概率论与数理统计第二章习题及答案

1、概率论与数理统计习题第二章随机变量及其分布5.在袋中同时取3只，以X表示取习题2-1一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,出的3只球中的最大号码，写出X随机变量的分布律.解：X可以取值3,4,5,分布律为P(X3)1C2P(一球为3号,两球为1,2号)一C3110P(X4)P(一球为4号，再在1,2,3中任取两球)P(X5)PL球为5号,再在1,2,3,4中任取两球)1C32C31C2C3310610也可列为下表X:3,4,5c136P:,101010习题2-2进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为p,失败的概率为1p(0p1).(1)将试验进行到出现一次成功为止，以X表示所需的试验次数，

2、求X的分布律.(此时称X服从以p为参数的几何分布.)(2)将试验进行到出现r次成功为止，以Y表示所需的试验次数，求Y的分布律.(此时称Y服从以r,p为参数的巴斯卡分布.)(3) 一篮球运动员的投篮命中率为45%.以X表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X的分布律，并计算X取偶数的概率.解：(1)P(X=k)=qk1pk=1,2,(2) Y=r+n=最后一次实验前r+n1次有n次失败，且最后一次成功P(Yrn)Cnn1qnpr1pCnn/pr,n0,1,2,，其中q=1p,或记r+n=k，则PY=k=C；1pr(1p)kr,kr,r1,(3) P(X=k)=(0.55)k10.45k=1,22

3、k111P(X取偶数尸P(X2k)(0.55)0.4511k1k131习题2-3一房间有同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各窗子是随机的。(1)以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X的分布律。(2)户主声称，他养的一只鸟是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。以Y的分布律。P X=n= P 前n-1次飞向了另= (|)n1 I* E(2) Y的可能取值为1, 2, 32扇窗子，第n次飞了出去2,P Y=1=P 第1次飞了出去=3Y表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数，

4、如户主所说是确实的，试求解：(1)X的可能取值为1,2,3,，n,PY=2=P第1次飞向另2扇窗子中的一扇，第2次飞了出去=_2 2"3 2P Y=3=P 第 12!1= 3!3132次飞向了另2扇窗子，第3次飞了出去习题2-4设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于3次时，指示灯发出信号.(1)进行了5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；(2)进行了7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率.解。以X表示在5次试舱中事件A发生的次数,则X夙5,0.3).指示；灯发出信号这一事件可表为故所求的概率为55>3>=(Jo.TU+(J。.3Y1=0.163.(

5、2)以丫记在7次试验中事件A发生的次数.则Y*7*0.3).故指示灯发出信号的概率为PY3)=1=0)尸比=1-Py=2)77=1-(1-0.3»(J】-0.3)*0,3-(2)(1-63y0.3?=0.353.习题2-5甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7.今各投3次.求(1)两人投中次数相等的概率；(2)甲比乙投中次数多的概率.记X表甲三次投篮中投中的次数Y表乙三次投篮中投中的次数由于甲、乙每次投篮独立，且彼此投篮也独立。P(X=Y)=P(X=0,Y=0)+P(X=2,Y=2)+P(X=3,Y=3)=P(X=0)P(Y=0)+P(X=1)P(Y=1)+P(X=2)P(Y

6、=2)+P(X=3)P(Y=3)=(0.4)3x(0.3)3+C30.6(0.4)2C30.7(0.3)2C1(0.6)20.4Cf(0.7)2.3(0.6)3_3一一一(0.7)30.321(2)甲比乙投中次数多的概率。P(X>Y)=P(X=1,Y=0)+P(X=2,Y=0)+P(X=2,Y=1)+P(X=3)P(Y=0)+P(X=3)P(Y=1)+P(X=3)P(Y=2)=P(X=1)P(Y=0)+P(X=2,Y=0)+P(X=2,Y=1)+P(X=3)P(Y=0)+P(X=3)P(Y=1)+P(X=3)P(Y=2)=C；0.6(0.4)2(0.3)3C2(0.6)20.4(0.3)

