【高考数学秘籍】立体几何的综合应用

1、第 53 讲立体几何的综合应用1. (2016 新课标卷I)如图，已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角形，PA= 6,顶点 P 在平面ABC 内的正投影为点 D，D 在平面 RAB 内的正投影为点 E，连接 PE 并延长交 AB 于点 G.(1) 证明：G 是 AB 的中点；在图中作出点 E 在平面 FAC 内的正投影 F(说明作法及理由)，并求四面体 PDEF 的 体积.IEE3I (1)证明：因为 F 在平面 ABC 内的正投影为 D,所以 AB 丄 FD.因为 D 在平面 FAB 内的正投影为 E,所以 AB 丄 DE.因为 FDADE = D,所以 AB 丄平面 FED，故 AB

2、 丄 PG.又由已知可得，FA = FB，所以 G 是 AB 的中点.(2) 在平面 FAB 内，过点 E 作 FB 的平行线交 FA 于点 F , F 即为 E 在平面 FAC 内的正投影.理由如下：由已知可得 FBIFA, FB 丄 FC,又 EF /FB,所以 EF 丄 FA, EF 丄 FC.又 FAAFC=F,因此 EF 丄平面 FAC,即点 F 为 E 在平面 FAC 内的正投影.连接 CG,因为 F 在平面 ABC 内的正投影为 D,所以 D 是正三角形 ABC 的中心.由(1)知，G 是 AB 的中点，所以 D 在 CG 上，斗2故 CD = 3CG.由题设可得 FC 丄平面

3、FAB, DE 丄平面 FAB,2 1所以 DE /FC，因此 FE = 3FG, DE = FC.由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且FA = 6,可得 DE = 2, FE= 2 .2.在等腰直角三角形 EFF 中，可得 EF = FF = 2,1 14所以四面体 FDEF 的体积 V= -X-X2X2X2 =-.3 232. (2017 新课标卷n)如图，四棱锥 F-ABCD 中，侧面 FAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=知，知，/BAD=ZABC=90证明：直线 BC/平面 PAD;(2)若厶 PCD 的面积为 2.：7，求四棱锥 P-ABCD 的体积.0131 (1

4、)在平面 ABCD 内，因为/ BAD =ZABC = 90 所以 BC /AD.又 BC?平面 PAD , AD?平面 PAD，故 BC /平面 PAD.(2)如图，取 AD 的中点 M，连接 PM , CM._ _ 1由 AB= BC= 2AD 及 BC /AD，/ABC= 90。得四边形 ABCM 为正方形，则 CM 丄 AD.因为侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面 FAD 门平面 ABCD = AD，所以PM 丄 AD , PM 丄底面 ABCD.因为 CM?底面 ABCD，所以 PM 丄 CM.设 BC= x,贝UCM = x, CD = , 2x, PM = ,：

5、3x, PC = PD = 2x.如图，取 CD 的中点 N,连 接PN,贝UPN 丄 CD ,所以 PN = -x.因为 PCD 的面积为 2 7，所以 2X:TxX-x = 2J7,解得 x=-2(舍去)或 x = 2.于是 AB = BC = 2, AD = 4, PM = 2 .3.12 2 + 4 厂 厂所以四棱锥 P-ABCD 的体积 V= 3X2X2 3 =4；3.3. (2014 新课标卷I)如图，三棱柱 ABC-AiBiCi中，侧面 BB1C1C 为菱形，BiC 的中点 为 0,且 AO丄平面 BB1C1C.(1) 证明：B1C 丄 AB;(2) 若 AC 丄 AB1,ZCB

6、B1= 60 BC= 1，求三棱柱 ABC-A1B1C1的高.03 (1)证明：连接 BC1,则 O 为 B1C 与 BC1的交点. 因为侧面 BB1C1C 为菱形，所以 B1C 丄 BC1.又 AO 丄平面 BB1C1C,所以 B1C 丄 AO,故 BQ 丄平面 ABO.由于 AB?平面 ABO，故 B1C 丄 AB.作 0D 丄 BC,垂足为 D,连接 AD.作 OH 丄 AD，垂足为 H. 由于 BC 丄 AO, BC丄 OD，故 BC 丄平面 AOD,0.n 所以 OH 丄 BC.又 OH 丄 AD，所以 OH 丄平面 ABC.因为/CBBi= 60 所以 CBBi为等边三角形,又 B

7、C= 1,可得 OD由于 AC 丄 ABi，所以由 OH AD = OD OA,得 OH =浮又 O 为 B1C 的中点,4.(2017 新课标卷川)如图，四面体 ABCD 中， ABC 是正三角形，AD(1)证明：AC 丄 BD ;(2)已知 ACD 是直角三角形，AB= BD，若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点, 求四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比.(1)如图，取 AC 的中点 O,连接 DO, BO.因为 AD = CD，所以 AC 丄 DO.又由于 ABC 是正三角形，所以 AC 丄 BO.BOnDO = O，从而 AC 丄平面 DOB , BD?平面 DOB ,故 AC 丄 BD.连接 EO.由(1)及题设知/ ADC = 90 在Rt AOB 中，BO2+ AO2=1 1OA =尹1C=2且 AD = ,.OD2+ OA2=47,所以点 B1到平面 ABC 的距离为.217故三棱柱 ABC-A1B1C1的高为217CD.且 AE 丄 EC,又 AB= BD，所以 BO2+ DO2= BO2+ AO2= AB2= BD2,故/DOB = 90 1 由题设知厶 AEC 为直角三角形，所以 EO= AC.又ABC 是正三角形，所以 AC = AB,1 又 AB=