用平移坐标法探究平行四边形的存在问题

1、用平移坐标法探究平行四边形的存在问题存在性问题是近年来各地中考的热点，其图形复杂，不确定因素较多，对学生的知识运用分析能力要求较高，有一定的难度为此借用简单的平移坐标法来探究平行四边形的存在性问题1. 平移坐标法的探究1.1 课本习题题目：（人教版数学七年级（下）习题62第1题） 如图1，三架飞机P、Q、R保持编队飞行，分别写出他们的坐标30秒后，飞机P飞到P 的位置，飞机Q、R飞到了什么位置？分别写出这三架飞机新位置的坐标图1 图2 图3 分析：三架飞机保持编队飞行，实际上是三架飞机保持相对位置不变，相当于PQR作了整体的平移，因此当飞机P平移到P 的位置时，飞机Q和R与飞机P进行了相同的平

2、移变换解：由图中看出四个点坐标分别为P（-1,1）、Q（-3,1）、R（-1,-1）、P（4,3），点P（-1,1）平移到点P（4,3），横坐标加了5，纵坐标加了2，所以QQ、RR 的坐标变化也一样，从而Q点的坐标为（2，3）、R点的坐标为（4,1）本题中求出点Q、R 坐标依据的是平移的性质：对一个图形进行平移，图形上所有点的横、纵坐标都要相应发生相同的变化1.2 模型探究如图2，点A、B、C是坐标平面内不在同一直线上的三点（1）画出以A、B、C三点为顶点的平行四边形 （2）若A、B、C三点的坐标分别为、，写出第四个顶点D的坐标解：（1）如图3， 过A、B、C分别作BC、AC、AB的平行线，则

3、以A、B、C三点为顶点的平行四边形有三个：以BC为对角线，有CABD1；以AC为对角线，有ABCD2；以AB为对角线，有ACBD3（2）在CABD1中，线段AC平移到BD1，因AB横坐标增加（）、纵坐标增加（），根据坐标平移的性质得D1（，）同理得D2（，）、D3（，）结论：以不在同一直线上的三点为顶点的平行四边形有三个由已知的三点坐标可根据图形平移的坐标性质，直接写出第四个顶点的坐标姑且称之为平移坐标法2. 平移坐标法的运用平移坐标法能否用来探究平行四边形的存在性问题呢？2.1. 三个定点，一个动点，探究平行四边形的存在性例1 （2009烟台）如图4，抛物线与轴交于两点，与轴交于C点，且经过

4、点（，），对称轴是直线，顶点是（1） 求抛物线对应的函数表达式；（2） 经过两点作直线与轴交于点，在抛物线上是否存在这样的点，使以点P、A、C、N为顶点的四边形为平行四边形？ 图4 图5 解：（1）抛物线的函数表达式为（2）由已知条件易探究得A、C、N三点坐标为A、 C、 N 下面探讨以三点A、C、N为顶点的平行四边形的第四个顶点坐标 如图5，由平移的性质直接写出第四个顶点的坐标：以CN为对角线，第四个顶点坐标为；以AC为对角线，第四个顶点坐标为；以AN为对角线，第四个顶点坐标为将其分别代入抛物线中检验，其中只有在抛物线上点评：本题已知三个定点坐标的具体数值，可以根据坐标平移的性质直接写出第四

5、个顶点的坐标值得注意的是，若没有约定由三点构成的三条线段中哪条为边或对角线，则三种情况都必须考虑例2 （2009湖州）已知抛物线（）与轴相交于点，顶点为.直线与轴相交于点，与直线相交于点(1) 填空：试用含的代数式分别表示点与的坐标，则； (2) 如图6，在抛物线（）上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？ 图6 图7 解：（1）（2） 由已知条件易探究得A、C、N三点坐标为A、C、N 下面探讨以A、C、N三点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标，如图7若以CN为对角线，第四个顶点为，代入解析式得，即；若以AC为对角线，第四个顶点为，代入解析式得，即；若以AN为对角线，第四个顶点为，

6、代入解析式得0，不合题意，无解所以在抛物线上存在点和，使得以为顶点的四边形是平行四边形点评：本题已知三个定点坐标，虽不是具体数值（含字母a），但依然可以根据坐标平移的性质直接写出第四个顶点的坐标看上去此法冗长，三种情况必须逐一探究，但思路简单，解题严谨有些解法通过分析图形认为以AN为对角线显然不可能，其实对于学生来说这个“显然”并不显然抛物线的走向和弯曲程度学生是难以判断的，更何况这是一个含字母系数的二次函数这样讨论更严谨！2.2 两个定点、两个动点，探究平行四边形的存在性。例3 （2009抚顺） 已知：如图8，关于的抛物线与轴交于点、点，与轴交于点（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；

