考点5空间角与距离

1、温馨提示：高考题库为Word版，请按住Ctrl，滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。考点5 空间角与距离2010年高考题1.（2010·全国高考卷理科·7）正方体中，与平面所成角的余弦值为（ ）.(A)(B)(C)(D)【命题立意】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，突出考查学生的空间想象能力和运算能力.【思路点拨】画出正方体图形，利用辅助线并结合正方体的性质，找到线面垂直关系确定与平面所成角.【规范解答】选D.设上下底面的中心分别为；如图：则，与平面所成角就是与平面所成角，.【方法技巧】求立体几何中的线面角的

2、方法：（1）定义法：先作出斜线在平面内的射影，则斜线与射影的夹角就是斜线与平面所夹角，然后在直角三角形中，求出这个角的某种函数值，最后求出这个角.（2）公式法：利用公式2.（2010·全国高考卷文科·8）已知三棱锥中，底面为边等于的等边三角形，垂直于底面，,那么直线与平面所成角的正弦值为（ ）(A) (B) (C) (D)【命题立意】本题考查线面角的概念及其求法.【思路点拨】先找到与面垂直的平面，再作出该平面的垂线，找到直线在平面上的射影，然后作出所求的线面角求解.【规范解答】 选D，如图：取的中点，连结 、，过作、连结,则即所求，,所以,.【方法技巧】正确作出线面角是解决

3、此类问题的关键,作线面角的方法是先找到平面的垂线，可以利用面面垂直的性质，过一个平面内一点向另一平面作交线的垂线，这样就找到该斜线在平面内的射影，从而找到线面角.在求角的函数值时注意计算要准确.3.（2010·重庆高考文科·9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点（）.A只有1个 B恰有3个 C恰有4个 D有无穷多个【命题立意】本小题考查异面直线、空间距离等基础知识，考查空间想象能力，考查推理论证能力，考查数形结合的思想方法. 【思路点拨】把两条异面直线放在一个几何模型内，寻找符合题意的点.【规范解答】选D.如图：在正方体中，直线与直线是两条互相垂直的异面直线，则符合题意的

4、点有正方体的中心，点，点 ，的中点等4个点；进一步思考，在平面中，到点的距离就是到直线的距离，所以问题可以转化为在平面中，到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹是抛物线，所以符合题意的点有无数个.【方法技巧】构造几何模型正方体，可以简捷解答.4.（2010·重庆高考理科·0）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是( )(A)直线(B)椭圆(C)抛物线(D)双曲线【命题立意】本小题考查立体几何中的线线、线面的垂直关系，考查空间想象能力，考查圆锥曲线的定义和标准方程，考查转化与化归的思想.【思路点拨】把空间问题转化到一个平面上

5、，抓住互相垂直的两条异面直线的距离是定值，利用空间几何体模型，建立平面直角坐标系进行推导.【规范解答】选D. 异面直线，是已知互相垂直的异面直线，以正方体为模型，如图所示，设，的距离是，在直角坐标系中，设，那么，所以，所以，点P的轨迹为双曲线.【方法技巧】借助于正方体这个模型是解题的关键，注意到两条异面直线之间的距离为定值，寻找等量关系和即可求出轨迹方程.5. （2010·全国高考卷理科·11）与正方体的三条棱所在直线的距离相等的点( ).（A）有且只有1个（B）有且只有2个（C）有且只有3个（D）有无数个【命题立意】本题考查了空间直线、平面间的距离.【思路点拨】建立空间直

6、角坐标系，利用距离公式求解.【规范解答】选D，设正方体的棱长为，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，设点，由点分别作的垂线，垂足分别为，则，根据两点间距离公式，得方程组，显然时这个方程恒成立，即这个方程组有无穷多组解，故这样的点有无穷多个.【方法技巧】利用方程思想求解.方程组中的每个方程都是双曲抛物面的方程，本题中符合要求的点的集合就是两个双曲抛物面的交线。在一些错误解答中认为其轨迹为柱面或者是平面是本质性的错误.这个题作为选择题，命题者的目的是考查考生空间想象能力和直觉猜想能力的.6.（2010·广东高考理科·18）如图，是半径为a的半圆，AC为直径，点E为的中点，点B和点

7、C为线段AD的三等分点。平面AEC外一点F满足FB=FD=a，FE=a（1） 证明：EBFD；（2） 已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点，使得FQ=FE,FR=FB,求平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值。【命题立意】本题考察空间点、线、面之间的关系以及空间几何体的相关计算.【思路点拨】（1）点E为的中点，AC为直径是，又面 EBFD.（2）作出二面角的棱证明为所求二面角的平面角求、【规范解答】（1）证明：连结.因为是半径为a的半圆，为直径，点E为的中点，所以，在中，在中，所以是等腰三角形，且点是底边的中点，所以 在中，所以是，所以.由，且，所以面又 面，所以，所以平面，而平面，所以（

