用定积分法求面积 改

1、 学 年 论 文题 目： 用定积分法求面积 学 院： 数学与信息科学学院 专 业： 信息与计算科学 学生姓名： 王生文 学 号： 200871020127 指导教师： 郭晓斌 用定积分法求面积摘要：定积分是数学当中十分重要的一种方法，其中求图形的面积正是它的运用之一，它的思想一般就是切割求和，本文就介绍了几种运用定积分来求面积的方法。其中，列举了普通的例题以及一些重要的问题解决方法。关键字：定积分 微元法 分割 With the definite integral method for area Abstract: the definite integral in the math is ve

2、ry important for a method, which is the area of its graphics, one of the ideas of use, this paper cutting summation is commonly used describes some of the definite integral to beg area method. Among them, lists the ordinary examples, and some important problem solving methods.Keyword：Definite integr

3、al Micro element method segmentation 1.求平面区域的面积在求平面区域的面积当中，由于围成平面区域的曲线可用不同的形式表示，一般情况下，曲线的形式分为三种情况，每种情况下的求区域面积的方法各有所不同，因而分下面三种情况进行讨论。1.1直角坐标系由连续曲线y=f(x) （x 0），以及直线x=a，x=b（ab）和x轴所围成的曲边梯形的面积为： = .y=f2 (x)y=f1 (x)ab0yx图 1如果f(x)在a, b上不都是非负的，则所围图形的面积为：=.一般地，由上下两条连续曲线y=f2(x)与y=f1(x)以及两条直线x=a与x=b (ab)所围成的平面

4、图形（图 1），它的面积计算公式为： A= （1） 例题1 求在区间,2 上连续曲线 y=ln x ,x轴及二直线 x =,与x = 2所围成平面区域（如图2）的面积 。解：已知在,2 上，ln x 0 ; 在区间 1 , 2 上，ln x 0 ,则此区域的面积为：A = = + = + = .例题2 求抛物线 y2=x 与x-2y-3=0所围成的平面图形（图 3）的面积 A 。解： 该平面图形如图所示.先求出抛物线与直线的交点P(1 ,-1)与Q（9,3）.用x=1把图形分为左、右两部分，应用公式（1）分别求的它们的面积为：= .= .所以 .本题也可把抛物线方程和直线方程改写成:x=y2

5、=1(y), x=2y+3=2(y), y-1 ,3.并改取积分变量为y，便得：A= .例题3 求两条曲线y=x2 与 x=y2围城的平面区域（如图4）的面积。解： 两条曲线的交点是（0,0）与（1,1），则此区域的面积： . 例题4 求由两条曲线y=x2,y= 和直线y=1围成的平面区域（如图5）的面积.解法一：此区域关于y轴对称，其面积是第一象限那部分面积的二倍。在第一象限中，直线y=1与曲线y=x2 与y= 的交点分别是（1,1）与（2,1）.此区域的面积为： .解法二：将y轴看作是自变数。在第一象限的那部分区域是由曲线 , 和直线y=1所围成（y作自变数）。此区域的面积为： .1.2

6、参数方程设曲线C是参数方程x=(t) , y=(t) , t .其中(t)与(t)在 , 上连续。1）若函数x=(t)在 , 上严格增加，从而(t) 0.有a = () ()=b ,则函数x =(t)存在反函数 t =-1(x), 曲线C：y=-1(x)、x轴和二直线x=a , x=b 围成区域的面积= = (1)2)若函数 x= (t)在 , 严格减少，从而(t) 0,有a= () ()=b,则函数x=(t)存在反函数t= -1(x), 曲线C：y= -1(x)、x轴和二直线x=a, x=b 所围成的区域面积 = . (2)3） 如果由参数方程所表示的曲线是封闭的，既有()=() , ()=

7、() ,且在（ ，)内曲线自身不在相交，那么由曲线自身所围成图像的面积为A= (或) (3)例题5 求由摆线x=a(t-sint) ,y=a(1-cost) (a0)的以拱与x轴所围成的平面图形（图6）的面积。xa1a2aA2a y图 6 66666666解 ：摆线的一拱可取t=0 ,2 .所求面积为：= =3a2 .例题6 求旋轮线：x=a(t-sint),y=a(1-cost) (a 0, 0t2)一拱与x轴围成的区域（如图 7）的面积.解：函数x=a(1-sint)在0 ,2严格增加，或任意的t0 ,2，有x=a(1-cost) 0 (仅在0 ,2上的孤立点使x=0)由公式(1)，旋轮线

