【高考冲刺】最新河南省开封市高考数学一模试卷(文科)及解析

1、河南省开圭寸市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （5 分）设集合 A=1, 3, 5, 7 , B=x|2x0，b0)a bToB- i为等轴双曲线，且焦点到渐近线x2- y2=210. （5 分）函数 y=xln|x|的图象大致是（）万世不竭”其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取 7 天后所剩木棍的长度（单位：尺），则处可分别填入的是（）C.17,9. （5分）1 1-.i M D. I；. - , i 1-

2、12 2如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球Oi、02，这外切，且球 0i与正方体共顶点A 的三个面相切，球 02与正方体共顶点 Bi的三个面相切，则两球在正方体的面AAiCiC 上的正投影是（）B.二叮-： 11. （5 分）抛物线M: y2=4x 的准线与 x 轴交于点 A,点 F 为焦点，若抛物线M上一点 P 满足 PA 丄 PF,则以 F 为圆心且过点 P 的圆被 y 轴所截得的弦长约为（参 考数据：匸2.24）（）A.仁1B.C.D.R12.（5 分）已知函数1.：， 若函数 F（x） =f （x）63-3 的所有零点依次记为xi,X2, x3,，Xn，且 xiV沁Vx3 VV

3、冷，则Xl+2X2+2x3+2xnT+xn=（）A.B.445nC. 455nD.-33、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.14. （5 分）已知函数 f （x） =ax3+bx+1 的图象在点（1, f （1）处的切线方程为4x- y- 1=0,贝 U a+b=_.f5x+3y1515. （5 分）设 x, y 满足约束条件* rCx+l ，且 x, y Z,则 z=3x+5y 的最大x-5y3值为_ .16. （5 分）一个棱长为 5 的正四面体（棱长都相等的三棱锥）纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动， 则小正四面体的棱长的最大值 为2/3 x

4、 b 0),称圆心在原点 O,半径为 -的圆是椭圆 C 的准圆”已知椭圆 C 的离心率一二，其准圆”的方程为 x2+y2=4.3(I) 求椭圆 C 的方程；(II)点 P 是椭圆 C 的准圆”上的动点，过点 P 作椭圆的切线 h , 12交准圆”于点M，N.(1) 当点 P 为准圆”与 y 轴正半轴的交点时，求直线 h, 12的方程，并证明 li丄12；(2) 求证：线段 MN 的长为定值.21.(12 分)已知函数 f (x) = (t - 1) xe?，g (x) =tx+1 - ex.(I)当 t丰1 时，讨论 f (x)的单调性；(n)f (x) g (x)在0，+x)上恒成立，求 t

5、 的取值范围.选修 4-4 :极坐标与参数方程22.(10 分)已知直线 l: 3x- =y-6=0,在以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C:p-4sin0=0(I)将直线 l 写成参数方程 P=2+tC0SQ(t 为参数，a0, n),)的形式，(y=tsind并求曲线 C 的直角坐标方程；(n)过曲线 C 上任意一点 P 作倾斜角为 30勺直线，交 l 于点 A,求| AP|的最值.选修 4-5:不等式选讲23.已知关于 x 的不等式| x+11+| 2x- 1| 3 的解集为x|mwx n.(I) 求实数 m、n 的值；(II)设 a、b、c 均为正数，且 a

6、+b+c=n-m,求丄+ +丄的最小值.a b c2018 年河南省开封市高考数学一模试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的.1. (5 分)设集合 A=1, 3, 5, 7 , B=x|2x 5，贝UAHB 的真子集个数为 ( )A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 8 个【解答】解：集合 A=1, 3, 5, 7，B=x|2x450, x8,二 x=9,.乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为 p=故选：A.227.（5 分）已知曲线 耳-耳=1 （a0, b0）为等轴双曲线

7、，且焦点到渐近线/ b2的距离为，则该双曲线的方程为（）A.厂B. X2 y2=1 C -D. X2 y2=22 2【解答】解：根据题意，若曲线=1（a0, b0）为等轴双曲线，则 a2=b2,a2b2c=.：、=*：,即焦点的坐标为（土叮:a, 0）;其渐近线方程为 x y=0,若焦点到渐近线的距离为爲则有 =a= :,V1+1则双曲线的标准方程为斗-=1,即 x2 y2=2；故选：D.8.（5分） 我国古代名著 庄子？天下篇中有一句名言 一尺之棰，日取其半， 万世不竭”其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木 棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取 7 天后

8、所剩木棍的长 度（单位：尺），则处可分别填入的是（）A.JiB. 一_ 11 1C. 1.一 . i M D. 1 . . - , i M2 2【解答】解：由题意可得：由图可知第一次剩下 丄，第二次剩下一，由此得出2 22第 7 次剩下，可得为 i 0 得：x丄，得出函数 f (x)在(丄，+x)上是ee增函数，故选：C.11.(5 分)抛物线M: y2=4x 的准线与 x 轴交于点 A,点 F 为焦点，若抛物线M上一点P 满足 PA 丄 PF,则以 F 为圆心且过点 P 的圆被 y 轴所截得的弦长约为(参 考数据：匚2.24)()A.丄！ B.亍 C.D.【解答】解：由题意，A (- 1，0

