小学奥数几何模型之蝴蝶模型+沙漏模型非常完整版讲义例题+作业带答案

1、小学几何模型之蝴蝶模型准备练习梯形中的蝴蝶模型梯形的两个翅膀相等。左=右SaaBC = SBCDSxBCD SabqcSaaob = SCOD例题1如图：在梯形ABCD中，AD平行于BC,对角线AC和BD相交于点O。已知三角形AOD 与三角形DOC的面枳分别是16平方厘米与24平方厘米，求梯形ABCD的面积。AOB的面积为24cm2BOC 的面积：24 X 244-16=36 (cm2)梯形ABCD的面积：16+24+24+36=100 (cm2)练习1如图：在梯形ABCD中，AD平行于BC,对角线AC和BD相交于点O。己知三角形DOC 与三角形BOC的面枳分别是35平方厘米与49平方厘米，求

2、三角形AOD的面积。AOB的面积为35平方厘米AOD 的面积：35X35+49=25 (cm2)例题2如图：长方形ABCD被一些直线分成了若干部分。已知三角形ADG的面积是7平方厘米, 三角形BCH的面枳是9平方厘米，求四边形EGFH的面积。连接EF四边形EGFH的面积：7+9=16 (cm2)练习2如图：长方形ABCD被一些直线分成了若干部分。已知三角形ADG的面积是24平方厘米, 三角形BHC的面积是17平方厘米，求四边形GEHF的面积。AFBDEC 连接EF四边形EGFH的面积:24+17=41 (cm2)风筝模型dS2: S = BO:ODS3： S4 = bo：odS2:S = S3

3、:SAS3SXS3 = S2XS4BC上X下=左、右例题3 如图：一个不规则四边形被两条对角线分成四个小三角形。 求三角形CDG的面枳。AD金 C CDG 的面积：3X84-4=6 (cm2)己知其中三个小三角形的面积,练习3如图：一个不规则四边形被两条对角线分成四个小三角形。己知其中三个小三角形的面积, 求三角形ABG的面枳。1)ABG 的面积：8X64-12=4 (cm2)例题4如图：四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O。己知三角形ABD的面积是30平方 厘米，三角形ABC的面积是48平方厘米，三角形BCD的面积是50平方厘米，求三角形 BOC的面枳。BOC和AOB是等高模型 面积比

4、为5:3BOC的面积为：484-(5+3)X5=30 (cm2)练习4如图：一个园林形状如四边形ABCD,现测得三角形BCD的面积是25公顷，三角形ABC 的面积是24公顷，三角形ABD的面枳是15公顷。其中在三角形BOC中有一个面积是5 公顷的湖，求三角形BOC除去湖的部分的面积。OC:OA=25:15=5:3BBOC和AOB是等高模型 面积比为5:3BOC的面积为：244- （5+3）X5=15 （公顷）BOC除去湖的部分的面积: 15-5=10 （公顷） 例题5如图：四边形ABCD是边长为4厘米的正方形，点E是边BC的中点，CD=4DF,求阴影 部分的面积。ABD FC连接AF、EFB2

5、E2ABF 的面积：4X44-2=8 (cm2)BEF 的面积：2X3+2=3 (cm2)OA:OE=8:3ABE 的面积：4X24-2=4 (cm2)AOB和BOE的面积比为8:3AOB 的面积为:4+ (8+3) X8=32/11 (cm2)练习5如图：四边形ABCD是边长为8厘米的正方形，点E、F分别是边BC、CD的中点，求阴 影部分的面积。B连接AF、EFABF 的面积：8X8+2=32 (cm2)BEF 的面积：4X44-2=8 (cm2)OA:OE=4:1ABE 的面积：8X44-2=16 (cm2)AOB和BOE的面积比为4:1AOB 的面积为:16+ (4+1) X 1=16/

6、5 (cm2)例题6如图：在三角形ABC中，NACB是直角。已知AC = CD = 8厘米，BC=12厘米，点M是 边AB的中点，求三角形AMN的面积。连接 MD, SAABC=8X 124-2=48 (cm2)SAACM=SABCM=484-2=24 (cm2)CD:BD=2:1 SACDM=24-r (2+1) X2=16 (cm2)AN:ND=3:2SAABD=48-r (2+1) Xl=16 (cm2)SAAMD=164-2=8 (cm2)SAAMN=84-(3+2)X3=24/5 (cm2)练习6如图：在直角三角形ABC中，点M、D分别是边AB、BC的中点。己知AC和DC等长, 且都

