形证明幂函数的导数公式 因为，所以求导小结：从以上例子看出，应用复合函数求导法则时，首先要分析所给函数可看作有哪些函数复合而成，或者说，所给函数能分解成哪些函数。如果所给函数能分解成比较简单的函

17、数，而这些简单函数的导数我们已经会求，那末应用复合函数求导法则就可以求所给函数的导数了。三、反函数的求导法则设是直接函数，是它的反函数。由第一章第一节定理4知道，如果在区间内单调且连续，那么它的反函数在对应区间内也是单调且连续的。现在假定在区间不仅单调、连续，而且是可导的，在此假定下来考虑它的反函数的可导性以及导数与间的关系。任取，给以增量。由的单调性可知于是有因连续，故当时，必有。现在假定在点处不仅可导且，即，则即 (1)这表示，反函数在点可导且(1)式成立。由于是区间内任意取定的一点，因此得出结论：如果函数在某区间内单调、可导且，那末它的反函数在对应区间内也可导、且有公式(1)成立。 上述

18、结论简单地说成：反函数的导数等于直接函数导数的倒数。 下面用上述结论来求反三角函数及对数函数的导数。例14 设为直接函数，则是它的反函数。函数在开区间内单调、可导，且因此，由公式(1)，在对应区间内有但(因为当时，所以根号前只取正号)，从而得反正弦函数的导数公式： 用类似的方法可求得反余弦函数的导数公式：例15 设是直接函数，则是它的反函数。函数在开区间内单调、可导，且因此由公式，在对应区间内有但，从而得反正切函数得到数公式： 用类似的方法可得反余切函数的导数公式： 例16 设是直接函数，则是它的反函数。函数在开区间内单调、可导，且因此，由公式(1)，在对应区间内有但，从而得第一节例5中已求得

19、的对数函数的导数公式：四、初等函数的求导公式初等函数是由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数为了解决初等函数的求导问题，前面已经求出了常数和全部基本初等函数的导数，还推出了函数的和、差、积、商的求导法则以及复合函数的求导法则，利用这些导数公式以及求导法则，可以比较方便地求初等函数的导数由前面所举的大量例子可见，基本初等函数的求导公式和上述求导法则，在初等函数的求导运算中起着重要的作用，我们必须熟练地掌握它为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如下：1、常数和基本初等函数的导数公式2、函数的和、差、积、上的求导法则 设都可导，则3、复合

20、函数的求导法则 设，而且及都可导，则复合函数的导数为或4、反函数的求导法则 设，是的反函数，则 （）五、三个求导方法1、隐含数求导法函数表示两个变量与之间的对应关系，这种对应关系可以用各种不同方式表达，前面我们遇到的函数，例如等，这种函数表达方式的特点是：等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，当自变量取定义城内任一值时，由这式子能确定对应的函数值用这种方式表达的函数叫做显函数有些函数的表达方式却不是这样，例如，方程表示一个函数，因为当变量在内取值时，变量有确定的值与之对应例如当时，；当时，等等这样的函数称为隐函数 一般地，如果在方程中，当取某区间内的任一值时，相应地总有满足这方程的

21、唯一的值存在，那末就说方程在该区间内确定了一个隐函数 把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化例如从方程解出，就把隐函数化成了显函数隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的但在实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，因此，我们希望有一种方法，不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来下面通例子来说明这种方法例17 求由方程所确定的隐函数的导数解 我们把方程两边分别对求导数，注意是的函数方程左边对求导得方程右边对求导得由于等式两边对的导数相等，所以从而 在这个结果中，分式中的是由方程所确定的隐函数。 例18 求由方程所确定的隐函数在处的导数解 把方程两边分别对求导数，由于方程

22、两边的导数相等，所以由此得 因为当时，从原方程得，所以例19 求椭圆在点处的切线方程解 由导数的几何意义知道，所求切线的斜率为 把椭圆方程的两边分别对求导，有从而 当时，代入上式得于是所求的切线方程为，即例20 求由方程所确定的隐函数的二阶导数解 应用隐函数的求导方法，得于是 上式两边再对求导，得上式右端分式中的是由方程所确定的隐函数2、对数求导法 在某些场合，利用所谓对数求导法求导数比用通常的方法简便些。这种方法是先在的两边取对数，然后再求出的导数。下面的例子来说明这种方法例21 求的导数解 这函数既不是幂函数也不是指数函数，称为幂指函数，先在两边取对数，得上式两边对求导，注意到是的函数，得

