概率论与数理统计第一章习题及答案

1、概率论与数理统计习题第一章概率论的基本概念习题1-1设A,B,C为三事件，用A,B,C的运算关系表示下列各事件.(1) A发生，B与C不发生，(2) A与B都发生，而C不发生，(3) A,B,C中至少有一个发生，(4)A,B,C都发生，(5)A,B,C都不发生，(6) A,B,C中不多于一个发生，(7) A,B,C中不多于两个发生，(8) A,B,C中至少有两个发生，解(1)A发生，B与C不发生表示为ABC或A(AB+AC)或A(BUC)(2) A,B都发生，而C不发生表示为ABC或ABABC或ABC(3) A,B,C中至少有一个发生表示为A+B+C(4) A,B,C都发生，表示为ABC(5)

2、 A,B,C都不发生，表示为ABC或S(A+B+C)或ABC(6) A,B,C中不多于一个发生，即A,B,C中至少有两个同时不发生，相当于AB,BC,AC中至少有一个发生。故表示为：ABBCAC。(7) A,B,C中不多于二个发生相当于A,B,C中至少有一个发生。故表示为ABC或ABC(8) A,B,C中至少有二个发生。相当于AB,BC,AC中至少有一个发生。故表示为AB+BC+AC习题1-2设A,B为两事件且P(A)0.6,P(B)0.7,问(1)在什么条件下P(AB)取得最大值，最大值是多少？(2)在什么条件下P(AB)取得最小值，最小值是多少？解由P(A)=0.6,P(B)=0.7即知A

3、BW。，(否则AB=。依互斥事件加法定理，P(AUB)=P(A)+P(B)=0.6+0.7=1.3>1与P(AUB)W1矛盾).从而由加法定理得(*)P(AB)=P(A)+P(B)-P(AUB)(1)从0WP(AB)WP(A)知，当AB=A,即AnB时P(AB)取到最大值，最大值为P(AB尸P(A)=0.6,(2)从(*)式知，当AUB=S时，P(AB)取最小值，最小值为P(AB)=0.6+0.71=0.3。习题1-3在房间里有10个人，分别佩戴从1好到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码，(1)求最小号码为5的概率；(2)求最大号码为5的概率.解：试验：“10人任取3人记录其号码

4、“，样本点总数：nC130设A:“最小号码为5"B:“最大号码为5"最小号码为5:必须取到5号、其余2人610中任取2nAC5C：C3012B :“最大号码为5 " nBC42(1-4中取2人)P(B)C42C0120习题1-4某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶，黑漆4桶，红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些发给顾客，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆，和2桶红漆的顾客，能按所定颜色如数得到定货的概率是多少？解：试验：“从17个桶中任取9个桶“，nCvA:“取4桶白、3黑、2红L“nAC140c:C；C40C：C22529C1S72431习题1-5从5

5、双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少？解一：实验：“从5双鞋中任取4只”nP0A:“4只鞋子中至少有两只配成一双”第二只从4双"4只均不成双第二只从3版第一只从5双（1口只）中任取一只二"只）解二:A:nAC424解三:中任取一只:中任取一只;Cio10第四只从2双nA108641081PA1五双中取四双:10每双中取一只:-4*C52PA1C10设A：“四只中恰有两只配成双”A2：“四只恰好配成两双”且A4AUA2（4只）中任取一只!6413C；1321nA2721c5c5C222C82C4c5c2c4codco12211132121习题

6、1-6在11张卡片上分别写上排列结果为ability的概率.解：记排列结果为ability为事件A,则probability这11个字母,从中任意连抽7张,求其R；11109876562.410习题1-7将3个球随机地放入的概率.4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1,2,3设A：“杯子中球的最大个数为ii1,2,3E：“3个球放入4个杯中”n43而A:“每个杯子最多放一个球“，门叫P：;A2：“一个杯中放2只球，其余最多放一个“nA2C：C32C；A3： ”3个球放一个杯子中“1nA3 C4AP43A1*43c4c32c316c41634习题1-8已知P(A) 0.3P(B)0.4,P(

7、AB)0.5，求 P(B|A B).解:0.3 P0.4P AB0.50.70.6ABAB U ABP ABABABAB0.7B AU BAB0.5 0.2B| AU BP ABP AU BP AB0.20.250.70.60.5习题1-9已知P(A)1P(B|A)-3P(A|B),求P(AB).解：QPPABB|APAABPAPB|APABA|B11212PAUBPAB12习题1-10某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，（1）求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率；（2）若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？解一：设A：“第i次接通电话”i1,2,3A：“拨号不超过三次

8、而接通”AAUA1A2UAA2A3PAPAPA1A2PA1AA3PAPA1PA2IA1PA1PA2IAPA31AA2191981310109109810当已知最后一个数字是奇数时1414313PA-5545435解二：qA：“拨号3次都未接通"。AXATAP(A) 1p（A）1 p仄 A2A3）1P(A)P(A2|A)P(A|A1A2).98731 109810当最后一位是奇数时。P(A)习题1-11求放回后仍为“某种产品的商标为 “ MAXAMMAXAM ”解：当两个字母相同时, 概率为1/2.的概率。放回单词的概率为其中有2个字母脱落，有人捡起随意放回,1;当两个字母不同时，放回

