【高考数学秘籍】正弦定理与余弦定理

1、第 28 讲正弦定理与余弦定理2.如图所示， 正方形 ABCD 的边长为 1,延长 BA 至 E,使 sin / CED= (B)A.10 10C 逅 D 念C.10 D.15E33 EB=EA+AB=2,EC=EB2+BC2=4+1=.5,左 DC =ZEDA+ZADC=n+n=7-424B D1 1n由题意知 AD = 3BC = 3a, B = 4，易知 BD = AD在 RtABD 中，由勾股定理得，1 1因为 SBC= 2AB AC sin ZBAC= $BC AD,1.在 ABC 中,A. 60 C. 1202aB. 45 D. 30 b + e a 1并圾I=b2+ c2+ be

2、,则角 A 等于(C)個 3 因为 eos A=2bC = 2,又因为 0A180,所以 A= 120AE= 1，连接 EC、ED，贝 Usin ZCED DC 1 x!5由正弦定理，得=DC =1=罟，sin ZEDCCE寸 55所以 sin ZCED = rsin zEDC =si 门亨二10.55410n3. (2016 新课标卷川)在厶 ABC 中，B = 4, BC 边上的高等于B.栄103 ,1010AD 为ABC 中 BC 边上的高.:BC，贝 U sin A= (D)10C亚C.5D.如图,设 BC= a,1 23a, DC = 3a.AB =同理，在 RtKCD 中，AC22

3、.5+ 0)= 3 a64. (2017 新课标卷I) ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c.已知 sin B+ sin A(sinC cos C)= 0, a = 2, c=w：:2，贝VC= (B)7t因为 a= 2, c= . 2,所以由正弦定理可知，翫=航,故 sin A=2sin C.又 B=n(A + C),故 sin B+ sin A(sin C cos C)=si n(A + C) + sin Asin C sin Acos C=sin Acos C+ cos Asin C+ sin As in C sin Acos C=(sin A+ cos A)si

4、n C=0.又 C 为ABC 的内角，故 sin C丰0,则 sin A+ cos A = 0，即 tan A = 1.由 A= 知 C 为锐角，故 C=n.462nb5.(2016 北京卷)在厶 ABC 中，/ A=才，a= Q3c,则b=13c如图，在厶 ABD 中，由正弦定理，得AD = ABsin Bsin LADB，7t7tD.3又 Aq0, n,所以 A=字从而sin所以sin所以/ADB = 45所以 /BAD = 180 45 120= 15所以/BAC = 30 ZC = 30 所以 BC= AB = 2 , 所以 AC = 6.3n7. (2015 安徽卷)在厶 ABC 中

5、，/ A= , AB = 6, AC= 3 2，点 D 在 BC 边上，AD = BD，求AD 的长.39 设ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别是 a, b, c,由余弦定理得2 2 2a = b + c 2bccosA=(3 2)2+622X3 2X6Xcos3 4 5=18+ 36 ( 36)= 90.所以 a= 3 10.359.设在 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,且 cos A = ? cos B-, b= 3,513又由正弦定理得 sin B=bsin A=310a =3.10= 10，由题设知 0vBvn,10 10 -在ABD 中，因为

6、 AD = BD，所以ZABD = ZBAD, 所以ZADB =n2B,故由正弦定理得AB sin B 6sin B 3AD=sin(n2B=2sin Bcos B4x 4x2、/H=当，当且仅当 x7 时，取“=”.故n0c6.,35因为 cos A= 5, cos B = 13,412sin A = 5, sin B =后，所以 sin C= si n(A+ B)= sin Acos B+ cos As in B4531256=_X +_X =513 5 13 65.cos B=10.8. ABC 中,nA. 0C-6n nc.4CnAB=1,BC=2,nB. 0 C2则角 C 的范围是(

7、A)n n计3设 AC = x,贝 U 1x3,224+ x 13 + x 3cos C =;= : = +则 c=145所以13 .10所以 cos B=：1 sin2B=10. (2017 天津卷)在厶 ABC 中， 内角 A, B, C 所对的边分别为 4bsinB, ac=5(a b c).求 cos A 的值；(2)求 sin(2B A)的值.ab(1)由 asin A = 4bsin B 及 = ，得 a = 2b.sin A sin B由 ac= , 5(a2 b2 c2)及余弦定理，得b2+ c2 a2 5acV5cos A=2=ac=亍由(1)，可得 sin A= 5，代入

8、asin A= 4bsin B,得_ as in A /5sin B盲由(1)知，A 为钝角，所以 B 为锐角，所以 cos B=- 1 sin2B=423于是 sin 2B= 2sin Bcos B= , cos 2B= 1 2sin B=：55故 sin(2B A)= sin 2 Bcos A cos 2Bsin A=4X並3x池5555=2/5=5 .因为bsin Bcsin C又 b= 3，所以 c=bs in Csin B145a, b, c.已知 asin A =125小11所以 2 乂sin/BAC =3a,I亠2n在 MBC 中,LA =可,所以 aI 2= b2+ c2 2bccos 争 即 a2= b2+ c2+ bc.因为 a= 3c ,所以 3c2= b2+ c2+ b