考研数学一真题与解析

1、2019年考研数学一真题解析一、选择题 18小题每小题4分，共32分1当时，若与是同阶无穷小，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】（C）【详解】当时，所以，所以2设函数，则是的（ ）（A）可导点，极值点 （B）不可导的点，极值点（C）可导点，非极值点 （D）不可导点，非极值点【答案】（B）【详解】（1），所以函数在处连续；（2），所以函数在处不可导；（3）当时，函数单调递增；当时，函数单调减少，所以函数在取得极大值3设是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（ ）（A） （B） (C） （D）【答案】（D）【详解】设是单调增加的有界数列，由单调有界定理知存在，记为；又设，满足，则，

2、且，则对于正项对于级数，前项和：也就是收敛4设函数，如果对于上半平面内任意有向光滑封闭曲线都有那么函数可取为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】（D）【详解】显然，由积分与路径无关条件知，也就是，其中是在上处处可导的函数只有（D）满足5设是三阶实对称矩阵，是三阶单位矩阵，若，且，则二次型的规范形是 （ ）（A） （B） （C） （D）【答案】（C）【详解】假设是矩阵的特征值，由条件可得，也就是矩阵特征值只可能是和而，所以三个特征值只能是，根据惯性定理，二次型的规范型为6如图所示，有三张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为，则（ ）（A） （

3、B）（C） （D）【答案】（A）【详解】(1)显然三个平面没有共同交点，也就是非齐次方程组无解，从而；（2）从图上可看任何两个平面都不平行，所以；7 设为随机事件，则的充分必要条件是 （ ） （A） （B） （C） （D）【答案】（C）【详解】选项（A）是互不相容；选项（B）是独立，都不能得到；对于选项（C），显然，由，8设随机变量与相互独立，且均服从正态分布则（ ）（A）与无关，而与有关 （B）与有关，而与无关（C）与，都有关 （D）与，都无关【答案】（A）【详解】由于随机变量与相互独立，且均服从正态分布，则，从而只与有关二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线

4、上）9设函数可导，则 【答案】解：10微分方程满足条件的特解为 【答案】【详解】把方程变形得，即由初始条件确定，所以11.幂级数在内的和函数 .看不清楚题目是还是，我以给出解答【答案】【详解】注意，从而有：12设为曲面的上侧，则 【答案】【详解】显然曲面在平面的投影区域为13设为三阶矩阵，若线性无关，且，则线性方程组的通解为 【答案】，其中为任意常数【详解】显然矩阵的秩，从而齐次线性方程组的基础解系中只含有一个解向量由可知也就是为方程组基础解系，通解为，其中为任意常数14设随机变量的概率密度为，为其分布函数，其数学期望，则 【答案】【详解】，三、解答题15（本题满分10分）设函数是微分方程满足

5、条件的特解（1）求；（2）求曲线的凸凹区间及拐点【详解】（1）这是一个一阶线性非齐次微分方程先求解对应的线性齐次方程的通解：，其中为任意常数；再用常数变易法求通解，设为其解，代入方程，得，也就是通解为：把初始条件代入，得，从而得到（2）令得当或时，是曲线的凸区间；当或时，是曲线的凹区间曲线的拐点有三个，分别为16（本题满分10分）设为实数，函数在点处的方向导数中，沿方向的方向导数最大 ，最大值为（1）求常数之值；（2）求曲面的面积【详解】（1），则；所以函数在点处的梯度为；由条件可知梯度与方向相同，且也就得到解出或（舍）即（2）17（本题满分10分）求曲线与轴之间形成图形的面积【详解】先求曲线

6、与轴的交点：令得当时，；当时，由不定积分可得，所求面积为18（本题满分10分）设（1）证明：数列单调减少，且；（2）求极限【详解】（1）证明：，当时，显然有，所以数列单调减少；先设则当时，也就是得到令，则同理，综合上述，可知对任意的正整数，均有，即；（2）由（1）的结论数列单调减少，且令，由夹逼准则，可知19（本题满分10分）设是由锥面与平面围成的锥体，求的形心坐标【详解】先计算四个三重积分：，从而设形心坐标为注：其实本题如果明白本题中的立体是一个圆锥体，则由体积公式显然，且由对称性，明显，20（本题满分11分）设向量组为空间的一组基，在这组基下的坐标为（1）求之值；（2）证明：也为空间的一组

7、基，并求到的过渡矩阵【详解】（1）由可得，解方程组，得且当时，即线性无关，确实是空间的一组基（2），显然线性无关，当然也为空间的一组基设，则从到的过渡矩阵为21（本题满分11分）已知矩阵与相似（1）求之值；（2）求可逆矩阵，使得【详解】（1）由矩阵相似的必要条件可知：，即，解得（2）解方程组得矩阵的三个特征值；分别求解线性方程组得到分属三个特征值的线性无关的特征向量为：令，则可逆，且；同样的方法，可求得属于矩阵的三个特征值的线性无关的特征向量为：令，则可逆，且；由前面，可知令，就满足22（本题满分11分）设随机变量相互独立，服从参数为1的指数分布，的概率分布为：，令（1）求的概率密度；（2）为何值时，不相关；（3）此时，是否相互独立【详解】（1）显然的概率密度函数为先求的分布函数：再求的概率密度：（2）显然；由于随机变量相互独立，所以；要使不相关，必须，也就是时不相关；（3）显然不相互独立，理由如下：设事件，事件，则；，当时，显然，也就是显然不