23、于是 幂指函数的一般形式为其中是的函数，如果都可导，则可利用对数求导法求出幂指函数的导数如下： 现在两边取对数，得上式两边对求导，注意到都是的函数，得于是 幂指函数也可表示为这样，便可直接求得例22 求的导数解 现在两边取对数（假定），得上式两边对求导，注意是的函数，得于是 当时，； 当时， ；用同样方法可得与上面相同的结果。3、有参数方程所确定的函数的求导法研究物体运动的轨迹时，常遇到参数方程例如，研究抛射体的运动问题时，如果空气阻力忽略不计，则抛射体的运动轨迹可表示为 (2)其中分别是抛射体初速的水平、铅直分量，是重力加速度，是飞行时间，和分别是飞行中抛射体在铅直平面上的位置的横坐标和纵坐

24、标(如图)在(2)式中，、都是的函数如果把对应于同一个值的与的值看作是对应的，这样就得到与之间的函数关系消去(2)中的参数，有这是因变量与自变量直接联系着的式子，也是参数方程(2)所确定的函数的显式表示一般地，若参数方程 (3)与间的函数关系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程(3)所确定的函数在实际问题中，需要计算由参数方程(3)所确定的函数的导数，但从(3)中消去参数有时会有困难因此；我们希望有一种方法直接由参数方程(3)算出它所确定的函数的导数来下面就来讨论由参数方程(3)所确定的函数的求导方法在(3)式中，如果函数具有单调连续反函数，且此反函数能与函数复合成复合函数，那末由参程(3

25、)所确定的函数可以看成是由函数、复合的函数现在，要计算这个复合函数的导数为此再假定函数、都可导，而且。于是根据复合函数的求导法则与反函数的导数公式，就有即 (4)上式也可写成(4)式就是由参数方程(3)所确定的的函数的导数公式。 如果、还是二阶可导的，那么从(4)式又可得到函数的二阶导数公式：即 例23 已知椭圆的参数方程为求椭圆在相应的点处的切线方程解 当时，椭圆上的相应点的坐标是：曲线在点的切线斜率为：所以椭圆在点处的切线方程为化简后得 例24 已知抛射体的运动轨迹的参数方程为求抛射体在时刻的运动速度的大小和方向 解 先求速度的大小。由于速度的水平分量为铅直分量为所以抛射体运动速度的大小为

26、 再求速度的方向，也就是轨道的切线方向 设是切线的倾角，则根据导数的几何意义，得 所以，在抛射体刚射出时，当时这时，运动方向是水平的，即抛射体达到最高点。例25 计算由摆线的参数方程所确定的函数的二阶导数。解*4、相关变化率设及都是可导函数，而变量与间存在某种关系，从而变化率与间也存在一定的关系。这两个相互依赖的变化率称为相关变化率。相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系，以便从其中一个变化率求出另一个变化率。例一气球从离开观察员500m处离地面铅直上升，其速率为140m/min。当气球高度为500m时，观察员视线的仰角增加率是多少？解 设气球上升s后，其高度为，观察员视线的仰角为，则其

27、中及都是时间的函数，上式两边对求导，得 已知140m/min。又当=500m时，1,2代入上式得所以 (rad/min)即观察员视线的仰角增加率是0.14rad/min。注意: 相关变化率与复合函数求导的关系六、高阶导数我们知道，变速直线运动的速度是位置函数对时间的导数，即 或 而加速度又是速度对时间的变化率；即速度对时间的导数： 或 这种导数的导数或叫做对的二阶导数，记作 或 所以，直线运动的加速度就是位置函数对时间的二阶导数 一般地，函数的导数仍然是的函数。我们把的导数叫做函数的二阶导数，记作或，即 或 相应地，把的导数叫做函数的一阶导数。 类似地，二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的

28、导数叫做四阶导数，一般地，阶导数的导数叫做阶导数，分别记作 或 函数具有阶导数，也常说成函数为阶可导。如果函数在点处具有阶导数，那末在点的某一邻域内必定具有一切低于阶的导数二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。 由此可见，求高阶导数就是多次接连地求导数所以，仍可应用前面学过的求导方法来计算高阶导数 例26，求 解 例27，求解例28 证明：函数满足关系式证 将求导，得于是 下面介绍几个初等函数的阶导数例29 求指数函数的阶导数解一般地，可得即 例30 求正弦与余弦函数的阶导数解一般地，可得即 用类似地方法，可得例31 求对数函数的阶导数解,一般地，可得即 通常规定，所以这个公式当时也成立。例32

