【高考数学秘籍】圆锥曲线的综合应用

1、第 64 讲圆锥曲线的综合应用2 21. (2014 新课标卷n)设 Fi, F2分别是椭圆 C：拿+ b2=1(ab0)的左、右焦点，M 是C 上一点且 MF2与 x 轴垂直，直线 MFi与 C 的另一个交点为 N.3(1) 若直线 MN 的斜率为 4，求 C 的离心率；(2) 若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且|MN|= 5|FiN|,求 a, b.- b2IEE3I (1)根据 c=-；a2- b2及题设知 M(c,舌)，b!a 3_因为 2c=4，所以 2b2= 3ac,将 b2= a2-c2代入 2b2= 3ac,c 1 c得 2c2+ 3ac- 2a2= 0，解得或 =2(

2、舍去).a 2 a1故C的离心率为 2.由题意，原点 O 为 F1F2的中点，MF2/y 轴，所以直线 MF1与 y 轴的交点 D(0,2)是线段 MF1的中点, b2故一=4,即 b2= 4a,a由 |MN|= 5|F1N|得|DF1|= 2|F1N|.设 N(X1, y1),由题意知 y10，则3x1= 2c,即2y3= 1,9c2丄4a2+ b2=1.2 设 P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N，求证：四边形 ABNM 的面积为定值.(1)由题意得 a = 2, b= 1, 所以椭圆C的方程为 X+y2= 1. 又 c =

3、 a2 b2= .3,所以离心率e=；=宁.证明：设 P(x0, y0)(x00 , y00)与曲线 C 交于 E, F，当四边形 AEBF 面积最大时，求 k 的值.(1)设 M(x, y), P(xo, yo),x= xo,xo= x,则得 1y= 2yo,yo= 2y,而 P(xo, yo)在圆 x2+ y2= 1 上，即 x2+ y2= 1，故 x2+ 4 = 1,此即曲线 C 的方程.令 x = 0,得 yM=，从而 |BM|= 1 yM= 1 + xo 2xo 2yo 1直线 PB 的方程为 y=x+ 1.xoxo令 y = o,得XN=-,yo 1八十xo从而 |AN|= 2 X

4、N= 2+.yo 1所以四边形 ABNM1 S= AN I |BM |1xo=-2+ -2yo 1222yo1+ xo-2xo+ 4yo+ 4xoyo 4xo 8yo+ 42 xoyo xo 2yo+ 22xoyo 2xo 4yo+ 4= =2.xoyo xo 2yo+ 2从而四边形 ABNM 的面积为定值.3. (2o17 湖南省六校联考)在圆 x2+ y2= 1 上任取一个动点 P,作 PQ 丄 x 轴于 Q, M 满足 QM = 2QP，当 P 在圆上运动时,由知 A(1,0), B(0,2),则直线 AB 的方程为 2x + y-2= 0.设 E(xi, kxi), F(X2, kx2

5、),其中 xiX2,y2将 y = kx 代入椭圆的方程 x2+ = 1,2整理得(k2+ 4)x2= 4，故 X2= xi=- ，yjk2+ 4 又点E, F到直线 AB 的距离分别为|2xi+ kxi 2| 2 2 + k+ k2+ 4hi=V5yj5 k2+ 4|2x2+ kx2 2| 2 2 + kk2+ 4h2 =:=-S=1AB|(hi+ h2) = 2 22； 5 k2+ 4；k2+ 40)，即当 k= 2 时，上式取生耳 所以当四边形 AEBF 面积最大时，k= 2.(1)求直线 AP 斜率的取值范围;求|PA| |PQ|的最大值.21x 一_41k= i =x2,x + 2i

6、 3i因为2x2，所以ix 2i,所以直线AP斜率的取值范围是(i,i).i i kx y +2k+4= 0,(2)联立直线 AP 与 BQ 的方程x+ ky*k 2 = 0, 5 k2+ 4|AB|=22+ i= .5,所以四边形 AEBF 的面积为等号，4. (2017 浙江卷)如图，已知抛物线 x2= y,y)( - 2x3)过点B作直线AP的垂线，垂足为点 A( - 2 4), B(3，9)，抛物线上的点P(x,K33I (i)设直线 AP 的斜率为 k,k2+ 44+ k2+ 4k=2=21 +J:4ki+k2+ 4=2Q.k?+ 4k + 3解得点Q的横坐标是xQ=亍+因为 |FA|=1 + k3(x+ 寺= 1+ k2(k+ 1),因此当 k= 2 时,|PA| |PQ|取得最大值 亦.|PQ|=1+ k2(xQ x)= k- 1 k+ 12所以 |PA| |PQ =