第08章重积分习题详解

1、第八章 重积分习题8-11设有一个面薄板（不计其厚度），占有面上的闭区域，薄板上分布有面密度为的电荷，且在上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷解 用一组曲线将分成个小闭区域，其面积也记为.任取一点,则上分布的电量.通过求和、取极限，便得到该板上的全部电荷为其中的直径2. 设其中；又其中试利用二重积分的几何意义说明与之间的关系解由二重积分的几何意义知，表示底为、顶为曲面的曲顶柱体的体积；表示底为、顶为曲面的曲顶柱体的体积由于位于上方的曲面关于面和面均对称，故面和面将分成四个等积的部分，其中位于第一卦限的部分即为由此可知3. 利用二重积分定义证明：(1) ；(2) ；(3) 其中，、为两个无公

2、共内点的闭区域.证(1)由于被积函数，故由二重积分定义得(2)(3)因为函数在闭区域上可积，故不论把怎样分割，积分和的极限总是不变的，因此在分割时，可以使和的公共边界永远是一条分割线。这样在上的积分和就等于上的积分和加上的积分和，记为令所有的直径的最大值，上式两端同时取极限，即得4. 根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：(1) 与，其中积分区域是由轴、轴与直线所围成；(2) 与，其中积分区域是由圆周所围成；(3) 与，其中是三角形闭区域，三顶点分别为；(4) 与，其中.解(1)在积分区域上，故有，根据二重积分的性质，可得(2)由于积分区域位于半平面内，故在上有从而(3)由于积分区域位于条形

3、区域内，故知上的点满足，从而有因此(4)由于积分区域位于半平面内，故在上有，从而有因此5. 利用二重积分的性质估计下列积分的值：(1) 其中；(2) 其中；(3) 其中；(4) 其中.解(1)在积分区域上，从而，又的面积等于，因此(2)在积分区域上，从而，又的面积等于，因此(3)在积分区域上，的面积等于，因此(4)在积分区域上，从而，又的面积等于，因此习题8-21. 计算下列二重积分：(1) ，其中；(2) ，其中是由两坐标轴及直线所围成的闭区域；(3) ，其中；(4) 其中是顶点分别为，和的三角形闭区域解(1) (2) 可用不等式表示为，于是(3)(4)可用不等式表示为，于是2. 画出积分区

4、域，并计算下列二重积分：(1) ，其中是由两条抛物线，所围成的闭区域；(2) ，其中是由圆周及轴所围成的右半闭区域；(3) ，其中；(4) ，其中是由直线，及所围成的闭区域解(1)可用不等式表示为，于是(2)可用不等式表示为，于是(3)，其中，于是(4)可用不等式表示为，于是3. 化二重积分为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分），其中积分区域是：(1) 由直线及抛物线所围成的闭区域；(2) 由轴及半圆周所围成的闭区域；(3) 由直线，及双曲线所围成的闭区域；(4) 环形闭区域解(1)直线及抛物线的交点为和，于是或(2)将用不等式表示为，于是可将化为；如将用不等式表示为，于是

5、可将化为(3)三个交点为、和，于是或(4)将划分为块，得或4. 改换下列二次积分的积分次序：(1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) ； (6) 解(1)所给二次积分等于二重积分，其中，可改写为，于是原式(2)所给二次积分等于二重积分，其中，可改写为，于是原式(3)所给二次积分等于二重积分，其中，可改写为，于是原式(4)所给二次积分等于二重积分，其中，可改写为，于是原式(5)所给二次积分等于二重积分，其中，可改写为，于是原式(6)所给二次积分等于二重积分，将表示为，其中，于是原式5. 计算由四个平面，所围成柱体被平面及截得的立体的体积解此立体为一曲顶柱体，它的底是面上的闭区域，顶是曲

6、面，因此所求立体的体积为6. 求由曲面及所围成的立体的体积解所求立体在面上的投影区域为所求立体的体积等于两个曲顶柱体体积的差：7. 画出积分区域，把积分表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域是：(1) ； (2) ；(3) ，其中； (4) 解(1) 在极坐标中，故 (2) 在极坐标中，故 (3)在极坐标中，故(4)在极坐标中，直线的方程为，故，于是8. 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：(1) ； (2) ；(3) ； (4) 解(1) 用直线将积分区域分成、两部分：，于是原式 (2) 在极坐标中，直线和的方程分别是和。因此，又，于是原式 (3) 在极坐标中，直线的方程为，圆的方程为，

