电位及其梯度

1、第一章 静电场§4 电位及其梯度（P95）1. 在夏季雷雨中，通常一次闪电里两点间的电位差约为一百兆伏，通过的电量约为30库仑。问一次闪电消耗的能量是多少？如果用这些能量来烧水，能把多少水从加热到？ 解：一次闪电消耗的能量等于30库仑的电荷电能的减少量，即设能将质量的水从加热到，则有2. 已知空气的击穿场强为伏/米，测得某次闪电的火花长100米，求发生这次闪电时两端的电位差。解：由电位差的定义可得3. ：在真空静电场中凡是电力线都是平行直线的地方，电场强度的大小必定处处相等；或者换句话说，凡是电场强度的方向处处相同的地方，电场强度的大小必定处处相等。提示：利用高斯定理和作功与路径无关

2、的性质，分别证明沿同一电力线和沿同一等位面上两点的场强相等。证明：沿某一条电力线作如图所示的横截面积为、长为的圆柱形高斯面。由于、两点位于同一直线上，因而、的方向相同。该高斯面内无电荷。由高斯定理可得 即沿同一电力线上的任意两点的场强相等。对于某一等位面作如图所示的横截面积为、长为的圆柱形高斯面，其中为等位面，为等位面，点和点在同一电力线上，点和点也在同一电力线上，由上面讨论可知，由静电场环路定理可得 即同一等位面上的任意两点的场强相等。4. 求与点电荷库仑分别相距为米和米的两点间的电位差。解：点电荷的电场分布为由电位差的定义可得、两点的电位差为5. 一点电荷在离它厘米处产生的电位为伏，求。解

3、：取无限远位零电位点，点电荷的电位分布为 6. 求一对等量同号点电荷联线中点的场强和电位，设电荷都是，两者之间距离为。解：建立如图所示的坐标系，则在两电荷联线的中点，两点电荷产生的场强和电位分别为， 7. 求一对等量异号点电荷联线中点的场强和电位，设电荷都是，两者之间距离为。解：建立如图所示的坐标系，则在两电荷联线的中点，两点电荷产生的场强和电位分别为， 8. 如图所示，是以为中心点有负电荷 把单位正电荷从点沿移到点，电场力对它作了多少功？ 把单位负电荷从点沿的延长线移到无穷远处，电场力对它作了多少功？解： 选无穷远为零电位点，则点的电位为点的电位、两点的电位差为故把单位正电荷从点沿移到点，电

4、场力所作的功为 （为单位正电荷） 故把单位负电荷从点沿的延长线移到无穷远处，电场力所的功为 （为单位负电荷）9. 两个点电荷的电量都是，相距为。求中垂面上到两者联线中点为处的电位。解：如图，两点电荷在点产生的电位分别为由电位叠加原理，点的电位为10. 证明电位为零的等位面是一个球面； 证明球心在这两个点电荷的延长线上，且在点电荷的外边； 这球的半径为多少？证明： 建立如图所示的坐标系，在点产生的电位为对于电位为零的等位面有 所以电位为零的等位面是一个球面。 球心的坐标为：（0，0） ， 球心在 球的半径为11. 解：建立如图所示的坐标系。在电偶极子电场中任取一点，点到电偶极子轴线中点的距离为，

5、和到点的距离分别为和。由点电荷电势公式和电势叠加原理可得点的电势为因为，所以，代入上式可得点的电势为式中，为电偶极子中心与场点的连线和电偶极子轴的夹角，如图所示，且，则点的电势可表示为可见电势是点坐标的函数。点场强在，、方向的分量分别为于是点的场强为当点在电偶极子轴延长线上时，点的场强为当点在电偶极子轴中面线上时，点的场强为12. 证明本章§2习题8附图中电四极子在它的轴线延长线上的电位为 （），式中叫做它的电四极矩。利用梯度验证，所得场强公式与该题一致。证明：可以直接利用点电荷电位公式和电位叠加原理计算，也可以看成两个电偶极子进行计算。见图，左、右两个电偶极子在点的电位分别为故点的

