两直线的位置关系

1、第 55 讲两直线的位置关系1一条光线从点(5,3)射入，与 x 轴正向成a角，遇 x 轴后反射，若 tan a 3,则反射 线所在的直线方程为(D)A. y= 3x 12 B. y= 3x 12C. y= 3x+ 12 D. y= 3x+ 123显反射线所在的直线过点(5, 3),斜率 k= tana=3,由点斜式得 y+ 3= 3(x 5)，即卩 y= 3x+ 12.2.(2017 西景德镇二模)若直线 11： (m 2)x y 1 = 0 与直线 3x my= 0 互相平 行，则 m 的值等于(D)A . 0 或1 或 3 B. 0 或 3C. 0 或1 D . 1 或 3当 m= 0

2、时，两条直线方程分别化为一2x y 1 = 0,3x= 0,此时两直线不平行；m 一 2 1当 m 0 时，由于 11 /b，贝 U=，解得 m = 1 或 3.3 m经检验满足条件.综上，m = 1 或 3.13. “m = 2”是直线(m+ 2)x+ 3my+ 1 = 0 与直线(m 2)x+ (m+ 2)y 3 = 0 互相垂直” 的(B)A .充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D .既不充分也不必要条件1容易检验当 m= 2 时，两条直线互相垂直，所以可以否定C 和 D.观察两个方程的系数，不难得到，当 m+ 2= 0 时，即 m= 2 时，两条直线也互相垂直，故选B

3、.4.(2017 广州市二测)已知三条直线 2x 3y+ 1 = 0,4x+ 3y+ 5 = 0, mx y 1 = 0 不能构成三角形， 则实?数m 的取值集合为 (D)4242A. 3,2B.旨一 342442 2C. 一 3,3,4D.3,- 3, 3记 l1:2:x3y + 1 = 0, l2: 4x+ 3y+ 5= 0, l3: mx y 1 = 0,11, , %不构成三角形，当且仅当：I3/或 I3/或 h、12、%相交于同一点.2113/1，得 m = 3;42b “2，得 m = 3;13l1与 12的交点为(一 1 , 3)日3,31 2得一 m+ 3 1 = 0，得 m=

4、 3.42 2综上，实数 m 的取值集合为 , 2, -.5.直线 ax+ 4y 2= 0 与2x 5y+ c= 0 垂直于点(1, m),贝Ua=10, c= 12m= 2 .xa 2CO 因为两直线互相垂直，所以一- = -1,4 5所以 a= 10.又两直线垂直于点(1, m),所以(1, m)在直线 li和 12上，所以 10X1 + 4Xm 2= 0,所以 m= 2,再将(1, 2)代入 2x 5y+ c= 0,得 2X1 5X( 2) + c= 0，得 c= 12.6.已知 a, b 为正数，且直线 ax+ by 6= 0 与直线 2x+ (b 3)y+ 5= 0 互相平行，则 2

5、a + 3b 的最小值为25 .23堪 3 由两直线平行可得 a(b 3) = 2b，即 2b+ 3a = ab, a + = 1,又 a, b 为正数，236a 6b6a 6b所以 2a+ 3b = (2a+ 3b)塔+ p = 13+計丁13+ 225.当且仅当 a = b= 5 时取等号，故 2a+ 3b 的最小值为 25.7.设直线 11: y= 0+ 1, I2： y= k2x 1,其中实数 kr k?满足 k2+ 2 = 0.(1) 证明 l1与 l2相交；证明 l1与 I2的交点在椭圆 2X2+ y2= 1 上.ES3 (1)反证法：假设 I1与 12不相交，则 I1与 12平行

6、，有 k1= k2,代入 k1k2+ 2 = 0,得 k1+ 2 = 0.此与 k1为实数的事实相矛盾，从而匕工 k2,即 h 与 I2相交.y= k1x+ 1,(2) (方法一)由方程组y= k2x 1,2x=,k2 k1解得交点 P 的坐标(x, y)满足k1+ k2y=.k2 k18+ k2+ k1+ 2k1k2k2+ k1 2k1k2此即表明交点 P(x, y)在椭圆 2x2+ y2= 1 上.y 1 = k1X, (方法二)交点 P 的坐标(x, y)满足y+1 = k2x,y 1.k1= x 故 x丰0,从而y+1.k2=而 2x2+ y2= 2()2+ (k2+ k1) k2 k

7、k2+ k2+ 4k2+ k2+ 4代入 k2+ 2 = 0,X=y 1 y+ 1得= + 2= 0，整理得所以交点 P 在椭圆2X2+ y2= 1 上.4SL.& (2018 湖南长郡中学联考)已知 f(x)为奇函数，函数 f(x)与 g(x)的图象关于直线 y = x + 1 对称，若 g(1) = 4，贝 U f( 3) = (A)A 2 B . 2C. 1 D . 4薛 3 因为 g(1) = 4,所以(1,4)在 g(x)的图象上，因为 f(x)与 g(x)的图象关于直线 y = x+ 1 对称，所以(1,4)关于 y= x+ 1 的对称点在 y= f(x)的图象上，因为(1

8、,4)关于 y= x+ 1 的对称点为(3,2),所以 f(3) = 2,又 f(x)为奇函数，所以 f( 3)= f(3) = 2.9. (2017 江西南昌模拟)m R，直线(2m+ 1)x+ (m+ 1)y 7m 4= 0 恒过定点，此定点 的坐标为(3,1).直线(2m + 1)x+ (m+ 1)y 7m 4= 0,即(2x+ y 7)m+ x+ y 4 = 0,2x+ y 7 = 0,X=3,由解得x+ y 4= 0,|y= 1.故直线过定点(3,1).10.已知直线 1:2X3y+ 1 = 0，点 A( 1, 2).求:(1)点 A 关于直线 l 的对称点 A的坐标;直线 m：3X2y 6 = 0 关于直线 I 的对称直线 m的方程;直线 l 关于点 A( 1, 2)对称的直线 I的方程.(1)设 A(X,y)，由已知条件有:注2x+13X1 y22X 3X-+1=0.在直线 m 上取一点，如 M(2,0),则 M(2,0)关于直线 l 的对称点必在 m上，设对称点为 M (a, b),则2 22X2+y解得33134_y=石所以 A(33 413, 13)a+2 b+02X3+1=0,设 m 与 I 的交点为 N ,2x 3y+ 1= 0,由得 N(4,3).3x 2y 6= 0,又因为 m经过点 N(4,3),所以由两点式得直线m的方程为