选修4直线的参数方程教学设计

1、直线的参数方程教学设计：人教A 版选修 44执教人：冷天存学校：云南师范大学实验中学邮箱：354170862.com2018 年 10 月 12 日1直线的参数方程云南师范大学实验中学冷天存：人教版普通高中课程标准实验教科书数学（A 版）选修 44 坐标系与参数方程 P35P39，分两节课完成，本教案是第一节课，内容主要在 P35P37内容本节内容是人教 A 版选修 44 第二讲第三部分的内容直线是学生最熟悉的几何图形，在教材必修 2中学生已经学习了直线的五种方程.教科书先引导学生回顾了用倾斜角的正切表示的直线的点斜式方程，这是为推导直线的参数方程做准备，从代数变换的角度看，P35 的直线参&

2、#236;x = x0 +t cosa ,数方程í y = y（t为参数）就是点斜式的变形在提出“如何建立直线的参数方程？”后，教+t sin a.î0材引导学生借助向量工具探究直线的参数方程这一过程，教师引导学生通过类比、联想的思想方法，将直线和学情分析方向向量起来，引入恰当的参数，从而建立直线的参数方程学生对事物的认识多是从直观到抽象，从感性到理性而对事物的理解多以的经验为基础来建构或解释现象，而并不是把知识从外界直接搬到记忆中高二学生的学习过程更是如此之前圆锥曲线的参数方程学生已经熟悉，也能够理解各种曲线的参数的几何意义，但是直线的参数方程还能否用角作为参数呢？这是完

3、全不同的，应该选择那个量作为直线的参数呢?需要引入“方向向量的概念”，之前的必修从未学习过，所以，在讲本节课之前，提前对方向向量的知识作了补充学习，教学方法与教学节课的学习提前进行知识储备教学方法：启发探究式（教师设问引导，学生探究、合作解决）教学教学目标：多辅助教学（利用计算机和实物投影辅助教学）1利用直线的方向向量推导直线的参数方程，体会直线的普通方程与参数方程的；2. 理解并掌握直线的参数方程中参数t 的几何意义；3. 通过直线参数方程的探究，体会参数的形成过程，培养严密地思考和严谨推理的习惯；4. 在学习过程中渗透类比、归纳、推理的数学思想方法，以及引领学生体会“根据几何性质选取恰当的

4、参数，建立参数方程”的几何问题代数化的教学重点思想1. 分析直线的几何条件，选择恰当的参数写出直线的参数方程；2. 直线的参数方程中参数t 的几何意义教学难点1. 直线的参数方程中参数t 的几何意义；2. 直线参数方程中参数t 的几何意义的初步应用2教程一课题引入问题 1已知直线l：x + y -1 = 0 与抛物线 y = x2 交于 A ，B 两点，求M (-1, 2) 到 A ，B 两点的距离之积解：法ìx + y -1 = 0-1- 5 3 + 5-1+ 5 3 - 5由可知两交点坐标分别为 A(,) ， B(,)íy = x22222î=(-1- -1-

5、 5 )2 + (2 - 3 + 5 )2 × (-1- -1+ 5 )2 + (2 - 3 -5 )2所以 MA × MB2222=(3 - 5) × (3 + 5) =2 【设计意图】通过几何法求解距离，让学生真切感受“计算过程”的繁琐，为引课题做铺垫问题 2有没有比这种方法更简便的算法？接着引课题“直线的参数方程”二直线的参数方程（直线的参数的发现与确定）探究 1一般地，设直线l 经过点M（0 x0，y0），且倾斜角为a ，动点M（x，y）为直线上任意一点，直线l 的方向向量记作e =（cosa，sina）,a Î0，p ) ，那么M 0 M /

6、/e ，因此根据共线向量的充要条件可知，存在实数t ，使得M 0 M =te ，即（x - x0，y - y0）=（t cosa，sina），于是，有ìx - x0 = t cosa（t 为参数）í y - y = t sin aî0因此，把上面的方程叫做经过点M（0 x0，y0），倾斜角为a 的直线l 的参数方程直线参数方程的文字表述：直线上任意动点的坐标等于定点相应坐标加上参数乘以倾斜角的正余弦注意：直线上的任意一个点对应一个参数t 【设计意图】通过教师引导和启发，由学生或在小组合作的基础上，借助直线的方向向量建立起直线l 的参数方程这是本节课的其中一个重点和

7、关键3三参数t 的几何意义探究 2直线l 的参数方程中参数t 的几何意义是什么？方向向量 e =（cosa，sina）， 所以 e = 1 ，又因为 因为 M 0 M =te ，所以 M 0 M= te= te= t于是得到参数t 的几何意义：直线l 上的动点 M 到定点 M 0 的距离，等于参数t 的绝对值探究 3参数t 的符号又有什么意义呢？当0 < a < p 时， sina > 0 ，所以直线l 的方向向量e 的方向总是向上的（1）若t > 0 ，由t= y - y0 Þ y - y > 0 Þ y > y ，可知点M 在点M 上

8、方，则M M 的方向向上；sina0000（2）若t < 0 ，由t= y - y0 Þ y - y < 0 Þ y < y ，可知点M 在点M 下方，则M M 的方向向下；sina0000（3）若t = 0 ，则 y = y0 ，从而点M 点M 0 重合【设计意图】引导学生思考讨论后获取共识，直线的参数t 具有两点意义：符号决定了动点相对于定点的位置，绝对值表示动点到定点的距离为后面参数的应用做铺垫问题 3如果直线水平放置，那么直线上的定点和动点的起来？【设计意图】以和我们的那个知识回顾数轴概念，理解数轴上的任意一点对应一个实数，点的坐标的绝对值刚好是对

