空间距离求解转化策略

1、空间距离求解转化策略空间距离求解转化策略论文导读：其求解的基本思想方法是转化为求两点间的距离。空间距离，空间距离求解转化策略。关键词：空间距离，转化空间中的距离包括点点，点面，线线，线面，面面六种。其求法是教材的重要内容，也是历年高考考查的重点，其求解的基本思想方法是转化为求两点间的距离。特别是异面直线间的距离和点到平面的距离计算是立体几何中的一个非常重要内容，学生在遇到此类距离计算时，由于空间想象力等自身原因无法构造出距离，或者无法寻找到与距离相关的一些联系和转化。结果往往是无从下笔严重影响考试成绩。事实上，一般距离都可转化成点线距离，进而转化成两点间的距离，最后都把它们放在平面三角形中来解

2、决。因此距离的转化就成了师生共同的难点。为此，笔者将多年来的教学经验总结此文，以其抛砖引玉。事实上，距离转化一般有如下形式：其中比较困难的是最后一步。本文通过举例来说明距离计算中的一些转化策略。1 异面直线距离的转化例 1 如图 1 所示：已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分别是边 AB、AD 的中点，GC 垂直于 ABCD 所在的平面，且 GC=2，求异面直线 BD 与 GE 的距离。解 连结 BD，由 E、F 分别为 AB、AD 的中点，知 EFBD，EF面 GEF，BD平面 GEF。故 BD 与 GE 的距离为线 BD 到平面 GEF 的距离，连接 AC 交 BD 于 O，交

3、EF于 H。因 GC平面 ABCD，EF平面 ABCD，故 GCEF。又 EFHC，且 GCHC=C则 EF平面 GHC，而 EF平面 GEF, 故平面 GEF平面 GHC,.且平面 GEF平面GHC=HG 所以过点 O 作 OKGH，则 OK面 GEF，BD 到面 GEF 的距离即为点 O 到线 GH 的距离 OK，在 RtHKO 中，因正方形 ABCD 的边长为 4 故 AC=4, OH=,HC=3,又 GC=2 且HG = (3) +2 =22故 HG=,即异面直线 BD 与 CE 的距离为总结:图 1 图 2例 2 已知异面线段 AB=a，CD=b，所成角为，4 点 A、B、C、D 构

4、成四面体的体积为 V，求异面线段 AB 到 CD 的距离。解 如图 2，过 B 作 BECD，连 AE，则ABE= 或。由 CDBE，则 CD面 ABE。CD 到 AB 的距离转化为 CD 到面 ABE 的距离。论文大全，空间距离。设点 C 到面 ABE 的距离为 d，则 d 为 CD 到 AB 的距离。由等积性:V=V=V=V 注意到 V=ab.d=V则 d=总结 CD 到 AB 的距离 CD 到面 ABE 的距离 点 C 到面 ABE 的距离。论文大全，空间距离。2 点面距离的构造与转化面面距离，线面距离，异面直线距离都转化为点面距离。因此点面距离如何构造、计算，转化就成为问题求解的关键。

5、点面距离通常有三种求法：（1）利用两平面垂直关系转化为点线距离计算。（2）当垂足位置不容易确定时，可考虑利用等体积法来求解。论文大全，空间距离。（3）还可用坐标向量法（1）利用两平面垂直关系转化为点线距离计算。例 3 已知正三棱锥 ABC-A1B1C1 的每条棱长为 a，过 AB1 的作平行于 BC1 的平面 M，求点 A1 到平面 M 的距离。解 如图 3，延长 CB 到 D，使 BD=BC，连结 AD，由 BDB1C1，则BC1DB1，从而 BC1面 ADB1，即 M 为面 ADB1。图 3设 F、H 分别为 A1C1、AC 的中点，B1FBHAD， B1FAD。连 AF，则面 M 即为

6、ADB1F。故 A1 到面 M 的距离即为 A1 到面 ADB1F 的距离。B1F面 ACC1A1， 面 M面 ACC1A1。过 A1 作 A1GAF 交 AF 于 G，则 A1G 为点 A1 到面 M 的距离。在 RtAFA1 中，A F=a, A A =a,FA A=90再由 A AA F=AF A G不难计算出A1G=。总结利用 B1DBC1 作平面 M，并再利用 B1FAD，得到平面 M 与平面 ACC1A1 的交线 AF，再注意到面 M面ACC1A1，点 A1 到面 M 的距离转化为点 A1 到线 AF 的距离。（2）用等体积法求点到平面的距离例 4：如图，在长方体 ABCDA1B1

7、C1D1 中，AD=AA1=1，AB=2，点 E 在棱 AB 上移动求：当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面 ACD1 的距离；解：设点到平面D1 的距离为 h，在D1 中，D1，D1，故， 而 h=这里点 E 到面 ACD1 的距离不好找故用等体积法解更方便（3） 坐标向量法求点到平面的距离所谓坐标向量法，就是建立适当的空间直角坐标系(本文所建立的都是右手直角坐标系)，把向量用坐标来表示，用向量的坐标形式进行向量的运算， 运用坐标法时，必须首先找出三个基向量，并且这三个基向量两两垂直,由此建立空间直角坐标系.进而可出求点到面的距离。这是新教材的一大特色。更是近年来高考的热点之一。例 5

8、：如图已知正三棱柱的棱长为 2，底面边长为 1，是的中点. CN=求：当时，求点到平面的距离.解：以，分别为轴、轴，垂直于，的为轴建立空间直角坐标系，则有：、，则，设向量与平面垂直，则有取向量在上的射影长即为到平面的距离，设为，于是从以上可以看出，在构造点到平面的距离时须结合具体的空间图形特征，选择恰当的方法，充分发挥空间图形的想象力，就一定能克服此类空间距离求解的思维障碍。特别是用坐标向量法求点到平面的距离时不但须要建立恰当的空间直角坐标系，以便简化运算。还须具备很强的计算能力和想象力，这是因为平面法向量通常是不在图中画出。总之师生在平时解题训练当中善于归纳总结就一定能培养自己数学思维的深刻

9、性和灵活性。参考文献:1 游少华立体几何距离计算中的一些转化策略中学数学,2000 年 12 期点 E 在棱 AB 上移动求：当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面 ACD1 的距离；解：设点到平面D1 的距离为 h，在D1 中，D1，D1，故， 而 h=这里点 E 到面 ACD1 的距离不好找故用等体积法解更方便（3） 坐标向量法求点到平面的距离所谓坐标向量法，就是建立适当的空间直角坐标系(本文所建立的都是右手直角坐标系)，把向量用坐标来表示，用向量的坐标形式进行向量的运算， 运用坐标法时，必须首先找出三个基向量，并且这三个基向量两两垂直,由此建立空间直角坐标系.进而可出求点到面的距离。这是新教材的一大特色。更是近年来高考的热点之一。例 5：如图已知正三棱柱的棱长为 2，底面边长为 1，是的中点. CN=求：当时，求点到平面的距离.解：以，分别为轴、轴，垂直于，的为轴建立空间直角坐标系，则有：、，则，设向量与平面垂直，则有取向量在上的射影长即为到平面的距离，设为，于是从以上可以看出，在构造点到平面的距离时须结合具体的空间图形特征，选择恰当的方法，充分发挥空间图形的想象力，就一定能克服此类空间距离求解的思维障碍。特别是用坐标