解几离心率求解的基本方法

1、解几求解离心率的基本方法设椭圆的左、右焦点分别为，如果椭圆上存在点P，使，求离心率e的取值范围。 解法1：利用曲线范围 设P（x，y），又知，则 将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得 解法2：利用二次方程有实根由椭圆定义知 解法3：利用三角函数有界性 记 解法4：利用焦半径 由焦半径公式得 解法5：利用基本不等式 由椭圆定义，有 平方后得 解法6：巧用图形的几何特性 由，知点P在以为直径的圆上。 又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P 故有水深火热的演练一、直接求出或求出a与b的比值，以求解。在椭圆中，1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于2.已知椭圆两条准线间的距离是焦

2、距的2倍，则其离心率为3.若椭圆经过原点，且焦点为,则椭圆的离心率为4.已知矩形ABCD，AB4，BC3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为。5.若椭圆短轴端点为满足，则椭圆的离心率为。6.已知则当mn取得最小值时，椭圆的的离心率为7.椭圆的焦点为，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是8.已知F1为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1F1A，POAB（O为椭圆中心）时，椭圆的离心率为。9.P是椭圆+=1（ab0）上一点，是椭圆的左右焦点，已知 椭圆的离心率为10.已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，若， 则椭圆的离心率为

3、13.椭圆（a>b>0）的两顶点为A（a,0）B(0,b),若右焦点F到直线AB的距离等于AF，则椭圆的离心率是。 14.椭圆（a>b>0）的四个顶点为A、B、C、D，若四边形ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是 15.已知直线L过椭圆（a>b>0）的顶点A（a,0）、B(0,b),如果坐标原点到直线L的距离为，则椭圆的离心率是 16.在平面直角坐标系中，椭圆1( 0)的焦距为2，以O为圆心，为半径作圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= 17.设椭圆的离心率为，右焦点为，方程 的两个实根分别为和，则点（A）必在圆内必在圆上必在圆外以上三种情形都有

4、可能二、构造的齐次式，解出1已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是2以椭圆的右焦点F2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M、N两点，椭圆的左焦点为F1，直线MF1与圆相切，则椭圆的离心率是3以椭圆的一个焦点F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O并且与椭圆交于M、N两点，如果MF=MO，则椭圆的离心率是4设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是5已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是6设分别是椭圆的左、右焦点

5、，P是其右准线上纵坐标为 （ 为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形。1已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是2已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且，椭圆离心率e的取值范围为3已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且，椭圆离心率e的取值范围为4设椭圆（a>b>0）的两焦点为F1、F2，若椭圆上存在一点Q，使F1QF2=120º，椭圆离心率e的取值范围为 5在中，若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率6设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在 使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是7如图

6、，正六边形ABCDEF的顶点A、D为一椭圆的两个焦点，其余四个顶点B、C、E、F均在椭圆上，则椭圆离心率的取值范围是关于双曲线离心率一、利用双曲线性质例1 设点P在双曲线的左支上，双曲线两焦点为，已知是点P到左准线的距离和的比例中项，求双曲线离心率的取值范围。解析：由题设得：。由双曲线第二定义得：，由焦半径公式得：，则，即，解得。归纳：求双曲线离心率取值范围时可先求出双曲线上一点的坐标，再利用性质：若点在双曲线的左支上则；若点在双曲线的右支上则。二、利用平面几何性质例2 设点P在双曲线的右支上，双曲线两焦点，求双曲线离心率的取值范围。解析：由双曲线第一定义得：，与已知联立解得：，由三角形性质得

7、：解得：。归纳：求双曲线离心率的取值范围时可利用平面几何性质，如“直角三角形中斜边大于直角边”、“三角形两边之和大于第三边”等构造不等式。三、利用数形结合例3 （同例2）解析：由例2可知：，点P在双曲线右支上由图1可知：，即，两式相加得：，解得：。四、利用均值不等式例4 已知点在双曲线的右支上，双曲线两焦点为，最小值是，求双曲线离心率的取值范围。解析：，由均值定理知：当且仅当时取得最小值，又所以，则。五、利用已知参数的范围例5 （2000年全国高考题）已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当时，求双曲线离心率的取值范围。解析：如图2建立平面直角坐标系，设双曲线方程为，设其中是梯形的高，由定比分点公式得，把C、E两点坐标分别代入双曲线方程得，两式整理得，从而建立函数关系式，由已知得，解得。六、利用直线与双曲线的位置关系例6 已知双曲线与直线：交于P、Q两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。解析：把双曲线方程和直线方程联立消去得：时，直线与双曲线有两个不同的交点则，即且，所以，即且。七、利用点与双曲线的位置关系例7 已知双曲线上存在P、Q两点关于直线对称，求双曲线离心率的取值范围。解析：设，弦PQ中点为M，由点差法求得，当点M在双曲线内部时，整理得：无解；当点M在双曲线外部时，点M应在两渐近线相交所形成的上下区域内，由线性规