9、应的点到原点的距离问题 4数轴是怎样建立的？数轴上任意一点的坐标的几何意义是什么？规定了、长度和正方向的直线叫数轴。已知数轴上两点 A ， B 的坐标分别为 x ， x ，则线段 AB 的中点坐标为 xA +xB ， A ， B 两点间AB2=xA - xBAB的距离为4=tA - tB类似地，有向直线类似于 x 轴，则 A ， B 两点间的距离为的参数为 tA +tB ，线段 AB 的中点对应AB2【设计意图】中在有向直线上确定两点间的距离，以及两点对应的参数，有些同学不能立刻理解，而用数轴上两点间的距离以及线段中点的坐标来类比，就可以帮助学生很好的理解，这里类比思维起到了重要作用四直线参数

10、方程的应用例 1已知直线l 过点M (-1, 2) ，倾斜角为 3 p ，写出直线l 的参数方程4解：因为直线l 过点M (-1, 2) ，且l 的倾斜角为 3 p ，4所以它的参数方程为ìx = -1-2 t,ïï2í（t为参数）2 t.2ï y = 2 +ïî变式 1已知直线l 过点M (-1, 2) ，斜率为-1，写出直线l 的参数方程解：因为直线l 过点M (-1, 2) ，且l 的斜率为-1，所以它的倾斜角为 3 p ，从而直线的参数方程为4ìx = -1-2 t,ï2（t为参数）í&

11、#239; y = 2 +2 t.2ïî变式 2已知直线l 过点M (-1, 2) ，斜率为-1，且与抛物线 y = x2 交于 A ， B 两点求线段 AB 的长和点 M (-1, 2) 到 A ， B 两点的距离之积解：解法一（法）：因为直线l 过点M (-1, 2) ，且l 的斜率为-1，所以它的普通方程为 y - 2 = -(x +1) ，即 x + y -1 = 05ìx + y -1 = 0-1- 5 3 + 5-1+ 5 3 - 5由可知两交点坐标分别为 A(,) ， B(,)íy = x22222îAB = 10 ， MA &#

12、215; MB= 2 所以解法二（参数法（一）：ìx = -1-2 t,ï2将直线l 的参数方程í（t为参数）代入抛物线方程得ï y = 2 +2 t.2ïît2 +2t - 2 = 0解之得t = -2 + 10= - 2 - 10， t1222AB = MA + MB= t1+ t2= 10 ，所以由参数t 的几何意义得MA × MB=× t2= 2t1t1t2解法三（参数法（二）：ìx = -1-2 t,ï2将直线l 的参数方程í（t为参数）代入抛物线方程得ï y =

13、2 +2 t.2ïît2 +2t - 2 = 0ì+t =- 2ït所以由定理可知12íïît1t2 = -2所以由参数t 的几何意义得AB = MA +=+ t=t - t=(t +t )2 - 4t t = 10 ，MBt1212121 2MA × MB=× t2= 2t1t1t2变式 3已知直线l 过点M (-1, 2) ，斜率为-1，且与抛物线 y = x2 交于 A ，B 两点求线段 AB 中点Q 的坐标解：由变式 2 的解法 2 可知，AB 中点Q 对应的参数t= t1 +t2 =- 2 ，2

14、26ìx = -1-2 t = - 1 ,ï即Q(- 1 , )2 2322所以íï y = 2 +2 t = 3 .22ïî【设计意图】这是中的一道例题，做了适当的改动，变成两个问题求解，这样安排便于学生更容易熟悉直线的参数方程，其次在变式 2 中，设计了三种方法求解，第一种刚好就是课题引入前的引例让学生在解答的过程中去感受和体会引入参数的优越性，法容易想，但是不容易算，参数法的引入就使问题的计算趋于简单化，这也是引入参数方程的目的所在例题小结：（1） 体会参数法在解决几何问题时的方便性；（2） 数轴任意一点对应的坐标 x 相当于直

15、线上任意一点对应的参数t ；= (x +x )2 - 4x x ，直线上任意两点间的距离（3）数轴上任意两点 x ，x 之间的距离是12121 2=t - t=(t +t )2 - 4t t 刚好等于 A ， B 两点对应的参数之差的绝对值AB12121 222练习经过点M (2,1) 作直线l ，交椭圆于 A ， B 两点如果点M 恰好为线段 AB 的中点，求直线l 的方程 解：解法一：点差法设 A(x1, y1 ) ， B(x2 , y2 )，则由题意可知ìx1 + x2 = 4,í y+ y = 2.î 12又因为点 A(x1, y1 ) ， B(x2 ,

16、y2 ) 在椭圆上，则有ì22ïí2ï+= 12ïî 164因此，直线l 的方程为 y = - 1 x + 2 2解法二：参数法设过点M (2,1) 的直线l 的参数方程为ìx = 2 + t cosa,í y = 1+ t sina （t 为参数），将其代入椭圆方程整理得,î7(3sin2 a +1)t2 + 4(cosa + 2sina )t - 8 = 0= - 4(cosa + 2sin a ) t + t所以123sin2 a +1因为点M (2,1) 为线段 AB 的中点，所以 t1 + t2 = 0 ，即2cosa + 2sina = 0于是直线l 的斜率为k = tan a = - 1 2因此，直线l 的方程为 y = - 1 x + 2 2【设计意图】这是P37 的例 2，学生可能直接应用“点差法”进行求解，但是引入直线的参数方程后，直线的斜率可以应用参数的几何意义计算，这样可以是问题的解决更加简单方便再次感受直线参数方程参数的方便性五本课小结ìx = x0 +t cosa ,1直线的参数方程í