8、2）过点作， FQ=FE,FR=FB，与共面且与共面，为平面BED与平面RQD的棱.由（1）知，平面，平面，而平面，平面，是平面BED与平面RQD所成二面角的平面角.在中， =.由余弦定理得：又由正弦定理得： ，即 所以平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值为【方法技巧】求无棱二面角，往往需先作出二面角的棱，并证明之，然后再作（证）二面角的平面角.7.（2010·全国卷理科·19）如图，四棱锥中，/，,， 为棱上的一点，平面平面.（）证明：；（）求二面角的大小 .【命题立意】“似曾相识燕归来”. 本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，二面角等基础

9、知识,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况，命题人在这里一定会照顾双方的利益.学生在备考中也应注意这一点，两种方法都应重视，不可偏颇.【思路点拨】本题很常规，给人感觉很熟悉，尤其给出，底面为直角梯形，这就为解答提供很大的方便，大部分考生会考虑到用建立空间直角坐标系，运用向量解答.再者，此题与2007年全国高考数学卷第19题，2009全国高考数学卷第18题年非常类似，给人似曾相识的感觉，如果考前接触过这道试题，解决今年的这道考题不会有太大的困难. 【规范解答】(I)连结,取的中点,连结,由此知,即为直角三角形,故,又

10、,故,所以以, ,.作,为垂足,因平面平面,故,.与平面内的两条相交直线、都垂直.,.所以,.(II)由,知,又,故是等腰三角形.取中点,连结,则,.连结,则,.所以,是二面角的平面角.连结,.所以,二面角的大小为.【方法技巧】求二面角的方法求二面角的方法说明定义法在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条垂线所成的角即为二面角的平面角垂面法利用二面角的棱垂直于二面角所在的平面三垂线定理自二面角的一个平面上一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角.8.（2010·湖北高考文科·

11、;18）如图，在四面体中，且.（）设为的中点，在上且，证明：；（）求二面角的平面角的余弦值.【命题立意】本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系以及二面角等，同时考查考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力【思路点拨】（）由三垂线定理，可先在上找一点，使,再证明即可。（）可利用三垂线法做出二面角的平面角的平面角，再解直角三角形即可【规范解答】（）在平面内过点作交于,连接。在等腰中，, 在,在中，。又,为的中点。在中，分别为的中点，。由，知：，又，由知：.（）连接.由知：.又平面,.由知：.是在平面内的射影。在等腰直角中，为的中点， 。由三垂线定理知：。因此为二面角的平面角。在等腰

12、直角中，,。在中，。在中，. .【方法技巧】1.空间中的两直线异面垂直往往可通过三垂线定理或线面垂直两个途径来实现，也可由已有的线线垂直，借用线线平行实现新的线线垂直。 2.求二面角的大小一般有以下五种办法：三垂线法（过其中一个半平面内某点易做出另一个半平面的垂线时最适合用此法）.垂面法（有一个平面与二面角的棱垂直时适合用此法）.定义法.射影面积法（无棱二面角或容易找出一个半平面内的某个图形在另一个半平面内的射影时适合用此法）.9.（2010·湖北高考理科·18）如图, 在四面体中，, ,，且.() 设为的中点.证明：在上存在一点,使,并计算的值；() 求二面角的平面角的余

13、弦值. 【命题立意】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、二面角的求法等，同时考查考生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力【思路点拨】()由,利用三垂线定理在上找一点，使，过作，交上一点即为所求的点。在中即可计算的值。()由()利用三垂线法做出二面角的平面角，再解直角三角形求出二面角的平面角的余弦值。(也可利用空间向量求解)【规范解答】方法一:()在平面内过点作交于,连接。,.,.取为的中点，则.在等腰中，, 在,在中，,.()连接P.由知：.又平面,.由知：.是在平面内的射影。在等腰直角中，为的中点， 。由三垂线定理知：。因此为二面角的平面角。在等腰直角中，,。在中，。在中，.

14、 。【方法技巧】1.空间中的两直线异面垂直往往可通过三垂线定理或线面垂直两个途径来实现。 2.求二面角的大小一般有以下四种办法：三垂线法（过其中一个半平面内某点易做出另一个半平面的垂线时最适合用此法）。垂面法（有一个平面与二面角的棱垂直时适合用此法）。定义法。射影面积法（无棱二面角或容易找出一个半平面内的某个图形在另一个半平面内的射影时适合用次法）10.（2010·全国高考卷理科·19）如图，直三棱柱中，为的中点，为上的一点，（）证明：为异面直线与的公垂线；（）设异面直线与的夹角为45°，求二面角的大小【命题立意】本题考查了立体几何公垂线概念及二面角概念及其求法。

15、【思路点拨】（1）由公垂线的定义，需证明；（2）利用面面垂直的性质，先作出二面角的平面角，再解直角形.【规范解答】（1）如图：连结,设与的交点为,因为为正方形，故,且, 又所以又为的中点，故设为的中点，连结，由知,又由底面， 得， 连结 ，则,故 ,由三垂线定理，得.所以为异面直线与的公垂线.（）因为，故为异面直线与的夹角，故. 设则作 为垂足，因为底面，故.又作,K 为垂足，连结 ，由三垂线定理，得因此 为二面角的平面角。,所以二面角的大小为.11.（2010·浙江高考文科·20）如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，ABC=120°。E为线段AB的中点，