9、)，F (1, 0)，点 P 在以 AF 为直径的圆 x2+y2=1 上.C10. (5 分)函数 y=xln|x|的图象大致是()设点 P 的横坐标为 m，联立圆与抛物线的方程得X2+4X-仁 0,Im0,二 m= - 2+；伍,点 P 的横坐标为-2+ 7,| PF =m+1 = - 1+伍,圆 F 的方程为(x- 1)2+y2= ( :- 1)2,令 x=0,可得 y= !抚 | EF =25-却宅=2*5 竝X 24=伍!,12. (5 分)已知函数：，若函数 F (x) =f (x)63-3 的所有零点依次记为xi, X2, x3,，Xn，且 xiV沁 x3VVxn，则xi+2x2+

10、2x3+- +2xn-l+xn=()A.下B.445nC. 455nD. 33【解答】解：函数.,6令 2x-=+kn得X=T+, k乙即 f(x)的对称轴方程为 x=飞丿+丄,622323k Z.If (x)的最小正周期为 T=n,0 x,;J当 k=30 时,可得 x=, f (x)在0, 二 L上有 30 条对称轴,3根据正弦函数的性质可知：函数：与 y=3 的交点 xi, X2关于一63对称，X2, X3关于对称，6即 Xi+X2=X2,X2+X3X2,，XnT+Xn=2X()6623将以上各式相加得：xi+2X2+2x3+2x28+X29=2( *+-+)=(2+5+8+-+89)6

11、 6 6X 二=455n3贝 UXi+2X2+2X3+ +2Xn-1+Xn= ( X1+X2) +( X2+X3)+X3+ +Xn-l+ (Xn-l+Xn)=2(今誓+“+警=455n,故选：C二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.2尹=s2.【解答】解：由题意，自变量为 2,故内层函数 f (2) =log (22- 1) =12,故有 f (1) =2Xe1-1=2,即 f(f(2)=f(1)=2Xe1-1=2,故答案为 214. (5 分)已知函数 f (x) =ax3+bx+1 的图象在点(1, f (1)处的切线方程为4x- y-仁 0,则 a+b= 2.【解

12、答】解：函数 f (x) =ax3+bx+1 的导数为 f(x) =3ax+b,f (x)的图象在点(1, f (1)处的切线方程为 4x- y-仁 0,可得 3a+b=4, f (1) =3=a+b+1,解得 a=1, b=1,则 a+b=2.故答案为：2.f5x+3y1515.（5 分）设 x, y 满足约束条件応北+1，且 x, y Z,则 z=3x+5y 的最大Lx-5y3值为 13.r5x+3y 4：I18. (12 分)如图 1,在矩形 ABCD 中，AD=2AB=4 E 是 AD 的中点.将 ABE 沿BE 折起使 A 到点 P 的位置，平面 PEB 丄平面 BCDE 如图 2.

13、(I)求证：PB 丄平面 PEC(n)求三棱锥 D-PEC 的高.D團丄【解答】解：（I）证明 AD=2AB E 为线段 AD 的中点， AB=AE取 BE 中点 0,连接 P0,则 P0 丄 BE,又平面 PEBL 平面 BCDE 平面 PEBA 平面 BCDE=B E P0 丄平面 BCDE 贝 U P0 丄 EC,在矩形 ABCD 中 ,二 AD=2AB E 为 AD 的中点, BE! EC,贝 U EC平面 PBE EC! PB,又 PB 丄 PE,且 PEAEC=E PB 丄平面 PEC（U）以 0B 所在直线为 x 轴,以平行于 EC 所在直线为 y 轴,以 0P 所在直线为 z

14、轴建立空间直角坐标系， PB=PE=2 则 B （匚,0 , 0）, E （-匚,0 , 0）, P （0 , 0,匚），D （- 2 匚,-,0）, C （- - , 2 - , 0）,二 T =（-匚,0,-匚），-：-（-二,2 匚,-二）， VP-ECD=VD-EPC,设三棱锥 D- PEC 的高为 h,则可得：15ECD?0P=&EPC?h ,可V0&EP(- | 1|?|：| ?sin/ EPC得：J2-h,解得：三棱锥 D- PEC 的高h=1.19. (12 分)近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2017 年双 11 期间，某购物平台的销售业绩高达 1271 亿人民币

15、与此同时，相关管理部门推出 了针对电商的商品和服务的评价体系， 现从评价系统中选出 200 次成功交易，并 对其评价进行统计，对商品的好评率为 0.6,对服务的好评率为 0.75,其中对商 品和服务都做出好评的交易为 80 次.(I)完成下面的 2X2 列联表，并回答是否有 99%的把握，认为商品好评与服务好评有关?对服务好评对服务不满意合计对商品好评对商品不满意合计200(n)若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这 200 次交易中取出 5 次交 易，并从中选择两次交易进行客户回访，求至少有一次好评的概率.汽.m：，其中n=a+b+c+d)【解答】解：(I)根据题意，对商品好评次数为 2

