行列式的计算探讨222222

1、行列式的计算探讨作者：肖琨(井冈山学院数理学院,吉安，江西，343009)指导老师：朱景文摘要 归纳行列式的各种计算方法,并举例说明了它们的应用,同时对若干特殊的例子进行推广.关键词 行列式，拉普拉斯定理展开式，计算方法一 前言无论是高等数学领域里的高深理论，还是现实生活里的实际问题都或多或少的与行列式有着直接或间接联系.如：（1）线形方程组 是否有解,解的形式是什么样的?(2) 现测得,某一地区水银密度h与温度t的关系为：h=，并由实验测定以下数据，t 0 10 20 30h 13.60 13.57 13.35 13.32现预测：t=15，40时水银密度该怎样预测.（3）自然生态中，要预知一

2、个物种的存活期，繁衍期，该怎样预测呢？当然，除了以上问题外，还有许多问题都与行列式紧密相连，甚至有些问题依赖于行列式来解决，这些问题的研究归根到底也就是行列式某些方面的研究，甚至于有些性质完全不同，看起来毫无边际的问题，归纳成行列式的问题后却又似乎是相同的，这一切使得行列式成为高等代数特别是线形代数的一个重要研究对象.国际上一些知名数学家如：克兰姆，拉普拉斯，范得蒙等都对行列式有着深入的研究.行列式的计算灵活多变，需要有较强的技巧.当然，任何一个n级行列式都可以由它的定义去计算其值，但由定义可知，n级行列式的展开式有n！项，计算量很大，一般情况下，不用此法，但如果行列式有许多零元素，则可考虑此

3、法，值得注意的是：在应用定义法求非零元素乘积项时，不一定从第一行开始，哪行非零元素最少，就从哪行开始，接下来要介绍计算行列式的最基本方法.方法1 （列）展设为n阶行列式，根据行列式的按行（列）展开定理有（i=1，2，或（j=1，2，其中为中的元素的代数余子式.按行（列）展开法，可以将一个n阶行列式化为n个n-1阶行列式计算.若继续使用按行（列）展开法，可以将n阶行列式降阶直至化为许多个二阶行列式，这是计算行列式的又一基本方法，但一般情况下，按行（列）含有较多零元素时，它才能发挥真正的作用.因此，应用按行（列）展开法时，应利用行列式的性质将某一行（列）化为较多的零元素，再将其按行（列）展开.例1

4、.1 计算下列n阶行列式A=解 第1列中只有两个非零元素，因此，按第1列展开，计算会简化许多.经计算得： =例1.2 A=分析 这个行列式中没有一个零元素，若直接应用按行（列）展开法逐次降阶直至化为许多个2阶行列式的计算，则需要进行n！次加减法和乘法运算，这根本是无法完成的，更何况是n阶.但若利用行列式的性质将其化为有许多零元素，则很快就可计算出结果，注意到，此行列式将从第2行至第n行元素都加到第1行，则第1行的元素有相同的值.即：消去第一行化为n-1阶行列式：解A=将其按第一展开得：A=再将行列式的最后一行乘以-1依次加到前面n-2行上去，得到 =由此得到A=方法2 递推法应用行列式的性质，

5、把一个n阶行列式表示为相同的结构的较低阶行列式.（比如：n-1阶或n-2阶与n-2阶等）的线性关系式，这种关系式称为递推关系式，根据递推关系式及某个低阶的初始行列式（比如二阶或一阶行列式的值），便可递推求得所给n阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法.（注意）用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的结构，如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法.例2.1 计算n阶行列式 ，（bc分析 此行列式的特点是：主对角线上的元素全为a，上次对角线上的元素全为b，下次对角线上的元素全为c，其余元素全为零，这种行列式称为“三对角” 行列式，从行列式的左上方往右下方看，即知具有相同的结构.因

6、此，可考虑利用递推关系式来计算.解 为了求递推式，按第一行展开得令a=，bc=，则因此，（1）若（2）若点评 虽然我们从一个行列式中可以看出有低阶的相同的结构，然后得到一递推关系式，但我们不能盲目乱代，一定要看这个递推关系式是否可以简化我们的计算，如果不行的话，就要适当地换递推关系式，如本题.方法3加边法(升阶法)有时,为了计算行列式,特意把原行列式加上一行一列再进行计算;这种计算行列式的方法称为加边法或升阶法.当然，加边必须是保值的，而且要使得高一阶行列式较易计算.要根据需要和原行列式的的特点选取所加的行和列，加法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，也可用于其列（行）的元素分别为n-1个元