16、将ADE沿直线DE翻折成ADE，使平面ADE平面BCD，F为线段AC的中点。（）求证：BF平面ADE；（）设M为线段DE的中点，求直线FM与平面ADE所成角的余弦值。【命题立意】本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。【思路点拨】（1）可以在面内找一条直线与BF平行，从而证明线面平行；（2）求线面角的关键是找到对应的平面角。【规范解答】()取AD的中点G，连结GF，CE，由条件易知FGCD，FG=CD. BECD,BE=CD.所以FGBE,FG=BE. 故四边形BEGF为平行四边形, 所以BFEG因为平面，BF平面，所以 BF/平面（）在

17、平行四边形ABCD中，设BC=a，则AB=CD=2a, AD=AE=EB=a, 连CE。因为，在BCE中，可得CE=a, 在ADE中，可得DE=a,在CDE中，因为CD2=CE2+DE2，所以CEDE,在正三角形ADE中，M为DE中点，所以AMDE.由平面ADE平面BCD, 可知AM平面BCD, AMCE.取AE的中点N，连线NM、NF，所以NFDE,NFAM.因为DE交AM于M, 所以NF平面ADE,则FMN为直线FM与平面ADE所成的角.在RtFMN中，NF=a, MN=a, FM=a,则cos=.所以直线FM与平面ADE所成角的余弦值为.【方法技巧】找线面所成角时，可适当的作一条面的垂线

18、，从而把线面角转化为线线夹角。12.（2010·江苏高考·6）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=90°。(1) 求证：PCBC；(2) 求点A到平面PBC的距离。【命题立意】本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。【思路点拨】（1）可证明BC与PC所在的某一个平面垂直；（2）点A到平面PBC的距离是点D到平面PBC的距离的2倍。【规范解答】（1）因为PD平面ABCD，BC平面ABCD，所以PDBC。由BCD=900，得CDBC，又PDD

19、C=D，PD、DC平面PCD，所以BC平面PCD。因为PC平面PCD，故PCBC。（2）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：易证DECB，DE平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。由（1）知：BC平面PCD，所以平面PBC平面PCD于PC，因为PD=DC，PF=FC，所以DFPC，所以DF平面PBC于F。易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于。【方法技巧】一个几何体无论怎样转动，其体积是不变的.如果一个几何体的底面积和高较难求解时，我们可考虑利用等体积法求解。等体积法也称等积转换或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几

20、何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，把底面积和高的求解转化为数量关系清晰的底面及其对应的高，减少运算量，这也是转化与化归思想在立体几何中的具体体现。本题也可利用等体积法求解：连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。因为ABDC，BCD=900，所以ABC=900。从而AB=2，BC=1，得的面积。由PD平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积。因为PD平面ABCD，DC平面ABCD，所以PDDC。又PD=DC=1，所以。由PCBC，BC=1，得的面积。由，得，故点A到平面PBC的距离等于。13.（2010·天津高考文科·9）如图，在五面体ABCDEF中，四

21、边形ADEF是正方形，FA平面ABCD，BCAD，CD=1，AD=，BADCDA45°.（）求异面直线CE与AF所成角的余弦值；（）证明CD平面ABF；（）求二面角B-EF-A的正切值。【命题立意】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力。【思路点拨】（1）CED即为异面直线CE与AF所成角；（2）证明CD垂直于两条相交直线AB、FA;（3）做辅助线构造二面角的平面角。【规范解答】(I)解：因为四边形ADEF是正方形，所以FA/ED.故为异面直线CE与AF所成的角.因为FA平面ABCD，所以FACD.故EDCD.在Rt

22、CDE中，CD=1，ED=，CE=3,故cos=.所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为.()证明：过点B作BG/CD,交AD于点G，则.由,可得BGAB,从而CDAB,又CDFA,FAAB=A,所以CD平面ABF.()解：由（）及已知，可得AG=，即G为AD的中点.取EF的中点N，连接GN，则GNEF,因为BC/AD,所以BC/EF.过点N作NMEF，交BC于M，则为二面角B-EF-A的平面角。连接GM，可得AD平面GNM,故ADGM.从而BCGM.由已知，可得GM平面MAB.由NG/FA,FAGM,得NGGM.在RtNGM中，tan,所以二面角B-EF-A的正切值为.2008年高考题14.（2008福建高考）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的余弦值为（ ）ABCDA1B1C1D1A.B. C. D. 【解析】选D.连与交于O点,再连BO,则为BC1与平面BB1D1D所成的角.，ABCDA1B1C1D1O.15、（2008福建高考）如图，ABCDA1B1C1D1在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为（ ）ABCDABCDA1B1C1D1【解析】选D.连,则为AC1与平