空间向量知识点归纳总结(经典)(新)

1、所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。空间向量与立体几何知识点归纳总结一.知识要点1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：(1)向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的向量(2)向量具有平移不变性2.空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图)运算律：加法交换律：abba同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风!3加法结合律：(a b) c a (b c)数乘分配律：(a b) a b运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3 .共线向量。(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直

2、线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b ,记作a b。b ( b ? 0 ), a/b存在实数 入使a =心。(2)共线向量定理：空间任意两个向量a、 (3)三点共线：A、B、C三点共线<=>AB AC<=> OC xOA yOB其收 y 1)(4)与a共线的单位向量为4 .共面向量(1)定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的“：,：(2公共面厂量臂1：如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的条件是存在实数x, y 使 p xa yb o(3)四点共面：若A、B、C、P四点共面<=>

3、AP xAB yAC . .<=>OP xOA yOB zOC(其中 x y z 1)5.空间向量基本定理：如果三个向量%不共面那么对空间任一向量在一个唯一的有序实数组x, y, z,使 p目力,yb z若三向量a,b,c不共面，我们把叫做空间的一个基底,，叫做基向量,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设O,A,B,Cx,y,z,使o6.空间向量的直角坐标系:面4点，q空间任一点yOB zOC op ,都存在唯一的三个有序实数(1)空间直角坐标系中的坐标:在空间直角坐标系O xyz中，对空间任一点A,存在唯一的有序实数组(x, y, z), 使OA xi yi

4、 zk ,有序实数组(x, y,z)叫作向量a在空间直角坐标系o xyz中的坐标， 记作A(x,y,z), x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。注：点A (x,y,z)关于x轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy平面的对称点为(x,y,-z). 即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。在 y轴上的点设为 (0,y,0),在平面yOz中的点设为(0,y,z)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1,这个基底叫单位正交基底,7 7T 用i, j,k表示。空间中任一向量axiyjzk = (x,y,z)(3)l空间向量的直q坐标运算律：-自)，b出口2,4)，则(a1

5、 b1,a2 ba© bs),(ai 印包 b2,as b3),bi a2b2 a3bB ，ai, a2, a3)(R),/ baibl , a2b2 7a3b3(R),a ba1bl a2b2 a3b30。若 A(xi,yi,zJ , B(x2,y2,z2),则AB (x2 x/ yi,z2 4)。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。定比分点公式：若A(x1,yi,zi) , B(x2,y2,z2) , AP PB ,则点P坐标为XiX2 yiy2 ZiZ2设 P ( X,y,z )(X Xi,y yi,Z Zi)(X2 X,y2 y,

6、Z2 z)，显然，当P为AB中点时,P(XiX2 VlV2 Z1Z2 ABC中，A (卬丫")，B(X2,y2,Z2),C(X3,y3,Z3),三角形重心 p 坐标为P(XiX2X3 ViV2 V3 Zi Z2 Z3 ABC勺五心:内心P：内切圆的圆心,角平分线的交点。APAB AC(尸尸) (单位向量)AB ACAC外心P:外接圆的圆心,中垂线的交点。P.PBPC垂心P：高的交点：PA PB PA PCPB PC重心P：中线的交点，三等分点(中位线比)AP(移项，内积为0,则垂直)i -(AB AC)中心:(4),则|a|Jq2 a22 a32P |b| Vbb一一 ：>(

7、邛右 a (4e2自)，b(hQM),荷b22b32(5)夹角公式：cos贝U|AB| AB27.空间向量的数量积。的夹角及其表示：已知两非零向量a,b,在空间任取一点o，作,则aob叫做向量a与b的夹角，记作 a,b ；且规定,b，显然有b b,;若a,b ”称a与:互相垂直，记作:aRa2b2a3b31a| |b|Ja； a22 a32 % bi2 b22 b32 ABC中® AB?AC 0<=>A为锐角AB?AC 0 <=>A为钝角，钝角 (6)两点间的距离公式： 若 A(Xi,yi,Zi), B(X2,y2,Z2),、222X2 Xi) (y2 yi)

