矩形菱形正方形讲义

1、特殊平行四边形第一节 矩形 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也说是长方形。  矩形性质 矩形判定 【重点内容】 具有的一切性质； 内角都是直角； 对角线相等； 全等三角形的个数； 等腰三角形的个数； 对称轴的条数； 斜边中线定理； 平方等式； 两种面积计算方法； 有一个直角的矩形； 有三个直角的四边形矩形； 对角线相等的矩形.【典型例题】1、矩形具有而平行四边形不具有的性质为（ ） A对角线相等 B对角相等 C对角线互相平分 D对边相等2、（2015春南京校级月考）下列说法：矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；两条对角线相等的四边形是矩形；有两个角相等的平行

2、四边形是矩形；两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形其中，正确的有（）A1个B2个C3个D4个ABOCD3、如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，AB=4cm，求此矩形的面积。4、如果平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形是矩形5、（2015南平）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BEAC，CFBD，垂足分别为E，F求证：BE=CF 6、（2015湘西州）如图，在ABCD中，DEAB，BFCD，垂足分别为E，F（1）求证：ADECBF；（2）求证：四边形BFDE为矩形 巩固训练1、平行四边形没有而矩形具有的性质是（ ）

3、A、对角线相等B、对角线互相垂直 C、对角线互相平分D、对角相等2、矩形各内角平分线所围成的四边形是（ ） A、矩形B、平行四边形C、正方形D、菱形3、（2015甘州区校级模拟）在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（）A测量对角线是否相互平分 B测量两组对边是否分别相等C测量对角线是否相等 D测量其中三个角是否都为直角4、顺次连结四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，可使四边形EFGH为矩形的是（ ） A、B、C、D、AD/BC5、若矩形的对角线长为4cm，一条边长为2cm，则此矩形的面积为（ ）A8cm2 B4cm2 C

4、2cm2 D8cm26、矩形ABCD的周长为56，对角线AC，BD交于点O，ABO与BCO的周长差为4，则AB的长是（ ）A12 B22 C16 D267、（2015宁化县模拟）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件（只添一个即可），使平行四边形ABCD是矩形8、矩形的两条对角线的交角之一是，矩形较短的边与一条对角线长度之和为12cm，则对角线的长为 ，较短的边的长为 ，较长的边的长为 。9、（2015春遂宁期末）平行四边形ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：ABC=90°；ACBD；AB=BC；AC平分BAD；AO=DO使得四边形ABCD是矩形的条件

5、有，是菱形的条件有（填序号）10、（2015青羊区模拟）如图所示，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上的动点，PEAC，PFBD于F，则PE+PF的值为11、（2015玉林）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P作PQCP交AD边于点Q，连接CQ（1）当CDQCPQ时，求AQ的长；（2）取CQ的中点M，连接MD，MP，若MDMP，求AQ的长 12、（2015溧水县一模）如图，在ABCD中，ABD的平分线BE交AD于点E，CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD（1）求证：ABECDF；（2）若AB=DB，求证：四边形DFB

6、E是矩形 13、（2015内江）如图，将ABCD的边AB延长至点E，使AB=BE，连接DE，EC，DE交BC于点O（1）求证：ABDBEC；（2）连接BD，若BOD=2A，求证：四边形BECD是矩形 14、如图，矩形ABCD中，周长为22cm，CE=3cm，求：DE的长。ABCEDF15、（2015得荣县三模）如图，ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MNBC设MN交ACB的平分线于点E，交ACB的外角平分线于点F（1）求证：OE=OF；（2）若CE=8，CF=6，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由 菱形和正方形A因为ABCD是菱形&#

7、222;Þ四边形四边形ABCD是菱形. B因为ABCD是正方形Þ Þ四边形ABCD是正方形.相关公式：（1）菱形的面积计算公式： 平行四边形面积求法：底×高（2）特殊求法：对角线的乘积题型1、菱形的性质和判定1、菱形的周长为20cm，两邻角的比为1：2，较短对角线的长是 ，一组对边的距离为 ，面积是 。2、（2015秋兴化市校级期末）下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是（）A对角线互相平分的四边形B对角线互相垂直且平分的四边形C对角线相等的四边形D对角线相等且互相垂直的四边形3、已知菱形ABCD的对角线AC=16cm,BD=12cm,DE垂直BC于

