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文档简介

1、 高等数学测试题（3）一、解答下列各题(每小题5分，共25分)1设，求全微分. 2求曲线，在对应于的点处的切线和法平面方程.3计算曲线积分，式中是曲线上从到的一段.4求函数的极值.5求微分方程的一个特解.二、解答下列各题(每小题6分，共24分)1 在轴上求一点，使它到点的距离等于它到平面的距离.2 函数由方程所确定，求.3改变二次积分的积分次序，其中连续.4 计算曲面积分,其中是由所确定的立体的表面外侧.三、（9分）计算三重积分，其中由所确定.四、（9分）求半径为的质量分布均匀的半球面的重心坐标.五、（9分）求微分方程的积分曲线方程，使其在点与直线相切.六、（9分）设曲面方程为（为正常数）.具

2、有一阶连续的偏导数，且，试证明此曲面上任一点处法线恒垂直于一常向量.七、（9分）求微分方程满足的特解.八、（6分）设是光滑的正向简单闭曲线，所围的区域记为，是的单位外法线向量，是具有二阶连续偏导数的二元函数，试证： 参考答案一、1.。2.点当时,。 切线 ,法平面,=0。3.原式。4.由 得驻点(4,1)。 在(4,1)处,。5.， 二、1.设所求点为,则，解得或；2.；3.原式；4.由高斯公式得,原式。三、。四、设半球面方程为，重心为。五、,且, , ， 六、令, ,则,曲面法向量 取 则 从而。七、令 则代入原方程， ，即 , 令,， 得，由 ，得。 得 得 八、，(2002.6.17)一

3、、解答下列各题(每小题6分，共60分)1 设点为从原点到一平面的垂足，求该平面的方程.2 求过点的平面，使它与平面垂直，且与直线平行.3 设，求. 4 在曲面上求一切平面，使该切平面垂直于直线.5 求曲线上，对应点处的切线方程.6 改变二次积分的积分次序，其中连续.7 计算，其中积分域是：.8 计算曲线积分，其中是椭圆周正向.9 计算曲面积分，其中为锥面被圆柱面截下的部分曲面.10. 求微分方程的通解.二、（7分）求函数极值.三、（7分）函数由方程所确定，其中具有连续的一阶偏导数，且，求.四、（7分）设为上半球面的外侧，计算曲面积分。.五、（7分）计算曲线积分，其中为以为直径的从到上半圆周.六、（7分）求微分方程的通解.七、（5分）已知连续可微函数满足 试求函数.参考答案（7）一、1.，2. ，平面方程为 。 3.。4. 法向量为平面方向数为，两者平行得，所以得法平面方程为： .5.切向量为，切线方程为.6。 7.用先二后一法得 。8.验证，L不包含原点，故。9.第一型面积分 。10齐次方程的通解为,用常数变易法求非齐方程的特解,非齐方程的通解为。二、令，得，正定，三、设，方程两边对求导得，方程两边对求导得

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