考研数学 高等数学总结4

1、高等数学部分定积分理论一、定积分的产生背景1、曲边梯形的面积问题2、变速运动路程问题二、定积分的定义设为上的有界函数，若存在，称在上可积，极限称为在上的定积分，记，即。【注解】（1）极限与区间的划分及的取法无关。（2），反之不对。（3）若一个函数可积，则。三、定积分基本理论定理1 设，令，则为的一个原函数，即。【注解】（1）连续函数一定存在原函数。（2）。（3）。【例题1】设连续，且，求。【例题2】设为连续函数，且，求。定理2 （牛顿莱布尼兹公式）设，且为的一个原函数，则。四、积分法1、换元积分法设，令，其中可导，且，其中，则。2、分部积分法设在上连续可导，则。五、定积分性质1、基本性质（1）

2、。（2）。（3）。（4）。（5）设，则。推论1 设，则。推论2 。（6）设在上连续，且，则。（7）（积分中值定理）设，则存在，使得。2、定积分的特殊性质（1）对称区间上定积分性质1）设，则。2）设，且，则。3）设，且，则。（2）周期函数定积分性质设以为周期，则1），其中为任意常数。2）。（3）特殊区间上三角函数定积分性质1）设，则，特别地，且。2）。3）。4）设，则。【例题1】计算。【例题2】计算。【例题3】计算。第一讲 极限与连续一、定义1、函数的几个初等特性（1）奇偶性设函数的定义域关于原点对称，若，称为偶函数；若，称为奇函数。【例题1】 判断函数的奇偶性，并求其反函数。（2）周期性设的定

3、义域为，若存在，使得对任意的，有且，称为周期函数。【例题2】讨论函数的周期性。（3）单调性设对任意的且，有，称在上为单调增函数，反之称为单调减函数。（4）有界性若存在，对任意的，有，称在上有界。2、极限（1）数列极限()若对任意的，总存在，当时，有 成立，称数列以为极限，记为。（2）函数当时的极限（）若对任意的，总存在，当时，有 成立，称为当时的极限，记为。（3）函数当时的极限（）若对任意的，存在，当时，有 成立，称为当时的极限，记为。（4）左右极限若，称为在处的左极限，记为；若，称为的右极限，记为，注意存在的充分必要条件是与都存在且相等。【注解】（1）函数在一点处的极限与函数在该点有无定义无

4、关。（2）形如当时的极限一定分左右极限。若对，因为，所以极限不存在；又如，显然，故不存在。3、无穷小（1）无穷小的定义以零为极限的函数称为无穷小。（2）无穷小的层次设，若，称为的高阶无穷小，记为；若，称与为同阶无穷小，记为，特别地，若，称与为等价无穷小，记为。【注解】（1）无穷小一般性质1）有限个无穷小之和、差、积为无穷小。2）有界函数与无穷小之积为无穷小。3）的充分必要条件是，其中。（2）等价无穷小性质1）；2）若，则；3）若，则；4）若且，则。（3）当时常用的等价无穷小1）；2）；3）。【例题3】计算极限。【例题4】计算极限。【例题5】计算极限。【例题6】计算极限。【例题7】计算极限。4、

5、连续（1）函数在一点处连续的定义设在的邻域内有定义，若，称在处连续。【注解】在处连续的充分必要条件是。（2）函数在上连续的定义设在上有定义，在内点点连续，且，称在上连续。【注解】初等函数在其定义域上都连续。5、间断点及分类（1）设在处间断，且都存在，称为的第一类间断点。进一步地，若，称为的可去间断点；若，称为的跳跃间断点。（2）设在处间断，且至少一个不存在，称为的第二类间断点。【例题8】求函数的间断点及类型。【例题9】求函数的间断点及类型。【例题10】求函数的间断点及类型。二、极限有关性质（一）极限一般性质定理1（唯一性定理） 极限具有唯一性。定理2（保号性定理）（1）若，则存在，当时，。（2

