第二章 平面向量复习

1、第二章 平面向量复习 选题人：刘瑞红 审题人：苏传忠（起点）（终点）一、向量的概念：1向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量。线段的长度叫向量的长度，记作。2向量的表示方法：（1）用有向线段表示； （2）用字母表示：.3单位向量、零向量、平行向量、相等向量、共线向量的定义：（1）单位向量：长度为1的向量叫单位向量，即；（2）零向量：长度为零的向量叫零向量，记作；（3）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，记作：；（4）共线向量：平行向量都可移到同一直线上。平行向量也叫共线向量。（5）相等向量：长度相等，方向相同的向量叫相等向量。即：；说明：（1）规定：零向量与任一向量平行，记作； （2

2、）零向量与零向量相等，记作； （3）任意二个非零相等向量可用同一条有向线段表示，与有向线段的起点无关。二、向量的线性运算：1向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。表示： 规定：零向量与任一向量，都有2向量加法的法则：（1）三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。 表示：（共线向量的加法也符合）（2）平行四边形法则：以同一点为起点的两个已知向量，为邻边作，则以为起点的对角线就是与的和，此法称为向量加法的平行四边形法则。 3向量的运算律：交换律： 结合律：说明：多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行。4相反向量：与长度相等，方向相反的向量，叫

3、做的相反向量，记作。 说明：（1）规定：零向量的相反向量是零向量。 （2）性质：；5向量的减法：求两个向量差的运算，叫做向量的减法。表示6向量减法的法则： 已知如图有，求作三角形法则：在平面内任取一点，作，则说明：可以表示为从的终点指向的终点的向量（，有共同起点）7.向量的数乘的定义：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：(1)|=|；(2) 当>0时，的方向与的方向 ；当<0时，的方向与的方向 ；当=0时，=，方向是任意的.8.向量数乘的运算律设、为实数，那么：（1）（）=（）；（2）（+）=+；（3）（+）=+9.两个向量共线定理向量与非零向量共线的等价条件是

4、有且只有一个实数，使得=.特别的：10.平面向量基本定理如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使其中我们把不共线的向量，叫做表示这一平面所有向量的一组基底。注：，均非零向量； ，不唯一（事先给定）； ，唯一；时，与共线；时，与共线；时，特别的：相关练习：1. 判断下列各命题是否正确（1） 若A、B、C、D是不共线的四点，则=是四边形ABCD为平行四边形的等价条件；( )（2） 若，则；( ) （3）=的等价条件是( )2. 已知任意两个非零向量与，试作，则下列各式成立的是（ ）(A) （B） （C） （D）3.设O是内一点，则O是的（ ）（A）内心

5、 （B）外心 （C）垂心 （D）重心4已知下列各式：（1） （2）（3） （4），其中结果为的个数为 5.已知正方形ABCD的边长为1，则（ ） （A）0 （B）3 （C） （D）6.已知的取值范围是 .7.在中，M为BC的中点，则_。（用表示）8.已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（A） （B） （C）（D）9.设、为非零向量，且|=|=|-|，则与+的夹角为 ，+与-的夹角为 .10. 在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，则的值为 三、向量的数量积及坐标运算：1.平面向量的坐标表示： 在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴正方向相同的两个单位向量、为基底，对该平面内

6、的任一向量，有且只有一对实数、，使得= ,则实数对（,）叫做向量的直角坐标，记作 ，其中、分别叫做在、轴上的坐标，=（,）叫做的坐标表示.(1)相等的向量其坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量. (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关。（3），；（4）从原点引出的向量的坐标就是点的坐标。2. 平面向量的坐标运算：（1）若=，=，则= 。（2）若则。 （3）若=，则= 。 3平面向量共线的坐标表示：若=，=，当且仅当 时，/，记作 。设，要证明三点、共线，只要证明 。4. 平面向量的数量积的定义：向量的夹角：已知两个非零向量，过点作，则 叫做向量的夹

7、角。其取值范围是： 当且仅当两个非零向量同方向时， ，当且仅当反方向时 。与垂直：如果的夹角为 ，则称与垂直，记作 。与的数量积：两个非零向量，它们的夹角为，则 叫做称与的数量积（或内积），记作 ，即 。规定 ，对于非零向量与 ，当且仅当时，即 时， 。在方向上的投影，它是一个数，不是向量。且 = 。当 时，它是正数；当 时，它是负数；当= 时，它等于零.所以，的几何意义：等于 的长度与 在 方向上的投影的乘积。5.平面向量数量积的性质：设、是两个非零向量，是单位向量，于是有： 。当与同向时， ；当与反向时， ，特别地，或； ； 。6平面向量数量积的运算律：交换律成立：对实数的结合律成立：分配

8、律成立：特别注意：（1）结合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=但乘法运算公式成立：； 。7平面向量数量积的坐标表示： 若,，则= 若,则|= , 若,则 。 若,，则 （ ） 若,，则 。8.长度、夹角、垂直的坐标表示：长度：Þ ；两点间的距离公式：若，则；夹角：；垂直的充要条件：，即相关练习：1.设向量是任意的非零向量，且互不共线。下列命题中正确的是 （1） （2） （3） （4）|= （5）与不可能垂直 （6）（7）=，则= （8）若=，则与必有一个为2. 若=（-3，4），=（5，12），则与的夹角的余弦值为 3.设向量=（,）,=(, ),=(,),当= 时，、三点共线。4. 已知向量，且，求实数的值。5已知、四点，则四边形是（ ）A梯形 B矩形 C菱形 D正方形6已知两个非零向量、满足，求与的夹角。7. 设=，则（ ） A= B C、在方向上的投影相等 D|=|8.若点在上，且，设，则等于（ ） A B3 CD 9.在中，若，则为 （ ）A等边三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D无法确定10.已知=（，2），=（-3，5）且 与的夹角是钝角，则的取值范围是（ ） A> B C< D11已知 、，且。（1）若，求