用C语言求解N阶线性矩阵方程Ax=b的简单解法

1、参考资料：分享百分百，最纯粹的分享平台用C语言求解N阶线性矩阵方程Ax=b的简单解法一、描述问题：题目：求解线性方程组Ax=b，写成函数。其中，A为n×n的N阶矩阵，x为需要求解的n元未知数组成的未知矩阵，b为n个常数组成的常数矩阵。即运行程序时的具体实例为：转化为矩阵形式（为检验程序的可靠性，特意选取初对角线元素为0的矩阵方程组）即为：二、分析问题并找出解决问题的步骤：由高等代数知识可知，解高阶线性方程组有逆矩阵求解法、增广矩阵求解法等，而在计算机C语言中，有高斯列主消元法、LU分解法、雅克比迭代法等解法。为了与所学的高等代数知识相一致，选择使用“高斯简单迭代消元法”，与高等代数中

2、的“增广矩阵求解法”相一致。以下简述高斯消元法的原理：算法基本原理：首先，为了能够求解N阶线性方程组（N由用户输入），所以需要定义一个大于N维的数组adim+1dim+1（dim为设定的最大维数，防止计算量溢出），当用户输入的阶数N超过设定值时提示重启程序重新输入。进而，要判断方程组是否有解，无解提示重启程序重新输入，有解的话要判断是有无数不定解还是只有唯一一组解，在计算中，只有当原方程组有且只有一组解时算法才有意义，而运用高等代数的知识，只有当系数矩阵对应的行列式 |A|0 时，原方程组才有唯一解，所以输入系数矩阵后要计算该系数矩阵的行列式 |A|（定义了getresult(n)函数计算），

3、当行列式 |A|=0 时同样应提示重启程序重新输入， |A|0 时原方程组必然有且仅有唯一一组解。判断出方程组有且仅有唯一一组解后，开始将系数矩阵和常数矩阵（合并即为增广矩阵）进行初等行变换（以 a11 为基元开始，将第j列上j行以下的所有元素化为0），使系数矩阵转化为上三角矩阵。这里要考虑到一种特殊情况，即交换到第j-1列后，第j行第j列元素 ajj=0 ，那此时不能再以 ajj 为基元。当变换到第j列时，从j行j列的元素 ajj 以下的各元素中选取第一个不为0的元素，通过第三类初等行变换即交换两行将其交换到&#

4、160;ajj 的位置上，然后再进行消元过程。交换系数矩阵中的两行，相当于两个方程的位置交换了。再由高斯消元法，将第j列元素除 ajj 外第j行以下的其他元素通过第二种初等行变换化为0，这样，就能使系数矩阵通过这样的行变换化为一个上三角矩阵，即，当系数矩阵A进行初等行变换时，常数矩阵也要进行对应的初等行变换，即此时 那么有接下来，进行“反代”，由 可求出  ，再往上代入  即可求出  以此类推，即可从 xn推到 xn-1 ，再推到xn-2 直至&

5、#160;x1 。至此，未知矩阵x的所有元素就全部求出，即求出了原方程组有且仅有的唯一一组解。基本原理示意图：三、编写程序1. #include<stdio.h>2. #include<stdlib.h>3. #include<math.h>4. #define dim 10                              /定义最大的维数1

6、0，为防止计算值溢出5. double adim+1dim+1,bdim+1,xdim+1;   /定义双精度数组6. double temp;7. double getarray(int n);                     /定义输入矩阵元素的函数8. double showarray(int n);             

7、60;     /定义输出化简系数矩阵过程的函数9. int n,i,j,k,p,q;10. double main()11. 12.    13. printf("请输入系数矩阵的阶数n(n<10):");14. scanf("%d",&n);15.     /*判断矩阵阶数是否超过界定值*/16.     if(n>dim)17.     18.        &

8、#160;printf("错误：元数超过初设定的值%d，请重启程序重新输入n",dim);19.         exit(0);20.     21.22.     /*输入系数矩阵和常数矩阵（即增广矩阵）的元素*/23.     getarray(n);24.     25.     /*使对角线上的主元素不为0*/26.     for(j=1;j<=n-1;j+)27. &

9、#160;   28.         if(ajj=0)29.             for(i=j+1;i<=n;i+)30.             31.                 if(aij!=0)32.     

10、            33.                     /*交换增广矩阵的第i行与第j行的所有元素*/34.                     for(k=1;k<=n;k+)35.     

11、                36.                         aik+=ajk;37.                         ajk=

12、aik-ajk;38.                         aik-=ajk;39.                     40.                   

13、;  bi+=bj;41.                     bj=bi-bj;42.                     bi-=bj;43.                 44. &#

14、160;               continue;       /找到第j列第一个不为0的元素即跳回第一层循环45.             46.     47.     /*开始用高斯简单迭代消元法进行求解计算*/48.     for(j=1;j<=n-1;j+)49.     50. &#

15、160;       /*使系数矩阵转化为上三角矩阵，常数矩阵相应进行变换*/51.         for(i=j+1;i<=n;i+)52.         53.             temp=aij/ajj;54.             bi=bi-

16、temp*bj;55.             for(k=1;k<=n;k+)56.                 aik=aik-temp*ajk;57.             printf("n通过初等行变换增广矩阵矩阵C化为：n");58.       

17、0;     /*输出进行初等行变换的过程*/59.             printf("C=");60.             for(p=1;p<=n;p+)61.             62.            &#

18、160;    for(q=1;q<=n;q+)63.                     printf("t%.3f",apq);64.                 printf("t%.3fn",bp);65.         &#

19、160;   66.             printf("n");67.         68.     69.70.     /*输出最终的增广矩阵C*/71.     showarray(n);72.73.     /* 开始按顺序反代求解xi(i=n,n-1,n-2,2,1)*/74.     xn=bn/a

20、nn;75.     for(j=n-1;j>=1;j-)76.     77.         xj=bj;78.         for(k=n;k>=j+1;k-)79.             xj=xj-xk*ajk;80.         xj=xj/ajj;81. 

21、0;   82.     printf("n原方程组的唯一一组实数解为：n");83.     for(j=1;j<=n;j+)84.         printf("x%d= %.3fn",j,xj);85. 86.87. /*定义矩阵输入函数getarray(n)并打印以作检查*/88. double getarray(int n)89. 90. printf("n请输入该矩阵各行的实数（以空格隔开）n");91.

22、for(i=1;i<=n;i+)92.     93. printf("n第%d行:t",i);94. for(j=1;j<=n;j+)95.         96.             scanf("%lf",&aij);97.             printf("a%d%d=

23、%.3f",i,j,aij);98.             printf("n");99.         100.     101.     printf("nA=");102. for(i=1;i<=n;i+)103.     104. for(j=1;j<=n;j+)105. printf("t%.3f",a

24、ij);106. printf("n");107.     108.     printf("n");109.     /*输入常数矩阵的各个数*/110.     for(i=1;i<=n;+i)111.     112.         printf("请输入常数b%d = ",i);113.         

25、;scanf("%lf",&bi);114.     115. 116.117. /*定义增广矩阵C输出函数showarray(n)*/118. double showarray(int n)119. 120. printf("n通过初等行变换最终增广矩阵矩阵C化为：n");121.     printf("C=");122.     for(i=1;i<=n;i+)123.     124.         for(j=1;j<=n;j+)125.             printf("t%.3f",aij);126.