6、电位为 （）13. 一电四极子如附图所示。证明：当时，它在点产生的电位为 （），图中极轴通过正方形中心点，且与一对边平行。解：14. 求本章§2习题12中均匀带电圆环轴线上的电位分布，并画曲线。解一：设圆环半径为，所带电量为，建立如图所示坐标。在圆环上任取一长为的电荷元，它的电量为： （电荷线密度：）电荷元在点产生的电势为：整个圆环在点产生的电势为：解二：均匀带电圆环轴线上点的场强为则点的电位为曲线见图。15. 求本章§2习题13中均匀带电圆面轴线上的电位分布，并画曲线。解：将均匀带电圆面分割成同心圆环，半径为、宽为的圆环在轴线上的电位分布为则均匀带电圆面轴线上的电位为曲线

7、见图。16. 求本章§3习题3中同心球面在、三个区域内的电位分布，并画曲线。解：在、三个区域内的场强分布为区域内，；区域内，；区域内，。则电位分布为区域内，区域内，区域内，曲线见图。17. 解：当、区域内： 区域内： 。18. 求本章§3例题2中均匀带电球体的电位分布，并画曲线。解：均匀带电球体的场强分布为球体内（），球体外（），则电位分布为球体内（）球体外（）曲线见图。19. 解：则表面电位为所以20. 一质子（电荷为库，质量为千克）以米/秒的初速从很远的地方射向 粒子的电荷为库，质量为千克，以米/秒的初速度从很远的地方射向解： 设质子能到达的最近距离为， 对于粒子有 2

8、1. 在氢原子中，正常状态下电子到质子的距离为米，已知氢原子核（质子）和电子带电各为（库）。把氢原子中的电子从正常状态下离核的距离拉开到无穷远处所需的能量，叫做氢原子的电离能。求此电离能是多少电子伏和多少焦耳？解：氢原子的电离能为22. 轻原子核（如氢及其同位素氘、氚的原子核）结合成为较重原子核的过程，叫做核聚变。核聚变过程可以释放出大量能量。例如，四个氢原子核（质子）结合成一个氦原子核（粒子）时，可释放出的能量。这类核聚变就是太阳发光、发热的能量来源。如果我们能在地球上实现核聚变，就可以得到非常丰富的能源。实现核聚变的困难在于原子核都带正电，互相排斥，在一般情况下不能互相靠近而发生结合。只有

9、在温度非常高时，热运动的速度非常大，才能冲破库仑排斥力的壁垒，碰到一起发生结合，这叫热核运动。根据统计物理学，绝对温度为时，粒子的平均平动动能为 一个质子以怎样的动能（以电子伏表示）才能从很远的地方达到与另一个质子接触的距离？ 平均热运动能达到此数值时，温度（以开表示）需为多少？解： 一个质子与另一个质子碰撞时，电场力作负功。要使两个质子接触，其动能为 23. 相当于多少开？ 相当于多少开？ 室温（开）相当于多少？解： 解： 建立如图所示坐标。在带电细直线取微元，利用点电荷电位公式可得在点的电位为见图见图附图所解： 在细直线上取微元，它在点的电位为 当时与上题相同当时与上题相同当时与上题相同2

10、6. 一无限长直线均匀带电，线电荷密度为。求离这线分别为和的两点之间的电位差。解：由高斯定理可得无限长带电直线外的场强分布为如附图解：均匀带电直线产生的场强为证明：设坐标原点电位为零，则的等位面可表示为解：由高斯定理可得当时， 当时，当时， 则电位分布为当时， 当时，当时， 线见图由高斯定理可得场强分布为当时，当时，当时，当时，由高斯定理可得场强分布为解： 设阳极、阴极的电荷线密度分别为，阴极的电位为零。两圆筒间的电场可看作轴对称电场，由高斯定理可得两圆筒间的场强为附图所和曲线解：由高斯定理可得证明：把结看成是一对带正、负电荷的无限大平板，因两区电荷数量相等，由高斯定理可知：结外的场强为零，电场只存在结内。由高斯定理可得区：区：区：区：区：区：证明：由高斯定理可知：结外的场强为零，结内的场强分布为选取处电位为零，则结内的电位分布为当时，故题中所