第三章平面与空间直线

1、第三章 平面与空间直线教学目的: 1.深刻理解并掌握平面和三元一次方程之间的相互关系,即在空间直角坐标系下平面的方程是一个关于x,y,z的一次方程;反之任何一个关于变数x,y,z的一次方程都表示一个平面. 2.掌握平面的各种形式的方程,明确方程中常数(参数)的几何意义,能根据决定平面的各种几何条件熟练地导出它的方程,并熟悉关于平面方程的各种形式的互化. 3.能熟练地根据平面的方程及点的坐标判别有关点、平面之间有关距离、夹角、平行、垂直的公式,进行某些几何量的计算. 4.掌握有关平面束的概念,并会运用求平面的方程.教学重点: 本章重点是建立平面方程;平面与平面、平面与点的位置关系的判定;平面夹角

2、,平行平面间的距离,点与平面的距离的计算.教学难点: 直接法或待定系数法求平面方程;离差概念及应用,平面束方程的证明§3.1 平面的方程一.平面的点位式方程1.平面的方位向量:与平行且不共线的任意两向量.2.平面的点位式方程: 任一向量可由通过它的一点即方位向量确定. 设平面过点,一对方位向量,设点为平面上任一点, 根据,共面而,不共线,有=,即 故 (3.1-1)这就是平面的向量式的参数方程,（,为参数)。 平面的坐标式的参数方程 （3.1-2） 将(1)式两边与作数性积得 （3.1-3） 从（3.1-20）消去参数u ,v得 （3.1-4）(3.1-1) (3.1-2) (3.1

3、-3) (3.1-4)都叫做平面的点位式方程例1、 已知不共线三点，求通过这三点的平面方程。平面的三点式方程与截距式方程 (1)平面的三点式方程平面过不共线三点,有平面的向量式参数方程 其中.(2)平面的截距式方程 平面与三坐标轴的交点,其中 二.平面的一般方程 1.空间中平面的基本定理（定理）空间中任一平面可由点位确定,将其方程展开 （3.1-10）即空间的任一平面是关于x,y,z的三元一次方程.任一关于关于x,y,z的三元一次方程,不妨设可变为 即 它表示了一个平面由点和方位向量与确定.方程叫平面的一般方程. 2.特殊情形 常数项为零, 平面过原点系数有一个为零 平面平行于Z轴 =0 平面

4、通过Z轴系数有两个为零 ,平面平行于坐标面; 即为 坐标面.三.平面的法式方程 任何一平面可由通过它的一点及垂直与它的一个向量确定. 1.平面的法向量:与已知平面垂直的非零向量 2.平面的点法式方程设平面过点,法矢;记为平面上任一点, ; 则 ,即.可表示成 .可见,直角坐标系下平面的一般方程x,y,z前系数的几何意义. 3.平面的法式方程法式方程在确定平面的点法式方程时,若特别地点取自原点向平面所引垂线的垂足,平面的法向量取单位法向量,且的正向与向量同(平面不过原点), 的正向在垂直于平面的两个方向中任选一个(平面过原点).设点为平面上任一点, ,则由于,从而平面的方程 即(向量式法矢方程)

5、若取 则 (坐标式法矢方程)法式方程特点(1)一次项系数是单位向量的分量,平方和等于1;(2)常数项平面方程法式化比较平面一般方程,法矢,可表 ,变化为法式方程.只需将上方程乘以 (法式化因子)其中的符号选取一个,使得(当时,与异号, 时符号可以任意选取)作业 §3.2 平面与点的相关位置 空间中平面与点间的相关位置只有两种情况，点在平面上，或点不在平面上，点在平面上的条件是点的坐标满足平面的方程.一.点与平面间的距离 1.概念 定义 一点与平面上的点之间的最短距离，叫做该点与平面之间的距离。定义 自空间一点到平面引垂线,其垂足为,那么向量在平面的单位法向量上的射影叫做点与的离差,记

6、做 可见,点关于的离差: 离差的绝对值,就是与平面之间的距离. 2.离差的计算 定理3.2.1 与平面间的离差为 () 证 根据离差的定义, ,而点在平面上,因此,所以 推论1 点与平面间的离差 推论2 点与平面间的距离为 二.平面划分空间问题(三元一次不等式的几何意义)设平面的一般方程为,那么空间任何一点对平面的离差为 , 式中为平面的法化因子,又有 1.平面划分空间问题 对于平面同侧的点, 离差符号相同(当与是同侧的点时,与同向) 对于平面异侧的点, 离差有不同的符号(当与是异侧的点时,与反向) 2.二元一次不等式的几何意义平面把空间划分为两个部分: 一侧的点: 另一侧的点: 平面上的点:

7、 作业 §3.3两平面的相关位置空间两个平面的相关位置有三种情况:相交、平行和重合.当且仅当两平面由于一部分公共点时它们相交,当且仅当两平面有一部分公共点时它们互相平行,当且仅当一个平面上的所有点就是另一个平面上的所有点时,这两平面重合.设两平面的方程为 定理两平面相交的充要条件是 两平面平行的充要条件是 两平面重合的充要条件是 直角坐标系下,两平面与的法向量分别为: 当且仅当不平行于,两平面与相交;当且仅当平行于,与重合.两平面与的二面角用来表示,两平面的法向量与的夹角记为. 显然有.因此 显然两平面与互相垂直的充要条件是().或是 .定理 平面与互相垂直的充要条件是作业 