7、素的倍数的情况.加边法的一般作法是 =1特殊情况取当然，加边法不是随便加一行一列就可以了，那么加边法在何时才能应用呢？关键是观察每行或每列是否有相同的因子.如下题.例3.1 0，计算行列式解 加边得 =再加边得 再将第一列乘以-1加到第3，4， 列得第3，4，列都乘以加到第一列；第3，4列都分别乘以加到第2列得到：最后按 Laplace 展开得方法4 拆行（列）法由行列式拆项性质知，将已知行列式拆成若干个行列式之积，计算其值，再得原行列式的值，此法称为拆行（列）法.由行列式的性质知道，若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和，则该行列式可拆成两个行列式的和，这两个行列式的某行（列）分别以这两个

8、数之一为该行（列）的元素，而其他各行（列）的元素为原行列式的对应的行（列）相同，利用行列式的这一性质，有时候容易求得行列式的值例4.1南开大学2004年研究生入学考试题第1大题，要求下列行列式的值.设n阶行列式：=1，且满足i，j=1，2，L，n，对任意数b，求n阶行列式分析 该行列式的每个元素都是由两个数的和组成，且其中有一个数是b，显然用拆行（列）法.解 =+b=1+b又令A=，且A，由所以又 方法5数学归纳法一般是利用不完全归纳法，寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明.因此，数学归纳法一般是用来证明行列式等式.因此，给定一个行列式，要猜想其值，是比较困难的，所以是先给定其值

9、，然后再去证明.（数学归纳法的步骤大家都比较熟悉，这里就不重复说了.）例 5.1设行列式求证：.证明 用数学归纳法.n=1，2时，,现假设,结论在小于n时正确,将按第n列展开,得：即.将归纳假设代入上面的式子就可得结论.方法6行列式的乘法原理行列式的乘法原理，对任意两个同阶矩阵A，B，都有，大家都知道，对于矩阵的乘法已经是非常麻烦了，尤其是对高阶矩阵而言，其难度越明显.若按照常规办法先计算A*B，再计算，显然过于麻烦，直接应用行列式的原理，就显得方便简洁.同样，如果D=AB，其中A，B为同阶防子阵，则，从而达到优化计算的目的，应用行列式的乘法原理，主要是会将一个方阵拆成两个易计算行列式的同阶方

10、阵，使矩阵的行列式计算简洁化.例6.1设；i，j=1，2，3，L，n，求.解=*由行列式的乘法原理=方法7拉普拉斯定理在利用行列式的一行（列）展开式，我们可以发现行列式可以按某一行（列）展开，进行计算行列式，试想，我们可以行列式的某一个k级子式展开吗？拉普拉斯经过对行列式的研究终于发现此种方法可行，并给出严密的证明，为了使行列式的计算更为简洁，现引入拉普拉斯定理.拉普拉斯定理是在行列式D中任意取定了k（个行，由这K行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.例7.1 求2n阶行列式的值.（空缺处都是零）；解 不断用Laplace定理（第一行及最后一行），即得此行列式的值

11、为例7.2 利用行列式的Laplace定理证明恒等式证明 显然下列行列式的值为零：，用Laplace定理按第一，第二行展开得.方法8 利用范得蒙行列式例8.1 计算行列式：解 观察发现此行列式类似于范得蒙行列式，为了得到一个范得蒙行列式，现添加，显然为的系数的相反数.由范得蒙行列式知：d（x）=（b-a）（c-a）（d-a）（c-b）（d-b）（d-c）（x-a）*（x-b）（x-c）（x-d），所以的系数为，故原行列式等于.例8.2设的i次多项式，试证：证明 首先，第一行全是，提出，第一行全变为1，令，则第二行变为，令，在第三行中减去第一行的倍，减去第二行的倍，再提出，于是第三行变为，依次续