6、）设且，则。（二）极限的存在性质定理1 单调有界的数列必有极限。情形一：设单调增加，且存在，使得，则存在。情形二：设单调减少，且存在，使得，则存在。定理2（夹逼定理）（1）数列型：设，且，则。【例题11】计算。（2）函数型：设，且，则。三、重要极限与有关结论1、。记忆：（1）时，尤其（）； （2）时，。2、。记忆：单调增加收敛于。四、闭区间上连续函数的四大性质定理1 （最大值最小值定理）设，则在上取到最小值和最大值。定理2 （有界性定理） 设，则在上有界。定理3 （零点定理） 设，且，则存在，使得。定理4（1）设，对任意的，存在，使得，即位于最小值和最大值之间的任何值函数都可以取到。（2）设，

7、且，不妨设，则对任意的，存在，使得，即位于左右端点函数值之间的任何值函数都能取到。【方法指导】设，若结论中存在，基本确定使用零点定理或介值定理，一般开区间用零点定理，闭区间用介值定理。【例题1】设，证明：存在，使得。【例题2】设，证明：对任意的，存在，使得 。【例题3】设，证明：对任意的及且，存在，使得一元函数微分学基本理论一、基本概念1、导数设为定义于上的函数，若极限存在，称在处可导为在处的导数，记为或。【注解】（1）同时包括与。若存在，称此极限为在点处的左导数，记为，若存在，称此极限为在点处的右导数，记为，在点处可导的充分必要条件是与都存在且相等。（2）函数在处导数的等价定义。（3）若在处

8、可导，则在处连续，反之不对。（4）取绝对值可保持连续性，不一定保持可导性。2、可微设为定义于上的函数，若，称在处可微，记，或者。【注解】（1）函数在一点可导与函数在一点可微等价。（2）。（3）若函数处处可导，则其微分为。二、求导数三大工具（一）基本公式1、。 2、，特别地。3、，特别地。 4、，特别地。5、（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）。6、（1）； （2）； （3）； （4）。（二）求导四则运算法则1、。 2、。3、。 4、；5、。（三）复合函数求导链式运算法则设，都是可导函数，则可导，且。【注解】（1）原函数与其反函数一阶导数与二阶导数之间的关

9、系设为二阶可导函数，且，为的反函数，则 ，即原函数与其反函数导数之间为倒数关系， 。（2）设在处连续，若，则。三、求导基本类型（一）显函数求导数【例题1】设，求；【例题2】设，求；（二）参数方程确定的函数的导数设由确定，其中皆二阶可导，求及。【例题1】 设，求及。（三）隐函数求导数【例题1】 设，求。（四）分段函数求导数【例题1】设，求并讨论的连续性。【例题2】设，且存在，求。（五）高阶导数【例题1】，求。【例题2】设，求。中值定理及应用一、预备知识1、极值点与极值设连续，其中。若存在，当时，有，称为的极大点；若存在，当时，有，称为的极小点，极大点和极小点称为极值点。2、函数在一点处导数情况讨

10、论（1）设，即，由极限的保号性，存在，当时，有。当时，；当时，。显然不是的极值点。（2）设，即，由极限的保号性，存在，当时，有。当时，；当时，。显然不是的极值点。【结论1】设连续函数在处取极值，则或不存在。【结论2】设可导函数在处取极值，则。二、一阶中值定理定理1（罗尔中值定理）设函数满足：（1）；（2）在内可导；（3），则存在，使得。定理2（Lagrange中值定理）设满足：（1）；（2）在内可导，则存在，使得。【注解】（1）中值定理的等价形式为：，其中；，其中。（2）对端点有依赖性。（3）端点可以是变量，如，其中是介于与之间的的函数。定理3（Cauchy中值定理）设满足：（1）；（2）在内可导；（3），则存在，使得 。典型题型题型一：结论中含一个中值，不含，且导出之间差距为一阶【例题1】设，在内可导，证明：存在，使得。【例题2】设，在内可导，且，证明：存在，使得 。题型二：关于微分中值定理的惯性思维题【注解】对可导函数来说，若所研究问题中涉及三个或三个以上点时，最可能使用的工具就是拉格朗日中值定理【例题1】设，在内可导，且在内不为常数，证明：存在，使得。【例题2】设，在上二阶可导，且的最小点在内，证明：。三、高阶中值定理泰勒中值定理背景：求极限。定理4（泰勒中值定理）设函数在的邻