7、8C:(0.6)20.4C30.7(0.3)2(0.6)3(0.3)3(0.6)3C30.7(0.3)2(0.6)3C；(0.7)20.30.243习题2-6有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4杯.如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次.(1)某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？(2)某人声称他通过品尝能区分两种酒.他连续试验10次，成功3次.试推断他是猜对的，还是他确有区分的能力(设各次试验是相互独立的)解：(1)P(一次成功)=4C8470(2) P(连续试验10次，成功3次尸C130()3(-69)7一。此概率太小，按实际707010000推断原理，就认为

8、他确有区分能力。习题2-7一电话交换台每分钟收到呼唤的次数服从参数为4的泊松分布，求：(1)某一分钟恰有8次呼唤的概率；(2)某一分钟的呼唤次数大于3的次数。(1)每分钟恰有8次呼唤的概率.48法一：P(X8)4re40.029770(直接计算)8!法二：P(X=8)=P(X>8)-P(X>9)(查入=4泊松分布表)。=0.0511340.021363=0.029771(2)每分钟的呼唤次数大于10的概率。P(X>10)=P(X>11)=0.002840(查表计算)习题2-8以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达等待的时间(以分1e0.4x,x0,计)，X的分

9、布函数是FX(x),求下述概率：(1)P至多3分钟；(2)0,x0.P至少4分钟；(3) P3分钟至4分钟之间；(4)P至多3分钟或至少4分钟；(5)P恰好2.5分钟。解：(1)(2)P至多 3 分钟= P XW3 =Fx(3) 1 e 1.2P 至少 4 分钟 P (X >4) = 1 Fx(4) e 1.6(3)P3 分钟至 4 分钟之间= P 3< X< 4= Fx(4)Fx(3) e 1.2 e 1.6(4)P至多3分钟或至少4分钟= P至多3分钟+ P至少4分钟1.21.6=1 e e(5)P恰好 2.5 分钟= P (X=2.5)=0习题2-9 某种型号的电子管的

10、寿命 X (以小时计)具有以下的概率密度1000f(x) x20,x 1000,其它现有一大批此种管子(设各电子管损坏与否相互独立) 大于1500小时的概率是多少？,任取5只，问其中至少有2只寿命解：一个电子管寿命大于1500小时的概率为P(X 1500) 1P(X 1500)1500 1 0001000 x2dx 11000( -1) 1500100022(12)-33令Y表示“任取 5只此种电子管中寿命大于1500小时的个数”2、B(5,-) ，3P(Y 2) 1P(Y2)1 P(Y 0) P(Y1)1(1)5 C521(3) (3)1 535112321 -243 243习题2-10设顾

11、客在某银行的窗口等待服务的时间X (以分计)服从指数分布，其概x 0,其它15xe5率密度为fx(x)50,某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开，他一个月要到银行5次，以Y表示-个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求PY1.解：该顾客“一次等待服务未成而离去”的概率为xxP(X10)10fx(x)dx510e5dxe，°e2因此YB(5,e2).即P(Yk)5e2k(1e2)5k,(k1,2,3,4,5kP(Y1)1P(Y1)1P(Y0)1(1e2)51(1y)51(10.1353363)510.8677510.48330.5167.P 4 X 10习题2

12、-11设XN(3,22)，求(1)P2X5PX3;确定c,使得PXcPXc；(3)设d满足PXd0.9,问d至多为多少？解：若XN(科，b2),则P(“aw3汽J()+E(T(T5323P(2<X<5)=()2()2=(j)(1)-(j)(-0.5)=0.84130.3085=0.5328103.43P(-4<XW10)=()2()一寸=()(3.5)-()(-3.5)=0.99980.0002=0.9996P(|X|>2)=1P(|X|<2)=1-P(2<P<2).2323=I22=14(-0.5)+4(-2.5)=10.3085+0.0062=0.

