物理试题3答案

1、物理竞赛试题 3 参考答案一、解 在题图中画出辅助矢量（如答图3-1）：， ， ， ， 写出板受到的力平衡方程： 而 ， 将各式代入得而为不共面向量，则可得 则 二、解 任取球面上某一点，可得过该点和球心的剖面图（答图3-2），设该点到凸透镜距离为u，到主光轴距离为y，则由勾股定理有 由凸透镜成像公式，有 得到 由放大率公式，并利用上式，有 得到 将代入，可得 整理得 上式对每个v都成立，可得 即得 应满足 三、解 初始时LC振荡频率 将电容器极板缓慢拉开后，变为了 则由得到 初始时振荡能量 末态能量 在很缓慢的拉开平行班电容器极板时，L不变，而C缓慢地改变。在拉动过程中，每拉一个很小的距离，

2、回路已经振荡了很多次，而对于每一次振荡，可以认为电容器两极板距离为常量。在一次振荡中，电容器上带电量随时间的变化规律是 ，其中为电荷量振幅，它对一次振荡来说是常量，而对两个极板距离变化的整个过程，与极板距离x一样，应是变量。并且在一次振荡中，电磁能量总和可以用最大静电能表示： 在极板被缓慢拉开的过程中，可以认为外力与板间静电吸引力时时平衡。又因为电荷量随时间变化，所以外力也随时间变化，而且外力的方向始终与位移方向一致。据此，可以采用平均力处理。因为 ， 所以 由功能原理 将代入得 常量 由得到 从而 由得到 所以 ， 外力做功 四、解 先考虑由月亮引起的潮汐，设月亮的质量为m，地球的质量为，地

3、球的固体部分半径为，月亮到地球中心的距离为。月、地系统质心C到地球中心的距离为。在答图3-4所示的截面中，水面考察点P的位置用极坐标表示，C到P的距离用表示。设月、地系统绕过质心C，垂直与图平面的轴转动。转动角速度为，并设地球自转轴也与图平面垂直，这种设定可便于计算赤道处在24小时周期内潮汐变化与的关系。以上设定中的为为 另有 由可解得 此处设定中的为 地球表面 点处单位质量水的势能即势V由三种势组成，其一是地球引力势 其二是月亮的引力势 由于，可将按的幂次展开，略去比更高次的项，有 （上式为麦克劳林近似展开，相关内容附于本题解后）其三是在月、地系统质心参照系中的离心势 故V为 把代入，并注意

4、到地球表面为等势面，可得 取 代入，作合理近似可得即 在 处水面高度最低为，故中的，而在处潮汐最大，取为，故在24小时时间内赤道处的潮汐变化为 与由月亮引起的潮汐计算相似，由太阳引起的潮汐变化为 中为太阳的质量，为太阳到地球的距离，故由即可得 附：麦克劳林公式：其中 ， 由此得近似公式： 应用上式于即可得。 五、解 因为系统的等温压缩率为所以对为常数的等温过程有 ， 即 设平液面时水的密度为，而相同质量M的水在相同温度和大气压下的小液滴的密度为，则 即 所以水滴的密度 设小水滴为球形，则水滴内的压强为 式中为大气压强，r为水滴的半径。因此得水滴的密度 因为 是一个小量，所以 六、解 盐水是良导

5、体，因为正负离子可以在溶液中很容易的运动。当带电塑料球接近水面时，与其带相反电荷的离子将移向水面，而同种电荷将遭排斥。结果水面上方的电场线将垂直于水平面，而水面下方电场强度为0。带电小球吸引其下方的水，因此相应水面将隆起。作用在隆起水面上的静电力，主要与水本身的重力相平衡，此时水的表面张力可以忽略不计。我们不是准确地知道隆起的形状，但是可以肯定地讲这个隆起高于水平面一定很少，而且只会轻微偏离平面；这就是为什么还可以使用电像法来解决问题的原因。这种方法对于找出最大效应、求解水面最高点P的高度是足够的。电量Q在P点的电场强度为 水面上未知的电荷分布效应可以等效为位于水面下深度为3r的像电荷-Q产生