9、后单词不变的P212C21416 12 20 20 2习题1-12已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解：B= "选中的是色盲患者”A1= "此人是男性”A2= "此人是女性”11pAi21PA2 -P(B|Ai)5%,P(BA)0.25%.P(A|B)P(AB)P(B)P(A)P(B|Ai)P(A)P(B|Ai) P(A2)P(B|A2)152 100151252 100 2 10000习题1-13将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作20

10、21B的概率为0.02,而B被误收作A的概率为0.01.信息A与信息B传送的频率程度为2：1.若接收站收到的信息是A,问原发信息是A的概率是多少？解：设C：“传递出去的信息是A”；D：“收到的信息是A”2 1则P(C)P(C)3 3P(D|C)10.020.98P(D|C)0.01由贝叶斯公式得：P(C|D)P(CD)P(D)P(C)P(D |C)P(C)P(D |C) P(C)P(D |C)230.981962 0.9810.011973 3习题1-14有两箱同种类的零件.第一箱装50只，其中10只是一等品；第二箱装30只，其中18只一等品.今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次

11、任取一只，作不放回抽样.求（1）第一次取到的零件是一等品的概率.（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率.解：设A:“第i次取到的是一等品"，i1,2Q包含：1从两箱中任取一箱是第一箱2从第一箱中任取两只，第一只是一等品从两箱中任取一箱是第二箱从第二箱中任取两只，第一只是一等品而AA4UaA21109104011817181222504950492302950295 Q P AA110_9_18172762504930291421P A21A276 14212 50.4856习题1-15某人下午5:00下班，他所积累的资料见下表:收一U5:§02

12、人54一”之后秉峨罅洞率1100,250.450.15。,心垂汽旬累跚率1340350.2A0.1C0肥某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是汽车，结果他是5:47到家的，试求他是乘地铁回家的概率.解：设A: “乘地铁回家”五：“乘汽车回家”Bi： “5: 355: 39 回家”3 : “5: 405: 44 回家”B3： “5: 455: 49 回家”B4： “5: 505: 54 回家”P(A|B3)P(AB3)P(B3)B5：“迟于5:54回家”P(A)P(B3|f)_P(A)P(B3|A)P(A)P(B3|A)913120.45100.45100.2022习题1-16(1)设有4个独立工作的元

13、件1,2,3,4。它们的可靠性分别为p1,p2,p3,p4,将它们按图1方式联接(串并联系统)；(2)设有5个独立工作的元件1,2,3,4,5,它们的可靠性均为p,将它们按图2的方式联接(桥式系统)。试分别求出这两个系统的可靠性。(图1,2见教材28页习题34)习题1-17A,B,C三人在同一办公室工作，房间里有一部电话。据统计知，打给A,B,C的电话的概率分别为2/5,2/5,15o他们三人常因工作外出，A,B,C三人外出的概率分别为1/2,1/4,1/4。设三人的行动相互独立。求(1)无人接电话的概率；(2)被呼叫人在办公室的概率；(3)这3个电话打给同一人的概率；(4)这3个电话打给不相

14、同的人的概率；(5)这3个电话都打给B的条件下，而B却都不在的概率。解：设：A：“A不在办公室”，A2：“B不在办公室”，A3：“C不在办公室”，B1：“电话打给A”，民：“电话打给B”，B3：“电话打给C”，已知B1,B2,B3互不相容，因为不可能一个电话同时打给两个人，A1与B1、A2与B2、A3与B3它们是相互独立的。(1)P(AAA)P(A)P(A2)P(A)1111244 32P(AB1 A2B2P(A)P(B)P(A)P(Bz)P(A3)P(B3)2123135"214 飞 彳1320(3) P(B1B1B1B2B2&B3B3B3) P(B1B1B1) P(B2B

15、2B2)P(B3&&)P(Bi)P(Bi)P(Bi)P(B2)P( B2)P(B2) P(B3)P(B3)P(B3)17O125(4)P(BiB2B3B1B3B21245 125B2B1B3B2B3B1B3B1B2B3B2B1)6 P(B1B2B3)(5)P(B2B2B2A2)P(B2)p(B2)p(B2)p(A2)O125习题1-18设一枚深水炸弹击沉一潜水艇的概率为1/3,击伤的概率为1/2 ,击不中的A3B3)P(ABi)P(A2B2)P(A3&)概率为1/6。并设击伤两次也会导致潜水艇下沉。求施放4枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率。(提示：先求出击不沉的概率)解设A"施放4枚深水炸弹击沉一潜水艇”，B“施放4枚深水炸弹均未击中艇”C“施放4枚深水炸弹恰有一枚击伤潜水艇”431-_111则PB1,PCC：116264311111283C46261296,而输出为其习题1-19将A,B,C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为它一字母的概率都是