【课件】5.2.3简单复合函数的导数课件-2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

1、5.2导数的运算导数的运算5.2.3学习目标学习目标新课程标准解读新课程标准解读核心素养核心素养1.了解复合函数的概念了解复合函数的概念(重点重点)2.掌握复合函数的求导法则（难点）掌握复合函数的求导法则（难点）数学抽象数学抽象3.能利用复合函数的求导法则求简单复合能利用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数函数的导数(重点、难点重点、难点)数学运算数学运算逻辑推理逻辑推理温故知新温故知新f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)探究一：如何求函数 yln(2x-1) 的导数？探究新知现有方法无法求出它的导数：（1）用定义不能求出极限；（2）不是基本初等函数，没有求导公式

2、；（3）不是基本初等函数的和、差、积、商，不能用导数的四则运算法则解决这个问题.探究新知问题1：函数 yln(2x-1) 可以用基本初等函数表示吗？ 定义形成 一般地，对于两个函数一般地，对于两个函数yf (u)和和ug(x)，如果通过，如果通过中间变量中间变量u，y可以表示成可以表示成x的函数，那么称这个函数为函的函数，那么称这个函数为函数数yf (u)和和ug(x)的的复合函数复合函数，记作，记作yf (g(x).复合函数的概念：例例1 指出下列函数的复合关系：指出下列函数的复合关系： 32)2(xy （1）2sinxy （2） xy4cos （3）)13sin(ln xy（4） 由由 复

3、合而成复合而成 32)2(xy 232,xuuy 解解：（：（1）（2 2） 由由 复合而成复合而成 2sin xy 2,sinxuuy （3 3） 由由 复合而成复合而成 xy4cos xuuy 4,cos （4 4） 由由 复合而复合而成成 )13sin(ln xy13,sin,ln xvvuuy例题精讲例例2 写出由下列函数复合而成的函数：写出由下列函数复合而成的函数： （1） （2 2）21,cosxuuy xuuyln,ln 解解：（：（1 1）).ln(lnxy )1cos(2xy （2）例题精讲探究新知以函数 y=sin2x 为例，研究其导数.(1)猜想y=sin2x 的导数与函

4、数y=sinu，u=2x 的导数有关. 以 yx 表示 y 对 x 的导数, 以 yu 表示 y 对 u 的导数, 以 ux 表示 u 对 x 的导数可以先得到函数y=sinu，u=2x 的导数yu=cosu, ux =2 (2)可以换个角度来求 yx ：yx =(sin2x)=(2sinxcosx)=2cos2x-sin2x=2cos2x可以发现，yx =2cos2x=cosu2= yu ux探究新知复合函数的求导法则： 一般地，对于由函数一般地，对于由函数yf (u)和和ug(x)复合而成的函复合而成的函数数yf (g(x)，它的，它的导数与函数导数与函数yf (u)，ug(x)的导的导数

5、间的关系为数间的关系为 即即y对对x的导数等于的导数等于y对对u的导数的导数与与u对对x的导数的导数的的乘积乘积.yxyu ux f (g(x)=f (g(x)g(x)问题解决问题3：用新学的知识求函数 yln(2x-1) 的导数函数函数 yln(2x-1)可以看成是由可以看成是由 ylnu 和和 u2x-1 复合而成复合而成以以yu 表示对表示对 u 求导求导, 以以ux表示对表示对x求导求导u1因为因为yu(lnu) , ux2, u1所以yxyu ux 2 =2u反馈练习例例1：求：求xy2sin的导数的导数分析：分析：解解1：(sin 2)(2 sinc o s)yxxxx )sins

6、incos(cos2xxxx解解2：xy2sin可由y=sinu,u=2x复合而成2,cosxuuuyx2cos2xxxx2cos)2(sincos)(sin?=2cos2x反馈练习例例2设设 y = sin2 x，求，求 y .解解这个函数可以看成是这个函数可以看成是 y = sin x sin x, 可利可利用乘法的导数公式，用乘法的导数公式，将将 y = sin2 x 看成是由看成是由 y = u2，u = sin x 复合而成复合而成. 而而,2)(2uuyu .cos)(sinxxux 所以所以.cossin2cos2xxxuuyyxux 这里，这里， 我们用复合函数求导法我们用复合函数求导法.反馈练习求求 y .,12xy 设设解解将中间变量将中间变量 u = 1 - - x2 记在脑子中记在脑子中.211() .22 (1)uyuux 也也在在心心中中运运算算这样可以直接写出下式这样可以直接写出下式221(1)2 (1)xxyxx .12xx 例例 3方法归纳(1)观察函数结构，识别构成复合函数的基本初等函数；(2)引入中间变量，运用基本初等函数的求导公式与复合函数的求导法则运算