8、 (Z2 Zi),或 dA,B (X2 Xi)2 (y2 yi)2 (Z2 Zi)2_. I所谓的光辉岁月，I并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。（2）向量的模：设oA a,则有向线段oA的呼叫做向量三的长度或模，记作：日|日邛数量积：已知向量a,b,则1a1 ibi cos a,b叫做a,b的数量积，记 作a a,即a b曲曲cos a,b 。（4）空间向量数量积的性质: ae) |a |cosoi（分配律）0。团2（交换律）。同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风!5不满足乘法结合率：（a b）c a（b c）二.空间向量与立体几何1.线线平行两线的方向向量平行1-1线面平行 线的

9、方向向量与面的法向量垂直1-2面面平行两面的法向量平行2线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直2-1线面垂直 线与面的法向量平行2-2面面垂直两面的法向量垂直3线线夹角（共面与异面）0°,90°两线的方向向量 吊配的夹角或夹角的补角,cos cos n1, n23-1线面夹角0°,90°：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量 AP与面的法向量n的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹 * 角.sincos AP, n3-2面面夹角（二面角）0°,180°:若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量n1，

10、n2的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.的距离：在平面上去一点Q x,y，得向量5cos cos n1, n24.点面距离h :求点P X0,y0到平面所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风!11计算平面的法向量n；. hPQ4-1线面距离（线面平行）:转化为点面距离4-2面面距离（面面平行）:转化为点面距离【典型例题】1 .基本运算与基本知识（）例1.|已知平行六面体 ABCD-_a2) Ab Ad aa.，& w AB BC ；(3) AB AD -cC :2BCD，化简下列向量表达式，标出化简结果的向

11、量。(AB ad aa)oA, B,C,问满足向量式：1 ）的四点P,A,B,C是否共面?例2.对各同仁点g和不共线的三点(其中x y zOP xOA yOB zOCO O O O O例 3 已知空间三（0, 2, 3）, B （ 2, 1, 6）, C （1, 1, 5）求以向量AB, AC为一曾曾的平行四边形的面积 S;若向量a分别与向量定,Ac垂直，且|；|=/3,求向量a的坐标。2 .基底法（如何找，转化为基底运算）3 .坐标法（如何建立空间直角坐标系，找坐标）4 .几何法编号03晚自习测试；17, 18题OAC 45；,例4.如图，在空间四边形 OAB计，OA 8, AB 6, AC

12、 4, BC 5, OAB 60s求OA与BC的夹角的余弦值。说明：由图形知向量的夹角易出错，如 oA,aC 135易错写成oA,aC45,切记!例5.长方体ABCD AB1clD1中，AB BC 4, E为AC1与B1D1的交点，F为BC1与BC的 交点，又 AF BE,求长方体的高 BB1。【模拟试题】1.已知空间四边形ABCD ,连空4c母,M ,G分别是BC,CD的中点，化简下列各表达 式，并标出化简结果向量：（1）AB BC CD；(2) aB 1(BD bC)；2(3) aG 1(AB AC)22 .知士/ABCD,AC 外一点 O 引向量oE kOA,oF kOB,OG koC.

13、oH kODo(1)求证：四点E,F,G,H共面；(2)平面AC /平面EG。11t1.113 .如图正方体 ABCD ABC1D1中，BEi DR - ABi,求BE1与DF1所成角的余弦。45.已知平行六面体ABCD A BCD中， AB 4, AD 3, AA 5, BAD90；，BAADAA601 ,求 AC 的长。参考答案1.解：如图,(3)AG 12bC CD aC cD AD ,BD BC) AB 1 bC 1BD2mG 三;,2(AB AC) AG AM MG2.解解 J(14.一 . E3 OG 5E, k OC kjOA k(OC oA) k(OB QA OD OA) OF

14、证孙四边形E, F,G,H 共事；，, （2）解：v EF OF OE/. EF/AB, EG/AC。所以，平面AC 平面EG。3.解：不妨设正方体棱长为1,则 B(1,1,0),be13印1，/，BE1Be; df11(。，1), DFi441 1。()4 4ABCD是平行四边形，AC k(AB tAD)OH OEk(oB oA) k aB,又 eG¥建立空间直角坐标系 O xyz,1D（。,。,。）,Fi。”1叼，151 1 。16AB aD ,co151617 J715174.分析：:aB(2, 1,3),AC (1, 3,2), cos BAC./BAC=60 , =a AC