7、是6厘米，求阴影部分的面枳。连接 MD, SAABC=6X 6X 24-2=36 (cm2)SAACM=SABCM=364-2=18 (cm2) SACDM=18-2=9 (cm2) AN:ND=2:1SAACD=6X64-2=18 (cm2)SACDN=184-(2+1) Xl=6 (cm2)例题7如图：平行四边形ABCD的两条对角线AC和BD相交于点O。己知三角形CEF、三角形 OEF、三角形ODF和三角形BOE的面积分别是3平方厘米、5平方厘米、5平方厘米和7 平方厘米，求三角形GCE的面积。SABCD=7+5+3+5=20 (cm2)SAOBC=SAOCD=204-2=10 (cm2)

8、SAOEC=10-7=3 (cm2)SAOCF=10-5=5 (cm2)EG:GF=3:5SAGCE=3-r (3+5) X3= 9/8 (cm2)课后作业1、如图：在梯形ABCD中，己知三个小三角形的面枳，那么三角形COD的面积为（ 平方厘米。答案：62、求下面长方形中不规则四边形GEHF的面积，可以连接点（）和点（）将其分割成两个三角形，这样可以构成（）组蝴蝶模型，它们分别在梯形（）中和梯形（）中。答案：E F 2 ABEF CDFE3、如图：四边形ABCD被分割成四个已知面枳的小三角形。根据图中所标出的面积可知： SA AOD:SA AOB= （） ： （） , SA COD:SA BO

9、C=（）：（）,由此可得出关于不规则四边形的一个结论：SA AOD:SA AOB = SA COD:SA BOCo答案：4： 86 ： 124、如图：已知在四边形ABCD中，三角形ACD的面枳是24平方厘米，三角形ABD的面积是27平方厘米，三角形ABC的面积是30平方厘米，那么OB:OD=（）:（括号中填具体的数。）答案：5:4C5、在下面的图形中，我们（）（填“可以"或坏可以“）构造蝴蝶模型。如果可以，那么我们要怎么样添加辅助线呢，请在图中画出来。答案：可以6、在下图的三角形ABC中可以构造出蝴蝶模型吗？如果可以，请作出辅助线；如果不可 以，请说明理由。7、如图：在一块梯形花圃中

10、，梅花的种植面积是15平方米，君子兰的种植面积是25平方 米。这块梯形花圃的面积是多少平方米？ACOD的面积为15平方米AOD 的面积：15X154-25=9 (m2) 梯形ABCD的面积： 15+154-9+25=64 (m2) 8、如图：在长方形中，甲、乙两个小三角形的面积分别是8平方厘米和13平方厘米。不 规则四边形丙的面积是多少平方厘米？四边形丙的面积：8+13=21 (cm2)9、如图：不规则四边形ABCD被分成了四个小三角形。己知三个小三角形的面积，求三角 形BOC的面枳。BOC 的面积：6X84-3=1610、如图：在四边形ABCD中，三角形ACD的面积是16平方厘米，三角形BC

11、D的面积是 20平方厘米，三角形ABC的面积是24平方厘米，求三角形BOC的面积。OB:OD=24:16=3:2ABOC和ACOD是等高模型 面积比为3:2BOC的面积为：20+(3+2)X3=12 (cm2) 11、如图：四边形ABCD是边长为6厘米的正方形，点E是边BC上靠近点C的三等分点, 点F为边CD的中点。求三角形AOD的面积。连接AF、EFADE 的面积：6X6+2=18 (cm2)DEF 的面积：3X24-2=3 (cm2)OA:OF=6:1ADF 的面积：6X3+2=9 (cm2)AOD flJADOF的面积比为6:1AOD 的面积为:9+(6+1) X6=54/7 (cm2)

12、 12、如图：在直角三角形ABC中，点D为BC边的中点，点E为AC边上靠近点A的三等 分点。已知AB和BD的长分别是12厘米和10厘米，求三角形AOE的面积。连接 DE, SAABC=12X 10X24-2=120 (cm2)SAABD=SAACD= 120-r2=60 (cm2) E为AC上三等分点 SAABE=120-r3=40 (cm2) SAADE=604-3=20 (cm2) BO:OE=60:20=3:1SAAOE=404- (3+0 Xl=10 (cm2) 13、如图：平行四边形ABCD的面积是3平方厘米，点M是边AD的中点。求阴影部分的 面积。ABM的面积:BCM的面积=1:2

13、AG:GC=1:2AABG的面积:ZkABC的面积=1:3阴影部分面积：平行四边形的面积=1:3阴影部分面积：34-3X1=1 (cm2)小学几何模型之沙漏模型课前引入：相似三角形（1）认识相似三角形形状相同，大小相似（三个角对应相等）（2）相似三角形的对应线段（对应高，对应边）的比等于相似比ZA=ZDZB=ZE ABC和 DEF相似相似比=盛ZC=ZF沙漏模型如图：三角形AOB和三角形COD组成沙漏模型。判定方法：一组平行线，一组交叉线。AO BO AB OF-CO - CO - OE（其中OF和OE分别是两个三角形的高）如果AO:OD=1:3,那么BO:OC= ( 1:3 ), AB:CD