12、行，可明所欲证.方法9析因法如果行列式D中有一些元素是变数x（或某个参变数）的多项式，那可以将行列式D当作一个多项式f（x），然后对行列式施行某些变换，求出f（x）的互素的一次因式，使得f（x）与这些因式的乘积g（x）只相差一个常数因子c，根据多项式相等的定义，比较f（x）与g（x）的某一项的系数，求出c值，便可求得D=cg（x），那在什么情况下才能用呢？要看行列式中的两行（其中含变数x），若x等于某一数时，使得两行相同，根据行列式的性质，可使得D=0；那么x-便是一个一次因式，再找出其他的互异数使得D=0，即得到与D阶数相同的互素一次因式，那么便可用此法.例9.1计算D=解 由行列式D定义知

13、为x的4次多项式，又，当时，1，2行相同，有D=0，D的根，当时，3，4行相同，有D=0故D有4个一次因式：x+1，x-1，x+2，x-2.设D=a（x+1）（x-1）（x+2）（x-2），令x=0，则D=即：问题的推广例9.2兰州大学2004招收攻读硕士生考试第四大题第（1）小题，需求如下行列式值分析 根据该行列式的特点,当x=,i=1,2,L,n时,有但大家认真看一下,该行列式是一个n+1次多项式,而这时我们只找出了n个一次因式,i=1,2,L,n,那么能否用析因法呢?我们再仔细看一下,每一行元素的和数都是一样的,为：那么我们以第二列开始到第n+1列都加到第一列，现提出公因子这样行列式的次

14、数就降低了一次，从而再考虑析因法.解 令为n次多项式，设所以 ,从而，因此.点评 该题显然用析因法是最简便，但大家不要一味地只找使它等于0的数，而该最多只有n个数，使它等于0，而行列式又是n+1阶，是一个n+1次多项式，从而我们想到的就是得用行列式的性质，把行列式的次数降低一次，使得原n+1次多项式变为一个1次多项式和一个n次多项式的 乘积，进行便可求得其值.凡事要懂得变通，一道题不可能用一种方法就可以马上解得.在析因法中，对于一个n次多项式，当你最多只能找出r个使其行列式为零时，就要把它化为一个n-r次多项式和一个r次多项式的乘积，但一般找出的使其行列式为零的个数与行列式的次数差太多时，不用

15、此法.方法10提取因子法.在含有文字变量（单项式或多项式）的行列式中，如当某个变量取某个特定值时，行列式为零，则该行列式必含有某个特定的因子.用这种方法必含有某个特定的因子，用这种方法常常可以巧妙地将行列式的值求出来.例10.1计算解 设A=f（x），将所有行加到第一行可以提出因子x+y+z+w,第二行乘以1,第三,第四行乘以-1加到第一行可以提出因子x+y-z-w,同理可知A有因子x+z-y-w,x+w-y-z.又将A看成为x的函数是4次的,首项系数为1,故A=(x+y+z+w)(x+y-z-w)(x+z-y-w)(x+w-y-z).例10.2计算行列式:解 显然当x=0,y=0时A=0,因

16、此A含有因子xy,若将-x代x,得到的行列式仍和A相等(只要将第一,第二行对换,再将第一,第二列对换)可见,A中含有因子,同理,A含有因子而项的系数是1,因此A=.方法11利用方阵特征值与行列式的关系例11.1 计算如下行列式的值.解 令矩阵,则可得:=显然的n个特征值为b,b,L,b.故，由矩阵特征值与对应行列式的关系知：.注：也可由的定义得到.点评 本题行列式比较特殊，可以用到此方法，对于其他的行列式，本方法不适用，在这仅给出此方法参考.问题的推广 例11.2中，主对角线上的元素为，那么我们使得主对角上元素为个任意数，可得下列一般的行列式分析 上面我们已经介绍了多种方法，根据这题行列式的特

17、点，每行都有相同的因子，所以本题适用加边法.（本题有多种解法，据上分析，仅以加边法推出.）解 =与例11的答案一致.行列式的计算方法最常见的便是以上几种，但有时也因结构不同而有其他类型的解法.以上计算行列式的基本方法奠定了高等数学的理论基础，同时也为数学在现实生活中的广泛运用提供了理论依据，总而言之，其具有实质上的研究价值.参考文献1姚慕生高等代数复旦大学出版社2002年4月2刘洁玉，王新长，万冰蓉，高等代数学习指导与解题能力训练，江西高校出版社，2002年6月5日3各高校历年试题4北京大学数学系，几何与代数教研室代数小组编高等代数（第二版）1987年3月Some discussion of computing determinant Author Xiao kun Tutor Zhu JingWen(Institute of mathmatices and physics ,Jinggangshan Unive