椭圆的简单几何性质习题

1、课时作业»>在学生用书中，此内容单独成册学业水平训练1 .已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）解析：选D.由题意知，2a=46,又=才一得至"4c2=3才，e=孚.2 .已知椭圆= 1的焦点在p轴上，且长轴长是短轴长的2倍， 则 m=（）C. 2D. 4解析：选A.将椭圆方程化为标准方程为父+：=1,m1:焦点在 y轴上，>1, .0</77<1. m由方程得6=1.1=2/7,/773 .已知石，6是椭圆的两个焦点，过E且与椭圆长轴垂直的直线交 椭圆于4 8两点，若486是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）解析：选A.设|加;1

2、=1,由486是正三角形知，|力£|=2, |片引J椭圆的离心率e=cc= 1Ml a=2a=AF, + AF2 = 3 ,4 .如图所示，边长为石的正方形组成的网格中，设椭圆C, G, G 的离心率分别为e,如晓，则（ ）A. ei = e2<e3C . 61 = 62 > 63解析：选 D.由题意，可得的 "一 =e：=6a 2- 3a 2 Tia 32 2a 2-a 3a 3,G =m=.而一%故>6i.5.中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为平，且过点（2,0）的椭 圆的方程是（）+ / = 1+ /=1 或4+<=1C.父+4=1D. f+

3、4/=4 或 4/+/=16解析：选D.若焦点在x轴上，则a=2.又e=彳，；。=小.；.6=才xc=1,方程为4+7=1,即/+4/=4;若焦点在v轴上，则ba/3 d 22 解析：椭圆9寸+4/ = 36可化为N+5=1,因此可设待求椭圆为一十 7mm+5又6=2，,故勿=20,得行+*=1 yzU zo答案：20+21=1 3 122, V /=2.又 e=3-,*=1 一Aa=4d2=16,，万程为7+77=1, 2 a 4 44 16即 4/+/=16.6.椭圆/+4/=16的短轴长为,22X V解析：由/+0=1可知6=2, IO 4,短*山长26=4.答案：47 .已知椭圆

4、63;的短轴长为6,焦点厂到长轴的一个端点的距离等于9, 则椭圆E的离心率等于.解析：根据题意得26=6, a+c=9或ac=9 （舍去）.所以石=5, c=4,故e答案：i o8 .与椭圆9V+4/=36有相同焦点，且短轴长为4部的椭圆方程是X v9 .已知椭圆G： +£=1,设椭圆G与椭圆G的长轴长、短轴长 1UU 04分别相等，且椭圆G的焦点在v轴上.(1)求椭圆C的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；写出椭圆G的方程，并研究其性质.解：(1)由椭圆G：去+4=1可得其长半轴长为10,短半轴长为8, 1UU 043焦点坐标(6,0), ( 6,0),离心率 椭圆以音+铝,性质

5、：范围：-8WxW8, 10WpW10;对称性：关于x轴、v轴、原点对称；顶点:长轴端点(0,10), (0, -10),短轴端点(一8,0), (8, 0)；3离心率：e=- 0X2 /、后10 .已知椭圆二十力=1 (a>6>0)的离心率e=t，过点4(0, 6) a bo和8g, o)的直线与原点的距离为平，求椭圆的标准方程.c 、1寸一状迅解：e=-=a=4"，a a 3a2Z?2 222r：.=-Aa2=3b2,即 a=y3b. a Jx v过4(0, 6), 8(a0)的直线为一一7=1, a b把a=y3b代入，即x一4y小b=0.又由点到直线的距离公式得|

6、一m6|#小十 一小尸2,解得：6=1,所求方程为+/=1.高考水平训练1 .若点0和点尸分别为椭圆彳+不=1的中心和左焦点，点户为椭圆 上的任意一点，则流淳的最大值为()A. 2B. 3C. 6D. 8解析：选C.由题意得厂（一 1,0）,设点P（x。，y0）, y则 yb=3（1 j） （2WxoW2）,y 1凉* 力=风）（桁+1） +j=Xo + Ab + yb = Xo + xo + 3 （1 /）=-（Ab + 2） 2 +2,当Xo=2时，凉柳得最大值为6.2.在平面直角坐标系中，椭圆二十刍=1 (a>b>0)的焦距为2c,以0 a b为圆心，a为半径作圆，过点一，0

7、作圆的两切线互相垂直，则离心率 e=.解析：如图，切线以、必互相垂直，半径以垂 于出所以以"是等腰直角三角形,2故/a,解得e=g=坐. a z米实也答案：23. 4为v轴上一点，E, 6是椭圆的两个焦点，ZUEE为正三角形, 且力石的中点8恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率.解：如图，连接86.,力后片为正三角形，且8为线段片片的中点，"81.必.又./8£石= 30。, |石6|=2c,.|必|=c, BF2=3c.据椭圆定义得|不| + 1| =2a,即 c+q5c=2a, .*.-=3 1.,.椭圆的离心率e=小一 1.4.已知椭圆E的中心在坐标原点0,两个焦点分别为4(一 1, 0), 8(1,0), 一个顶点为个(2,0).求椭圆E的标准方程;对于x轴上的点P(&0),椭圆E上存在点K 使得MP工MH,求实 数亡的取值范围.解：（1）由题意可得，c=1 f a=2, ：.b=y3.22X v,所求椭圆E的标准方程为彳+=1.设做即,（又手士2）,贝吟+"=1.(tXo,，加 =(2 Xo,