8、点E，求DE的长。BECDAO4、如图菱形ABCD中，E是AB的中点，且DEAB，AB=a，DCBEAO求：（1）的度数。 （2）对角线AC的长。 （3）菱形ABCD的面积。5、如图，在菱形ABCD中，A=60°，E、F分别是AD、CD上的两点，且AE=DF.求证：ABEDBF. 6、（2015春丹江口市期末）将矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F，（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）若AB=4，BC=8，求菱形的边长；（3）在（2）的条件下折痕EF的长 题型2、正方形的性质和判定1、（2015漳州一模）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A四条边相等B对角

9、线互相垂直平分C对角线平分一组对角D对角线相等2、（2015黑龙江）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件，使四边形ABCD是正方形（填一个即可）BACDEFM3、正方形ABCD中，E、F分别为AB、AD边上的点，且于M，求证：（1）；（2）AF=BE4、（2015鄂州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE（1）求证：BE=CE（2）求BEC的度数 5、（2015春南安市期末）如图，在ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点，过点A、D分别作BC与AB的平行线，相交于点E，连结EC、AD（1）求证：四边形ADCE是矩形；（

10、2）当BAC=90°时，求证：四边形ADCE是正方形 巩固训练一、选择填空1、（2015春淮北期末）下列判断中错误的是（）A平行四边形的对边平行且相等B四条边都相等且四个角也都相等的四边形是正方形C对角线互相垂直的四边形是菱形D对角线相等的平行四边形是矩形2、（2015滨湖区二模）顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是（）A平行四边形 B对角线相等的四边形C矩形 D对角线互相垂直的四边3、（2015钦州）如图，要使ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是（）AAC=ADBBA=BCCABC=90°DAC=BD4、（2015本溪二模）如图，在矩形ABC

11、D中，AD=2AB，E、F分别是AD、BC的中点，连接AF与BE、CE与DF分别交于点M、N两点，则四边形EMFN是（）A正方形B菱形C矩形D无法确定5、（2015春万州区校级月考）下列条件之一能使菱形ABCD是正方形的为（）ACBD BAD=90° AB=BC AC=BDABCD6、（2015湘潭）已知菱形ABCD的面积为24cm2，若对角线AC=6cm，则这个菱形的边长为cm7、（2015江西模拟）如图，已知AD是ABC的角平分线，点E、F分别是边AC、AB的中点，连接DE、DF，要使四边形AEDF称为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是8、（2015黄冈）如图，在正方形ABC

12、D中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E若CBF=20°，则AED等于度9、（2015南宁）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边ADE，则BED的度数是10、（2015春大石桥市校级期末）如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使ABC=60°，则四边形ABCD的面积为11、 （2015吉林）如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为12、 （2015长春）如图，点E在正方形ABCD的边CD上若ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为二、解答题13、（2015青海）如图，梯形ABCD中，ABDC，AC平分BAD

13、，CEDA交AB于点E求证：四边形ADCE是菱形 14、（2015北海）如图，已知BD平分ABF，且交AE于点D，（1）求作：BAE的平分线AP（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）设AP交BD于点O，交BF于点C，连接CD，当ACBD时，求证：四边形ABCD是菱形 15、（2013山西模拟）如图，C=90°，DE垂直平分BC，AF=CE（1）请你判断四边形AFEC的形状，并说明理由；（2）猜想：A的大小为多少时，四边形AFEC为菱形？（3）你认为四边形ACEF可能为正方形吗？ 16、（2015秦淮区一模）已知：如图，四边形ABCD和四边形AECF都是矩形，AE与BC交于

14、点M，CF与AD交于点N（1）求证：ABMCDN；（2）矩形ABCD和矩形AECF满足何种关系时，四边形AMCN是菱形，证明你的结论 17、（2015滨湖区校级二模）如图，四边形ABCD为矩形，E是BC延长线上一点，AE交CD于点G，F是AE上一点，并且AC=CF=EF，AEB=15°（1）求ACF的度数；（2）证明：矩形ABCD为正方形 18、（2015莘县三模）如图，已知：在四边形ABFC中，ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF=AE；（1）试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由（2）当A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方

15、形？请回答并证明你的结论 19、（2015遵义）在RtABC中，BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AFBC交BE的延长线于点F（1）求证：AEFDEB；（2）证明四边形ADCF是菱形；（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积 20、如图1，在边长为5的正方形中，点、分别是、边上的点，且，（1）如图2，延长交正方形外角平分线，试判断的大小关系，并说明理由；图1ADCBE图2BCEDAFPF（2）在图2的边上是否存在一点，使得四边形是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由21、（2011营口）已知正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在直线上，且随着点P的运动而运动，PE=PD总成立（1）如图（1），当点P在对角线AC上时，请你通过测量、观察，猜想PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）；（2）如图（2），当点P运动到CA的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图（3），当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图（3）画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证