6、的电场（如答图3-6所示）。像电荷在P点的电场强度与E1的大小和方向均相同，因此总电场强度为 根据高斯定理，P点的表面电荷密度为水面上单位面积受到的力为水面电荷密度与带电小球在该点产生电场强度E1的面积这个力为P点单位面积受到的方向向上的力，它应该与水平面升高后水面的静压力相平衡 把电场强度和表面电荷密度的表达式代入上式，得到高度h为把各个变量的取值代入上式，得，可见这个值与小球的直径相比是很小的。这说明我们认为水面近似水平是合理的。 七、解 (1)光栅常数 由光栅方程可确定角方向上红光和紫光谱线的级次。由已知假设红光波长，紫光波长。对红光： 取整数 ，即红光的第二级与紫光重合。对紫光： 取整

7、数，即紫光的第三级与红光重合。将与代入光栅方程可得红光和紫光的波长：(2)两种谱线重合的条件 即 取整数 能出现的最大级次由限定，即。对红光，最大级次 ，即4级。对紫光，最大级次 ，即7级。所以，还能出现重合的红光和紫光，其级次为红光的第4级与紫光的第6级重合，其所在的角度满足(3)红光谱线最大不超过4级，其中第二级和第四级与紫光谱线重合，故只有第一级和第三级为单一谱线，其方位角可由 求出：；。 八、解 带电荷量为q、质量为m、初速为v的粒子，当它在磁感应强度为B的匀强磁场中运动时，如果其初速度的方向与磁场方向垂直，由洛伦兹力和牛顿定律可知，它将在磁场中作匀速圆周运动。令T和R分别表示其周期和

8、轨道半径，则有 由此求得 把这些结论用到本题中，可知a粒子开始在第一象限中运动（y轴以右）以后就按此模式在xy平面内沿答图3-8-1中的虚线运动。同理，粒子b开始在第三象限（y轴以左）中运动经过半个周期（即）后，进入第四象限中（y轴以右），周期和轨道半径变为以后就按此模式在xy平面内沿答图3-8-1中的实线运动。由以上分析可知，只要在右边，不管a还是b，周期皆为；只要在左边，周期皆为2T0。由答图3-8-2可见，只有在两轨迹交叉或相切的那些点，才有相遇的可能性。为求得题中所说的时间差的最小值，下面我们先假设，如果a、b同时开始运动，分析经过哪个交叉或相切点时两者的时间差最短，则这个时间差就应当

9、等于题中所说的要a、b在此交叉或相切点能相遇，两者出发时间的时间差。为此，结合答图3-8-2分别考察a、b的运动，经过分析就可看出，在5T0到5.25T0之间的那个交叉点（答图2-8-2中的P点）处，a、b通过它的时间差最短（在5T0以前和5.25T0以后的那些交叉或相切点，a、b通过时的时间差都较长）。为了定量地求出此时间差，取负y轴上距原点O为3Ral（即6Rbl）处为新的原点O，如答图3-8-2所示。取时间为新的计时时刻，对a用表示，对b用表示。在y轴以左a、b的周期相同，所以角速度亦相同，以表示a、b在y轴以左的角速度对a 对b 对P点应有 ， 由以上各式可解得所求的时间差应为这个结果说明，如果a、b同时出发，则a比b晚时间通过P点。换成题目的要求，就应当说，要a、b相遇，则b的出发时间应比a晚。由以上各式还可求得P点的坐标换为Oxy坐标系 九、解 建立柱坐标（），如答图3-9-1。由于系统柱对称，取任意的平面，在该平面内设P（）点恰为所求区域边界。小球从下落达碗底，碰前速度为，有 小球从碰撞开始至到达碗边时间 且有 由得 又 联立，消去，得 由可得 作出上式的图像如答图3-9-2，由图像及对的分析可知合理的的范围是。而图像所表示的范围（阴影部分）即是剖面内的可行范围。由于的任意性，小球可以在一个由该剖面旋转构成的旋转曲面内