16、00X0.6=120，对服务好评次数为 200X0.75=150,填写 2X2 列联表如下;对服务好评对服务不满意合计对商品好评8040120对商品不满意701080合计15050200计算11.116.635,有 99%的把握认为商品好评与服务好评有关；(n)根据分层抽样原理，从这 200 次交易中取出 5 次交易,抽取商品好评次数为 120=3,不满意次数为 2,P (Q k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828n(adHoc)2附:200分别记为 a、b、c、D、E,从中选择两次交易，基

17、本事件为ab、ac、aD、aE、be、bD、bE、cD、cE、DE 共 10 种，至少有一次好评的事件为ab、ac、aD、aE、be、bD、bE、cD、cE 共 9 种，故所求的概率为 P=20.(12 分)给定椭圆 C:+.=1( a b 0),称圆心在原点 O,半径为 的圆是椭圆 C的 准圆”已知椭圆 C 的离心率 ,其准圆”的方程为 x2+y2=4.(I) 求椭圆 C 的方程；(II)点 P 是椭圆 C 的准圆”上的动点，过点 P 作椭圆的切线 h , 12交准圆”于点M, N.(1) 当点 P 为准圆”与 y 轴正半轴的交点时，求直线 h, 12的方程，并证明 11丄12；(2) 求证

18、：线段 MN 的长为定值.【解答】解：(I)由准圆方程为/+y2=4 ,贝Ua2+b2=4 ,椭圆的离心率解得：a= :, b=1,2厲椭圆的标准方程(U)证明：(1)V准圆X2+/=4与 y 轴正半轴的交点为 P(0,2),设过点 P (0, 2)且与椭圆相切的直线为 y=kx+2,fy=kx+2联立 *F 2，整理得(1+3”)x2+12kx+9=0.直线 y=kx+2 与椭圆相切，二 =144k2- 4X9 (1 +3k2) =0,解得 k= 1, I1, I2方程为 y=x+2, y=-X+2.I 1=1, =- 1, .?=- 1,则 h 丄 l2 丄12(2)当直线 li, I2中

19、有一条斜率不存在时，不妨设直线 li斜率不存在, 贝Uli: x= 二，当 li： x=二时，li与准圆交于点(匚，1) (T，- 1), 此时 l2为 y=1 (或 y=- 1)，显然直线 l1，l2垂直； 同理可证当h：x=二时，直线 h，12垂直.当 l1, l2斜率存在时，设点 P (xo, y),其中 x2+yo2=4.设经过点 P (xo, yo)与椭圆相切的直线为 y=t (x- xo) +yo,ry=t(x-x0)+y0(1+3t2) x2+6t (yo- txo) x+3 (yo- txo)2- 3=0.由厶=O 化简整理得(3 x。2) t2+2xyot+1 - y2=O,

20、Txo2+yo2=4.,二有(3 - xo2) t2+2xoyot+ (xo2-3) =o.设 l1, l2的斜率分别为 t1, t2,“，l2与椭圆相切，二 t1, t2满足上述方程(3- X。2) t2+2xoyot + (xo2- 3) =o,二 t1?t2=- 1 ,即 l1, l2垂直.综合知： l1, l2经过点 P (xo, yo),又分别交其准圆于点M, N,且 l1, l2垂直.线段 MN 为准圆 x2+y2=4 的直径，| MN| =4,线段 MN 的长为定值.21.(12 分)已知函数 f (x) = (t - 1)xex, g(x) =tx+1 - ex.(1)当 t丰

21、 1时，讨论 f(x)的单调性；(n)f (x) 1,则 xv-1 时，f (x)v0, f (x)递减，x- 1 时，f (x) 0, f (x) 递增，若 tv1,贝Uxv- 1 时，f (x) 0, f (x)递增，x- 1 时，f (x)v0, f (x) 递减，故 t1 时，f(x)在(-x,-1)递减，在(-1,+x)递增，tv1 时，f(乂)在(-x,-1)递增，在(-1,+X)递减；(2)f (x) g (x)在0, +x)上恒成立，即(t - 1) xeT- tx - 1+ex0, h (x)在0, +x)递增， h (x) h (0) =0,故 h (x)在0, +x)递增，故 h (x) h (0) =0,显然不成立， t 工 1,则 h (x) =ex(x+) (t- 1),t-1令 h (x) =0,则 x=-：,1当-：W0 即 t v -或 t 1 时，t-12若 t-,则 h (x)在0, +x)为负，h (x)递减，故有 h (x) h (0) =0, h (x)在0, +x)递减， h (x) 1,则 h (x)在0, +x)上为正，h (x)递增，故有 h (x) h (0) =0,故 h (x)在0, +x)递增，故 h (x) h (0) =0,不成立，2- 0 即