7、因此，故原式(4) 在极坐标中，直线的方程为，抛物线的方程为，即；两者的交点与原点的连线的方程是。因此，故原式9. 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：(1) ； (2) ；(3) ； (4) 解(1) 在极坐标中，故原式 (2) 在极坐标中，故原式 (3) 在极坐标中，抛物线的方程为，即；直线的方程是，故，故原式(4) 在极坐标中，积分区域，于是原式10. 利用极坐标计算下列各题：(1) ，其中是由圆周所围成的闭区域；(2) ，其中是由圆周，及直线，所围成的在第一象限内的闭区域.解(1) 在极坐标中，故原式 (2) 在极坐标中，故原式11. 选用适当的坐标计算下列各题：(1) ，其中是由

8、直线，及曲线所围成的闭区域；(2) ，其中是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；(3) ，其中是由直线，所围成的闭区域；(4) ，其中是圆环形闭区域解(1) 选用直角坐标，故 (2) 选用极坐标，故(3) 选用直角坐标，(4) 选用极坐标，故12. 求由平面，以及球心在原点、半径为的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积（图8-21）解量复习题A一、填空题1. 设是正方形区域，则_.2. 已知是长方形区域，又已知，则_.3. 若是由和两坐标轴围城的三角形区域，则二重积分可以表示为定积分，那么_.4. 若，那么区间_.5.若，则区间_.二、选择题1. 设是由和所围成的三角形区域，且，则

9、( ).A；A. B. C. D.2. 设是正方形区域，是的内切圆区域，是的外接圆区域，的中心点在点，记则的大小顺序为( ) B；A. B. C. D.3. 将极坐标系下的二次积分:化为直角坐标系下的二次积分，则( )D；A. ; B.;C.; D.4. 设是第二象限内的一个有界闭区域，而且.记则的大小顺序为( )C；A. B. C. D.5. 计算旋转抛物面在那部分曲面的面积的公式是( )CA.; B.;C.; D.三、计算题1.计算重积分，其中是由和所围成的区域.解2.计算重积分，其中是由和所围成的区域.解3.计算重积分，其中是由和所围成的区域.解4. 将二重积分化为两种顺序的二次积分，积

10、分区域给定如下:(1)是以为顶点的三角形区域;(2)是区域;(3)是区域;(4)是由和所围成的区域;(5)是由和所围成的区域.解(1) (2) (3) (4) (5) 5.将二重积分化成在直角坐标下两种顺序的二次积分，并进一步化成在极坐标下的二次积分，其中积分区域给定如下:(1)是区域;(2)是区域;(3)是区域;(4)是由和所围成的区域.解(1) (2) (3)(4) 6. 设是长方形区域，试证明: (设连续).证明 7. 将二重积分化为二次积分，其中是半圆区域.解8. 交换下列积分的顺序:(1);(2);(3);(4);(5).解(1) (2) (3) (4) (5) 9.交换下列积分的顺

11、序，并化为极坐标下的二次积分:(1);(2);(3);(4).解(1) (2) (3) (4) 10. 用二重积分计算以下图形的面积:(1)由所围成;解(2)由所围成;解(3)由极坐标下不等式及所确定.解11.用二重积分计算下列曲面所围立体的体积:(1)及;解(2)及;解(3)，三坐标平面及平面.解12. 求均匀半圆环的质心.解所以质心为13. 求, 其中为球体。解：14. 将下列各题中三重积分在直角坐标系化为累次积分：（1）；（2）；（3）所围区域；（4）所围区域解：（1）。（2）。（3）。（4）15. 计算三重积分，其中为旋抛物面与平面所围。解：。16. 将下列累次积分化为柱面或球面坐标的

12、累次积分，并计算它们的值：（1）；（2）。解：（1）。（2）。复习题B1. 证明:证明 上式左端的二次积分等于二重积分，其中于是交换积分次序即得2. 把积分化为三次积分，其中积分区域是由曲面及平面所围成的闭区域.解 为一曲顶柱体，其顶为，底位于面上，其侧面由抛物柱面及平面所组成由此可知在面上的投影区域因此3. 计算下列二重积分:(1) 计算(是常数)，其中是区域.解(2) 计算，其中是区域.解(3)计算，其中是区域.解4. 计算下列三重积分:(1)，其中是两个球：和的公共部分;(2)，其中是由球面所围成的闭区域;(3)，其中是由平面上曲线绕轴旋转而成的曲面与平面所围成的闭区域.解(1)利用球面坐标计算作圆锥面，将分成和两部分：于是原式(2)由于积分区域关于面对称，而被积函数关于是奇函数，故所求积分等于零(3)积分区域由旋转抛物面和平面所围成，在面上的投影区域因此可表示为：于是5. 求平面被三坐标面所割出的有限部分的面积.解平面方程为，它被三坐标面割出的有限部分在面上的投影区域为由轴、轴和直线所围成的三角形区域于是所求面积为6.求均匀半椭圆的质心.解所以质心为7. 在均匀的半径为的半圆形薄片的直径上，要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形