8、7;3.4空间直线的方程一. 有直线上一点与直线的方向所决定的直线的方程1.直线的方向向量空间给定了一点与一个非零向量,那么通过点且与向量平行的直线就被唯一确定,向量叫直线的方向向量. 任何一个与直线平行的非零向量都可以作为直线的方向向量.2.直线的点向式方程 直线过点,方向向量.设为上任意一点, ,由于与(非零向量)共线,则 即 （3.4-1）（3.4-1）叫做直线l的向量式参数方程，（其中t为参数）。如果设，又设，那么()式得 （ 3.4-2）（3.4-1）叫做直线l的坐标式参数方程。 消参数t即得 (3.4-3) (3.4-3)叫做直线l的对称式方程或称直线l的标准方程。 例1 求通过空

9、间两点，的直线方程。 解 取作为直线l的方向向量，设为直线l上的任意点（如右图），那么所以直线l的向量式参数方程为： （3.4-4）坐标式参数方程为 （3.4-5）对称式方程为 （3.4-6）方程（3.4-4）（3.4-5）（3.4-6）都叫做直线l的两点式方程。3.直线的方向数 取直线的方向向量为 ,则直线的方程为 (参数方程) 或标准方程 由此可见参数的几何意义: 为直线上点与点之间的距离.直线的几个问题 .直线的方向角与方向余弦:直线的方向向量的方向角与方向. .直线的方向数:直线的方向向量的分量X,Y,Z或与之成比例的一组数l,m,n .直线的方向余弦与方向数l,m,n之间的关系4.直

10、线的两点式方程例:求空间直角坐标系中X轴的方程 参数方程 标准方程 二. 直线方程的一般形式1.一般方程:设有两平面的方程为 其中, .则上述方程组称为空间直线的一般方程. 2.直线的射影式方程由于直线的表示法不唯一,通常取简单的两平面来表示直线. 如 将一般方程(特殊的一般方程)化为(直线的射影式方程). 3.直线一般方程与标准方程的互化 标准方程化为一般方程.(方向数不全为零) 一般方程化为标准方程一般方程(1) 确定直线的两平面法矢的为直线的一个方向向量.(2) 取方程组的一组特解得直线上一点化得直线标准方程: 作业 §3.5 直线与平面的相关位置一. 相关位置空间直线与平面的

11、相关位置有直线与平面相交,直线与平面平行和直线在平面上的三种情况.直线与平面的方程分别为 ,(1) (2)为了求出直线与平面的相互位置关系的条件,将直线的方程改写为参数式 (3)将(3)代入(2),经整理得 ,当且仅当时有唯一解 定理 与平面相交与平面平行在平面上 从方向矢,上任一点及的法矢考察 与平面相交与不垂直 与平面平行, 在平面上 ,二. 直线与平面的交角1.定义直线与平面的间的角.直线垂直于平面时, 为直角, 直线不垂直于平面时, 指直线和它在这平面上的射影所构成的锐角.2.计算直线与平面间的角可以由直线的方向向量和平面的法向量来决定.若那么,因而 .可得直线与平面平行或在平面上的充

12、要条件,与平面垂直的充要条件是,即 .作业 §3.6 空间直线与点的相关位置空间直线与点的相关位置有两种情况,即点在直线上与点不在直线上,点在直线上时,点的坐标满足直线的方程.当点不在直线上时,则考察点到直线的距离.定义 一点与空间直线上的点之间的最短距离叫做该点与空间直线间的距离。在空间直角坐标系下,给定空间一点与直线为直线上一点,为直线的方向向量.考察和向量为两边构成的平行四边形的面积.显然,点到直线的距离就是这平行四边的对应于以为底的高. 作业 §3.7 空间两直线的相关位置一.空间两直线的相关位置设直线与的方程为: : （1）: （2）定理 判断两直线（1）与（2）

13、相关位置的充分必要条件是1） 异面: 2） 相交: 0,3） 平行: 4） 重合: 二.空间两直线的夹角 定义平行于空间两直线的两向量间的角,叫做空间两直线的夹角.记做。定理 在直角坐标系里,空间两直线(1)与(2)的夹角的余弦为: 推论: 两直线(1)与(2)垂直的充要条件是: 三.两异面直线间的距离与公垂线方程 设两异面直线与与它们的公垂线的交点分别为,则与之间的距离 d射影 两异面直线(1)与(2)间的距离为公垂线的方程为:作业: 1，2，3，4§3.8 平面束一.定义1.空间中通过同一条直线的所有平面的集合叫做有轴平面束,那条直线叫做平面束的轴.2.空间中平行于同一个平面的所有平面的集合叫平行平面束.二.平面束方程定理 两个平面 (1), (2)交于一条直线L,那么以直线L为轴的有轴平面束的方程是: 0 (3)，其中是不全为零的任意实数.证明 首先证明,当任取两不全为零的的值时,上式表示一个平面.将之写为 这里不能全为零,否则与两平面相交矛盾. 因此,上式是一个关于的一次方程,表示一个平