13、697733P(X>3)=1P(X<3)=1()2=10.5=0.5(2)决定C使彳导P(X>C)=P(X<C)P(X>C)=1P(X<C)=P(X<C)1得P(XWC)=2=0.5又P(XWC)=40.5，查表可得0C=322(S)PX>d>2皆即1-可立/)29,或。.9-ML282).因分布函数以工)是一个不减函数，故有因此,3+2X一1.282)=6436.习题2-12某地区18岁的女青年的血压(收缩压，以mmHg计)服从N(110,122).在该地区任选一18岁的女青年，测量她的血压X.(1)求PX105,P100X120;(2)

14、确定最小的x,使PXx0.05.1)P(X<105)P(100<X<120).(2)确定最小的X使P(X>x)&0.05.解：P(X105)J05"10)(0.4167)1(0.4167)10.66160.3384P(100X120)(120110)(200110)(.|)(_|)2(5)12(0.8333)120.797610.5952(2)P(Xx)1P(Xx)1(210)0.05(210)0.95.查表得x1101.645.x11019.74129.74.故最小的X129.74.12习题2-13工厂生产的电子管的寿命X(以小时计)服从参数为160

15、,的正态分布，若要求P120X2000.80,允许最大为多少?P (120 VXW 200)=200 160(T120 160(T40(T400.80(T又对标准正态分布有4(x)=1(j)(x)上式变为以 1(T40(T0.80解出丑便彳导:90.9(T(T再查表，得也1.281(T-40-31.2561.281习题2-14设随机变量X的分布律为X-2-10131111P111Pk5651530Y的分布律为:求YX2的分布律.解;Y=X2:(2)2(1)2(0)2(1)2(3)2P:5工1111651530再把X2的取值相同的合并，并按从小到大排列，就得函数Y:0149111111P.-56

16、15530习题2-15设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布(1)求YeX的概率密度;(2)求Y2lnX的概率密度(1)求Y=eX的分布密度X的分布密度为：f(x)10a/0xY=g(X)=eX是单调增函数又X=h(Y)=lnY,反函数存在且a=ming(0),g(1)=min(1,e)=1maxg(0),g(1)=max(1,e)=e1,.丫的分布密度为：6(y)fh(y)|h(y)|171ye0y为其他(2)求Y=2lnX的概率密度。Y=g(X)=2lnX是单调减函数丫又Xh(Y)e万反函数存在。且a=ming(0),g(1)=min(+°°,0)=00 yy为其他户m

17、axg(0),g(1)=max(+°°,0)=+00141.丫的分布密度为：6(y)fh(y)|h(y)|1万e万e0习题2-16设XN(0,1),(1) 求YeX的概率密度；(2) 求Y2X21的概率密度;(3) 求Y|X|的概率密度.(1)求Y=eX的概率密度1之''X的概率留度是f(x),e2,2nY=g(X)=eX是单调增函数X=h(Y)=InY反函数存在=ming(8),g(+oo)=min(0,+00)=03=maxg(-8),g(+oo)=max(0,+oo)=+ooY的分布密度为：(y)fh(y)1h'(y)1e0(lny)2-210

18、yyy为其他(2)求Y=2X2+1的概率密度。在这里，Y=2X2+1在(+oo,8)不是单调函数，没有一般的结论可用。设Y的分布函数是Fy(y),Fy(y)=P(YWy尸P(2X2+1<y)当y<1时：Fy(y)=0当 y>1 时：Fy(y) Py21x22 dx故Y的分布密度少(y)是:2x2 dx当yw1时：4(y)=Fy(y)'=(0)'=0当y>1时，W(y)=Fy(y)'=2JMy1)(3)求Y=|X|的概率密度。Y的分布函数为Fy(y)=P(Y<y)=P(|X|<y)当y<0时,Fy(y)=0x2y1当y>0时，Fy(y)=P(|X|<y)=P(y<X<y)=,e2dxy,2Y的概率密度为：当yW0时：4(y)=Fy(y)'=(0)'=0y1当当y>0时：巾(y)=Fy(y)'=e2dxy2式习题2-17设随机变量X的概率密度为f(x)0,2x2,x