14、= ( 1:3 ) , OE:OF= ( 3:1 )。例题1AB = 16厘米，AD=10厘米，BE=4厘米，求FC的长。如图：在平行四边形ABCD中,BC=AD=10 厘米CD=AB=16 厘米CF:BF=CD:BE=4:1FC 的长：10+（4+1） X4=8 （厘米） 练习1AE和DE的长度相同，求DFAB=CD=14 厘米DE=AE=14+2=16 （厘米）DF:FE=CD:BE=7:1DF 的长：164-（7+1） X7=14 （厘米）沙漏模型三角形AOB和三角形COD的面积之间有什么关系？如果AB:CD=1:3,那么三角形AOB和三角形COD的面积比是多少?OB:OC=OF:OE=

15、AB:CD=1:3Saaob：Scod=1:9例题2如图：在正方形ABCD中，CE = 2DEo己知正方形ABCD的面积是96平方厘米，求阴影 部分的面积。如图：在平行四边形ABCD中，CD=14厘米，BE=2厘米, 的长。ABD 的面积为 96+2=48 (cm2)假设SaDEF为1份，那么SABF为9份，SaADF为3份 阴影部分面积：484-(9+3)Xl=4 (cm2)练习2如图：在长方形ABCD中，点E是边DC的三等分点。已知三角形DQE的面积是1平方 厘米，求长方形ABCD的面积。三等分点DE:AB=1:3ABQ的面积为9cm2ADQ的面积为3cm2ABD的面积为9+3=12(cm

16、2)长方形ABCD的面积为12X 2=24 (cm2)金字塔模型如图：三角形ADE和三角形ABC组成金字塔模型。判定方法：大三角形内有一组平行线。z x AD AE DE AM(I )二-=AB- AL BC AN(其中和4N分别为两个三角形的高)(2)5-0械二。：8 =彳0：/*例题3如图：在三角形ABC中，DE、FG、BC互相平行，并且AD=DF=FB,求三角形ADE、 四边形DEGF和四边形FGCB之间的面积比。AD:AF:AB=1:2:3SAADE:SAAFG:SAABC=1:4:9假设ADE的面积为1份，那么AAFG的面积为4份，ABC的面积为9份四边形DEGF的面积为4-1=3

17、（份）四边形FGCB的面积为9-4=5 （份）SAADE:S 四边形 DEGF:S 四边形 FGCB=1:3:5练习3如图：在三角形ABC中，DE、FG、BC互相平行。已知AD=3厘米，DF=2厘米，FB=1 厘米，求三角形ADE、三角形AFG和三角形ABC之间的面积比。AD:AF:AB=3: (3+2) :(3+2+1) =3:5:6SAADE:SAAFG:SAABC=9:25:36例题4如图：四边形MBNF是一个边长为2厘米的正方形，将边BM延长1厘米至点A,将边BN 延长3厘米至点C,连接点A、C,割出如图所示的阴影部分，AC与MF、NF分别交于点 E、Qo求阴影部分的面积。ME:BC=

18、AM:AB=1: (1+2) =1:3ME 的长度：(2+3) -r3Xl=5/3 (cm)EF 的长度：2- 5/3= 1/3 (cm)QN:AB=NC:BC=3: (3+2) =3:5QN 的长度：(1+2)4-5X3=9/5 (cm)FQ 的长度：2- 9/5= 1/5 (cm)阴影部分的面积：1/3X1/54-2= 1/30 (cm2)练习4如图：正方形BDEF和直角三角形ABC重叠在一起，已知AF:FB=1:3, BD:DC = 3:4, AC 与EF、ED分别交于点G、Ho求三角形EGH与正方形BDEF的面积比。假设BF和BD的长度均为3,那么AF的长度为1, CD的长度为4FG:

19、BC=AF:AB=1: (1+3)=1:4FG 的长度：(3+4) 4-4X 1=7/4GE 的长度：3 - 7/4= 5/4HD:AB=DC:BC=4: (4+3) =4:7HD 的长度：(1+3) 4-7X4=16/7HE 的长度：3- 16/7= 5/7EGH 的面积：5/4X5/74-2=25/56正方形BDEF的面积为3X3=9AEGH与正方形BDEF的面积比为25/56:9=25:504例题5如图：在三角形ABC中，MN平行于BC。已知三角形MNP的面积是8平方厘米，三角形 BPC的面积是18平方厘米，并且AM的长是4厘米，求BM的长。SAMNP:SABPC=8:18=4:9MN:

20、BC=2:3AM:AB=2:3AB的长度：44-2X3=6 (厘米)BM的长度：6-4=2 (厘米)练习5AM=2厘米，BM=3厘米，三角形MNP的面如图：在三角形ABC中，MN平行于BC, 积是4平方厘米，求三角形BPC的面积。MN:BC=AM:AB=2:（2+3）=2:5SAMNP:SABPC=4:25BPC的面积：44-4X25=25 （平方厘米）例题6如图：一张铁皮形如锐角三角形ABC,边BC长120厘米，高AD长80厘米。现将这张铁 皮加工成一个正方形零件，使正方形的一边在边BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC 上，求这个正方形零件的边长。PN和AD的交点设为点O,设正方形边长为x

21、厘米,那么AO为（80-x）厘米。（80x） :80=x:12080x=9600120x200x=9600x=48正方形零件的边长为48厘米。练习6如图：在三角形ABC中，AM=2厘米，BM=4厘米，BC=9厘米，求正方形MNQP的面 枳。MN:BC=AM:AB=2:（2+4） =1:3MN的长度：94-3X1=3 （厘米）正方形MNQP的面积：3X3=9 （平方厘米）例题7如图：在长方形ABCD中，点F是AB边的中点，AD边的长是AE长的4倍。已知三角形 ADF的面枳是44平方厘米，求三角形DEG的面积。DE:AD=3:4SADHE:SAADF=9:16SADHE=4416X9= 99/4

22、（平方厘米）EH:AF=DE:AD=3:4EH:CD=3:8HG:DG=3:8SAEHG:SADEG=3:8DEG的面积：99/4+（3+8） X8=18 （平方厘米）课后作业1、如图：AB平行于CD,三角形AOB和三角形COD构成沙漏模型。己知AO:OD= 1:2, 那么同样比为1:2的线段还有哪几组？CD答案：2 组：BO:OCAB:CD2、如图：在正方形ABCD中，点E为边CD上的三等分点，AE与BD相交于点F,可知 三角形（）和三角形（）组成沙漏模型。AD答案：DEF ABF3、如图：在三角形ABC中，DE和BC平行，如果DE:BC = 2:3,那么ADE:Sz ABC =()：()o

23、4、如图：MN平行于BC, MP平行于AD, NQ平行于AD0已知图中所标示的线段长度, 那么 BM:AB= () : () , MN:BC=():()。5、如图：在三角形ABC中，MN平行于BC, BN, CM相交于点P,请写出图中的沙漏模 型和金字塔模型。答案：沙漏模型：三角形MNP和三角形BPC 金字塔模型：三角形AMN和三角形ABC6、如图：在长方形ABCD中，点E为AD边上的四等分点，点F为AB边的中点，图中 （）（填“有”或“没有”）沙漏模型。若利用三角形CDG来构造沙漏模型,请画出辅助线。答案：没有。7、如图：在长方形中，甲、乙两个小三角形的面积分别是8平方厘米和13平方厘米。不

24、 规则四边形丙的面积是多少平方厘米？AB=CD=20-6=14 (厘米)DF:FB=DE:AB=20:14=10:7BF 的长:10+ (10+7)X7= 70/17 (厘米)8、如图：在正方形ABCD中，点E是CD边的中点，对角线BD与AE相交于点F。已知 三角形DEF的面枳是1平方厘米，求阴影部分的面积。DE:AB=1:2EF:AF=1:2ABF的面积为4cm2ADF的面积为2cm2ABD 的面积为 4+2=6 (cm2)正方形ABCD的面积为6X2=12 (cm2)阴影部分面积为12421=5 (cm2)9、如图：在三角形ABC中，DE, FG, BC互相平行，并且AD=4厘米，DF=3

25、厘米，BF =1厘米，求三角形ADE、四边形DEGF和四边形FGCB之间的面积比。AD:AF:AB=4:（4+3）:（4+3+1） =4:7:8SAADE:SAAFG:SAABC=16:49:64假设4ADE的面积为16份，那么4AFG的面积为49份，ABC的面积为64份四边形DEGF的面积为49-16=33 （份）四边形FGCB的面积为64-49=15 （份）SAADE:S 四边形 DEGF:S 四边形 FGCB=16:33:1510、如图：长方形BDEF和直角三角形ABC重叠在一起。已知AF=1厘米，FB = 3厘米, BD=4厘米，CD = 3厘米，求三角形EGH的面积。FG:BC=AF:AB=1: (1+3)=1:4FG 的长度：(4+3) +4X 1= 7/4 (cm)GE 的长度：4- 7/4 = 9/4 (cm)HD:AB=CD:BC=3: (3+4) =3:7HD 的长度：(1+3) 4-7X3= 12/7 (cm)HE 的长度：3 12/7 = 9/7 (cm)EGH 的面积：9/4X 12/74-2=27/14 (cm2) 11、如图：在三角形ABC中，已知MP, AD, NQ互相平行，点M为边AB上靠近点A的 三等分点，AN=2厘米