理工线性代数考试A卷答案

1、线性代数考试A卷答案及评分标准教师填写课程20122013学年第一学期 线性代数(理科) 试题 授课教师考试时间 2013年 1 月 日 姓 名 课程类别必修选修 考试方式开卷 闭卷试卷类别(A、B、) A 共 8 页得分评阅人一、填空题（共10小题，每小题2分，共20分）1已知均为三阶矩阵，且，及，则 2设均为三阶矩阵，且，为矩阵的伴随矩阵，则行列式.3设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则矩阵.4. 设矩阵满足，则.5齐次线性方程组只有0解，则k应满足的条件是.6设向量组线性相关，则.7设3阶矩阵的特征值互不相同，若行列式, 则矩阵的秩为 2 .8设3阶矩阵的特征值1，2，2，则行列式.9二

2、次型的规范形是.10当满足时，二次型为正定二次型。得分评阅人二、选择题（共10小题，每小题2分，共20分）注意： 将选择的答案填入下表中，填入表外不给分。题号12345678910答案BCAABDCBDC1. 若是五阶行列式的一项(除去符号)，则有( B )（A） ，此项为正 （B） ，此项为负（C） ，此项为正 （D） 以上全不对2若三阶行列式的第三行的元素依次为1、2、3，它们的余子式分别为2、3、4，则行列式=（ C ）（A） -8 （B） -20 （C） 8 （D） 203已知向量组线性相关，线性无关，则： （ A ）（A）必能由线性表示。 （B）必能由线性表示。（C）必能由线性表示。

3、 （D）必能由线性表示。4. 设为矩阵，则齐次线性方程组仅有零解的充分条件是 （ A ） .（A）的列向量线性无关 （B）的列向量线性相关（C）的行向量线性无关 （D）的行向量线性相关5若阶矩阵满足，则下列叙述错误的是（ B ）（A）的每个列向量都是的解；（B）中任意个列向量都线性无关；（C）中任意多于个列向量都线性相关；（D） 0是矩阵的特征值。 6. 已知为的解，则下列哪一个是的解？（D）（A） （B）（C） （D）7已知阶矩阵为可逆矩阵，为矩阵，则有( C )（A） （C）（C） （D）8设是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则向量组线性无关的充分必要条件是（ B ）（A）.

4、 （B）. （C）. （D）. 9如果阶方阵与阶方阵相似，则下列结论不正确的是（ D ）（A）与有相同的特征值 （B）与有相同的特征方程（C）与有相同的行列式 （D）与有相同的特征矩阵10下列矩阵中不能对角化的是( C )（A） （B） （C） （D）得分评阅人三、判断题（共10小题，每小题1分，共10分）注意： 将选择的答案填入下表中，正确的填“对”，错误的填“错” 。题号12345678910答案对错对错错对对对错错1. 行列式 （对）2. 若与是同阶方阵，则. （错）3阶矩阵满足，则可逆. （对）4如果向量组线性相关，则每一个向量都能由其余向量线性表示. （错）5对于矩阵，齐次线性方程组

5、仅有零解的充要条件是行向量组线性无关. （错）6一个特征向量不能属于不同的特征值. （对）7如果阶矩阵的行列式，则至少有一个特征值为零. （对）8若矩阵可逆，则矩阵与相似. （对）9.二次型经非退化线性变换后，变为二次型，则矩阵与相似. （错） 10设三阶实对称矩阵的特征值为-1,2,3，则矩阵是正定矩阵. （错）得分评阅人四、计算题（共4小题，共40分）1.（本题8分） 已知，其中矩阵，求矩阵.解：由 得 又，知 可逆，3分由，得 ， 5分8分2.（本题8分）求如下向量组的最大无关组，并将其余向量用该最大无关组线性表示：解：对矩阵仅施以初等行变换：1分 5分由最后一个矩阵可知：为一个极大无关

6、组，且 6分， 8分注意：本题亦可能有其它结果。3（本题12分） 设方程组， 问取何值时，线性方程组无解？有唯一解？有无穷多解？在有无穷多解时，求方程组通解？解：对增广矩阵进行初等行变换： 3分故有:（1）当时，方程组有唯一解。 5分（2）当时，方程组无解。 7分（3）当时，方程组有无穷多解. 9分同解方程组，故方程组通解为： 12分4（本题12分） 设矩阵，求正交矩阵, 使为对角矩阵. 解：特征方程为所以的特征值为 4分当时, 解齐次方程组得基础解系, 单位化得 7分当时, 解齐次方程组得基础解系. 向量已正交，只须将单位化为即可. 10分 令, 则有 12分注意：正交矩阵亦可能有其它结果。得分评阅人五、证明题（共2小题，每小题5分，共10分）1. 设向量组线性无关，非零向量与均正交，求证：向量组线性无关.证1：若有 用左乘上式两边，得 2分由与均正交，得 4分再由向量非零，知，代入（1）中，由线性无关得因此仍线性无关。 5分证2：假设向量组线性相关又线性无关，则向量可由向量组唯一地线性表示，即存在数，使得 2分用左乘上式两边，得由于与均正交，得 4分，这与为非零向量矛盾.因此仍线性无关。 5分2设和是矩