7、（2）在抛物线上有一点，使四边形为等腰梯形，写出点的坐标，并求出直线的解析式；（3）在（2）中的直线交抛物线的对称轴于点，抛物线上有一动点，轴上有一动点是否存在以为顶点的平行四边形？解：（1）抛物线解析式为，顶点坐标是（2，4）（2）点坐标为， 直线的解析式为 图8 图9 （3）直线与抛物线对称轴的交点坐标为M（2，2）假设轴上动点Q的坐标为下面探讨以A、M、Q三点为顶点的平行四边形的第四个顶点坐标（图9）若以MQ为对角线，第四个顶点坐标为，代入得若以AM为对角线，第四个顶点坐标为，代入得若以AQ为对角线，第四个顶点坐标为，代入得存在满足条件的点有四个： ， ， ， 点评：先假设一个动点的坐标

8、，将其看成一个定点，按照平移的性质，写出第四个顶点的坐标再由另一动点应满足的条件，求出相应的坐标上述例题中总有两个点在同一坐标轴上，尚可通过平移和旋转来探究平行四边形的存在问题如果题目中没有两点在同一坐标轴上，难么，难以通过分析图形的相互位置关系来探究平行四边形的存在问题然而平移坐标法将是解决这一问题的一个法宝（见附件）例4 （2009南平）如图12，已知抛物线：（1）求抛物线的顶点坐标 （2）将向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线，求的解析式（3）抛物线的顶点为P，轴上有一动点M，在、这两条抛物线上是否存在点N，使O、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形？ 图12 图13解

9、：（1）的顶点坐标是（2，2） （2）（3）假设轴上动点M坐标为有已知条件易得P 下面探究以O、P、M三点为顶点（OP为边）的平行四边形第四个顶点N的坐标如图13，因为P为抛物线、的最高点，若以PM为对角线，有PNOM，则点N不可能在抛物线或上，故不可能存在满足条件的点；若以OM为对角线，用平移坐标法看出点N坐标为若点N 在抛物线上，可得：或；若点N在抛物线上，可得：或存在满足条件的N点有四个：、点评：本题中N点可以在抛物线上，也可以在抛物线上，运动的范围较大，学生难以探索，用平移坐标法不必分析复杂的图形，降低了分析的难度，体现了平移坐标法强大的解题功效 本题中因确定了以OP为一边，所以只有两

10、种情况需要探究3 平移坐标法的思考 平移坐标法不是探讨和论证线段的相等、三角形的全等，而是用动态的观点看待几何图形把平行四边形看成是由一条线段平移而成，用数的运算来描述图形的变化用坐标表示平移，其本质是用几何变换去认识几何图形，用代数方法来解决几何问题，体现的是解析几何的思想、数形结合的思想、几何变换的思想平移坐标法的思路：先由题目条件探索三点的坐标（若只有两个定点，可设一个动点的坐标） 再画出以三点为顶点的平行四边形，根据坐标平移的性质写出第四个顶点的坐标最后根据题目的要求（动点在什么曲线上），判断平行四边形的存在性平移坐标法的特点： 不会遗漏 平移坐标法回避了对复杂图形的相互关系的分析；不

11、需证明平移坐标法直接写出第四个点的坐标，跨越了复杂的推理过程，回避了繁琐的证明；不限条件平移坐标法适用范围广，无论定点在什么位置、无论动点在哪几条曲线上、在什么曲线上，都可以探索，真正是以不变应万变由课本习题偶然发现可以通过平移直接写出点的坐标，于是笔者进一步研究发现，新课程把“平面直角坐标系”前移，同时新增了“用坐标表示平移”的内容，实际就是要用代数的方法研究几何问题，加强数形之间的联系，突出数形结合的思想这启发我们在日常的教学活动中，要加强对新课程的研究，渗透新课程的理念，按照新课程的要求及时渗透数形结合的思想、几何变换的思想，引导学生从不同的角度思考问题，这样才能从教材简单的例、习题中获得解决问题的新方法、新思想，才能引导学生重视教材，同时培养学生探索的能力和创新的意识附：（2007·浙江义乌）如图10，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使得以A、C、F、G这样四点为顶点的四