8、一拱与x轴围成区域的面积： =3a2 .例题7 求椭圆：x=acost ,y=bsint (0t2)的面积.解：椭圆关于x轴、y轴都对称，其面积使第一象限那部分区域面积的四倍.第一象限那部分区域是曲线 x=acost ,y=bsint （0t） 和x轴、y轴所围成 .而函数x=acost在严格减少，或任意x,有x= - a sin t0 .由公式（2），椭圆的面积为： ab例题8 求椭圆所围成的图形的面积.解： 化椭圆为参数方程: x=a cost , y=b sint, t0 , 2 .由公式(3)， 求的椭圆所围成的平面图形的面积为：A=ab=ab.显然，当a=b=r时，这就等于圆面积r2

9、 .1.3 极坐标 xA0图8设曲线C由极坐标方程 r=r() , , .给出，其中r()在, 上连续， -2 . 由曲线C与两条射线=，=所围成的平面图形，通常也称为扇形（图 8）.此扇形的面积的计算公式A= . (5) x0=1=i-1=i=i图9=i这仍可由定积分分的基本思想而得。如图 9 所示，对区间, 作任意分割T: =0<1<2<· · ·<n-1<n=,射线=i（i=1,2， · · ·，n-1） 把扇形分成n个小扇形。由于r()是连续的，因此当T很小时，在每一个i=i-1 ,i 上r()的

10、值变化也很小 。任取ii，便有r()r(i) , i , i=1,2, · · ·, n 这时，第i个小扇形的面积为Air2(i) i,于是 A .由定积分的定义和连续函数的可积性，当T0时，上式右边的极限即为公式(5)中的定积分。例题9 求双扭线r2=a2cos2 所围成的平面图形的面积A.解： 如图10所示，因为r20,所以的取值范围是 - , 与, .由图形的堆成性及公式(5) ，得到A=a2 .例题10 求三叶玫瑰线r=acos3 (a0)围成区域（如图11）的面积。解： 三叶玫瑰线围成的三个叶全等，如图11. 只须计算第一象限那部分面积的6倍。三叶玫瑰线

11、 r=acos3.在第一象限中，角的变化范围是由0到 。于是三叶玫瑰线围成区域的面积为： 令=3 则原式可化为： = .2.求旋转曲面的面积定积分的所有应用问题，一般总可以按“分割，近似求和，取极限”三个步骤导出所求量的积分形势，但为了简便实用起见，也常采用下面介绍的“微元法” 。2.1微元法若令 (x)= ,则当f为连续函数时，(x)=f(x) ,或d=f(x)dx ,且(a)=0 , (b)=.现在恰好把问题倒过来：如果所求量是分布在某区间 a ,x 上的，或者说它是该区间端点x的函数，即=(x) , x a , b ,而且当x=b时，(b)适为最终所求的值。再任意小区间 x ,x+xa

12、, b 上，若能把的微小增量近似表示为x的线性形式： f(x)x . (1) 其中f 为某一连续函数，而且当x 0时，f(x)x=(x) ,亦即 df(x)dx . (2) 那么只要把定积分计算出来，就是该问题所求的结果。上述方法通常称为微元法。采用微元法是应注意以下两点1) 所求量关于分布区间必须是代数可加的。2)微元法的关键是正确给出的近似表达式(1) .在一般的情况下，我们要严格的检验 f(x) x是否为x的高阶无穷小量往往不是一件容易的事。因此对(1)式的合理性需特别小心。2.2 一般方法设平面光滑曲线C的方程为y=f(x) ,xa ,b (不妨设f(x) 0) .这段曲线绕x轴旋转一

13、周的到旋转曲面（图 12）。下面用微元法导出它的面积公式 。通过x轴上点x与x+x分别作垂直于x轴的平面，它们在旋转曲面上截下一条狭带。当x很小时，此狭带的面积近似于一圆台的侧面积，即S f(x)+f(x+x) =2f(x)+ y .其中 y= f(x+x)-f(x) .由于 =0 , =,因此有f(x)的连续性可以保证 2f(x)+y-2f(x) x=(x)所以得到 . (3)如果光滑曲线C由参数方程x=x(t) ,y=y(t) , t,给出，且y(t) 0,那么由弧微分知识推知曲线C绕x轴旋转所得旋转曲面的面积为 (4)例题11 计算圆x2+y2=R2在区间 x1 ,x2 -R ,R 上的弧段绕x轴旋转所得球带的面积。解： 对曲线y= 在区间 x1 ,x2 上应用公式(3) ,得到= 2R(x2- x1) .特别当x1=-R ,x2=R 时，则地球的表面积S球=4R2 .例题 12 计算由内摆线x=a cos3 t , y=a sin3 t （见图13）绕x轴旋转所得到旋转曲面的面积。解： 由曲线关于y轴的对称性及公式(4)，得 = = .参考文献：刘玉琏 、傅沛仁等.数学分析讲义.北京.高等教育出版社.2004吴良森