29、求幂函数的阶导数公式 解 设(是任意常数)，那末一般地，可得即 当时，得到而 如果函数及都在点处具有阶导数，那末显然及也在点处具有阶导数，且但乘积的阶导数并不如此简单。由首先得出用数学归纳法可以证明上式称为莱布尼茨(Leibniz)公式。这公式可以这样记忆：把按二项式定理展开写成即 然后把次幂换成阶导数(零阶导数理解为函数本身)，再把左端的换成，这样就得到莱布尼茨公式 例33，求解 设，则代入莱布尼茨公式，得小结：基本内容：1、求导法则，特别是2、初等函数的求导公式（要熟练），特别是复合函数求导的链条法则要熟练3、三种求导法：隐函数求导法、对数求导法、由参数方程确定的求函数的求导（一阶、二阶）

30、4、掌握二阶导数的求解第三节微分及其在近似计算中的应用一、微分的定义先分析一个具体的问题。一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由变到，问此薄片的面积改变了多少？ 设此薄片的边长为，面积为，则是的函数：。薄片受温度变化的影响时面积的改变量，可以看成是当自变量自取得增量时，函数相应的增量，即 从上式可以看出，分成两部分，第一部分是的线性函数，即图中带有斜线的两个矩形面积之和，而第二部分在图中带有交叉斜线的小正方形的面积，当时，第二部分是比高阶的无穷小，即。由此可见，如果边长改变很微小，即很小时，面积的改变量可近似的用第一部分来代替。 一般地，如果函数满足一定条件，则函数的增量可表示为其中是不

31、依赖于的常数，因此是的线性函数，其它与之差是比高阶的无穷小。所以，当，且很小时，就可近似地用来代替定义 设函数在某区间内有定义，及在这区间内，如果函数的增量可表示为 （1）其中是不依赖于的常数，而是比高阶的无穷小，那末称函数在点是可微的，而叫做函数在点相应自变量增量的微分，记作，即 下面讨论函数可微的条件。设函数在点可微，则按定义（1）是成立，两边除以，得于是，当时，得到因此，如果函数在点可微，则在点也一定可导，且 反之，如果在点可导，即存在，根据极限与无穷小的关系，得其中(当)。由此又有因，且不依赖于，故上式相当于式(1)，所以在点也是可微的。 由此可见，函数在点可微的充分必要条件是函数在点

32、可导，且当在点可微时，其微分一定是 （2） 当时，有从而，当时，与是等价无穷小，这时有 （3）即是的主部。又由于是的线性函数，所以在的条件下，说是的线性主部(当)。这时由（3）式有从而也有式子表示以近似地代替时的相对误差，于是得出结论：在的条件下，以微分近似的代替增量时，相对误差当时趋于零。因此，在很小时，有精确度较好的近似等式例1 求函数在和处的微分解 函数在处的微分为在处的微分为 函数在任意点的微分，称为函数的微分，记作或，即 例如，函数的微分为函数的微分为 显然，函数的微分与和有关例2 求函数当，时的微分解 先求函数在任意点的微分在求函数当时，的微分 通常把自变量的增量称为自变量的微分，

33、记作，即。于是函数的微分又可记作从而有 这就是说，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数，因此，导数也叫做微商。二、微分的几何意义在直角坐标系中，函数的图形是一条曲线，对于某一固定的值，曲线上有一个确定点，当自变量有微小增量时，就得到曲线上另一点。 过点作曲线的切线，它的倾角为 由此可见，当是曲线上的点的纵坐标的增量时，就是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量。当很小时，比小得多，因此在点的邻近，可以用切线段来近似代替曲线段。注解:微分与可导关系密切,可导可微微分与可导是两个不同的概念,导数是指函数在一点处的变化率,而微分是函数在一点处由自变量增量所引起的函数变化量的主要部分导数的值只与有关,而微分的值与都有关.三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则从函数的微分的表达式可以看出，要计算函数的微分，只要计算函数的导数，在乘以自变量的微分，因此，可得如下的微分公式和微分运算法则。1、基本初等函数的微分公式 由基本初等函数的导数公式，可直接写出基本初等函数的微分公式，列表如下：导数公式微分公式2、函数和、差、积、商的微分法则 由函数和、差、积、商的求导