椭圆的简单几何性质典型例题

1、椭圆的简单几何性质典型例题典型例题一例 1 椭圆的一个顶点为，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置解：（1 ）当为长轴端点时，椭圆的标准方程为：；（ 2）当为短轴端点时，椭圆的标准方程为：；说明： 椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况典型例题二例 2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率解：说明： 求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求， 求，再求比二是列含和的齐次方程，再化含的方程，xx 即可典型例题三例 3 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点，

2、为中点，的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程解：由题意，设椭圆方程为，由，得，二，.为所求.说明： （ 1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题典型例题四例 4 椭圆上不同三点，与焦点的距离成等差数列椭圆的简单几何性质典型例题(1)求证；(2)若线段的垂直平分线与轴的交点为，求直线的斜率.证明：(1)由椭圆方程知，.由圆锥曲线的统一定义知：，同理,且，二，即 .(2)因为线段的中点为，所以它的垂直平分线方程为又点在轴上，设其坐标为，代入上式，得22X _4. yi _y2X02 Xi - X2又都在椭

3、圆上，y22 = - 25 x x225将此式代入，并利用的结论得xo-4-3625典型例题五例5已知椭圆，、为两焦点，问能否在椭圆上找一点，使到左准 线的距离是与的等比中项？若存在，则求出点的坐标；若不存在，请 说明理由.解：假设存在，设，由已知条件得二.左准线的方程是,又由焦半径公式知:椭圆的简单几何性质典型例题整理得解之得或.另一方面.则与矛盾，所以满足条件的点不存在.说明：（ 1）利用焦半径公式xx 可简化解题过程（ 2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算进而根据推理得到的结果，再作判断（ 3）本例也可设存在，推出矛盾结论（读者自己完

4、成）典型例题六例 6 已知椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线方程分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为，利用条 件求.解法一：设所求直线的斜率为，则直线方程为.代入椭圆方程， 并整理得由xx定理得.是弦中点，.故得.所以所求直线方程为.分析二：设弦两端坐标为、，列关于、的方程组，从而求斜 *解法二：设过的直线与椭圆交于、，则由题意得,2旦72=1,221至+ y2=1,2x1 +x2 =1,j1 +y2 =1.得.将、代入得，即直线的斜率为.所求直线方程为.说明：（ 1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹（2）解法二是“点差

5、法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率3 3） 有关弦及弦中点问题常用的方法是：“ xx 定理应用”及“点差法”有关二次曲线问题也适用典型例题七例 7 求适合条件的椭圆的标准方程（1）长轴长是短轴长的2 倍，且过点；（2）在轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为 6分析： 当方程有两种形式时，应分别求解，如 （ 1） 题中由求出，在得方程后，不能依此写出另一方程解：（1 ）设椭圆的标准方程为或由已知.椭圆的简单几何性质典型例题又过点，因此有或.由、，得，或，.故所求的方程为或（ 2）设方程为由已知，所以故所求方程为说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”

6、关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程或典型例题八例 8 椭圆的右焦点为，过点，点在椭圆上，当为最小值时，求点的坐标分析：本题的关键是求出离心率，把转化为到右准线的距离，从而得最小值一般地，求均可用此法解：由已知：，所以，右准线过作，垂足为，交椭圆于，故显然的最小值为，即为所求点， 因此，且在椭圆上.故.所以.说明：本题关键在于未知式中的“2”的处理事实上，如图，即是到右准线的距离的一半，即图中的，问题转化为求椭圆上一点，使到的距离与到右准线距离之和取最小值典型例题九例 9 求椭圆上的点到直线的距离的最小值分析： 先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最

7、小值解：椭圆的参数方程为设椭圆上的点的坐标为，则点到直线的距离为当时，说明： 当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程典型例题十椭圆的简单几何性质典型例题例10设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的点的最远距离是， 求这个椭圆的方程，并求椭圆上的 点的距离等于的点的坐标.分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的 能力，在求的最大值时，要注意讨论的取值范围.此题可以用椭圆的 标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、 三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思 想，提高逻辑推理能力.解法一：设所求椭圆的直角

8、坐标方程是，其中待定.由可得设椭圆上的点到点的距离是，则22d2 * * =x2g'2_ 2(_ yJ -a Jb229y 3y - 4因此必有成立，于是当时，（从而）有最大值.由题设得，可得，.所求椭圆方程是.由及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点，点到点的距离是.解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是，其中，待定， 为参数.由可得,即.设椭圆上的点到点的距离为，则22d2=x2+'y-g I =a2 cos2 日 + ' b sin 日-3iC 2J<2；= 4b2 -3b2 s i n 日-3bs i n +942r q i、22=3b2 sinl +4b2

9、+3<2b J如果，即，则当时，（从而）有最大值.由题设得，由此得，与矛盾，因此必有成立.于是当时（从而）有最大值.所求椭圆的参数方程是.由，可得椭圆上的是，.典型例题旺例11设，求的最大值和最小值.分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程与椭圆方程的结构致.设，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的 位置关系求得最值.解：由，得3 f x 294 J可见它表示一个椭圆，其中心在点，焦点在轴上，且过（0, 0）点和（3, 0）点.设，贝U（x +1 2 + y2 = m +1它表示一个圆，其圆心为（一1,0）半径为.在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示.观察图形可知，当圆过（

10、0, 0）点时，半径最小，即，此时；当圆过（3, 0）点时，半径 最大,即，的最小值为0,最大值为15.典型例题十二例12已知椭圆，、是其长轴的两个端点.（1）过一个焦点作垂直于长轴的弦，求证：不论、如何变化，.（2）如果椭圆上存在一个点，使，求的离心率的取值范围.分析：本题从已知条件出发，两问都应从和的正切值出发做出估 计，因此要从点的坐标、斜率入手.本题的第（2）问中，其关键是 根据什么去列出离心率满足的不等式，只能是椭圆的固有性质：， 根据得到，将代入，消去，用、表示，以便利用列出不等式.这里 要求思路清楚，计算准确，一气呵成.解：(1)设，x = c.2 22 22. 2b x ay

11、= a b于是，.是到的角.故.(2)设，则，.由于对称性，不妨设，于是是到的角., 二整理得椭圆的简单几何性质典型例题，二，.或（舍），.典型例题十三例 13 已知椭圆的离心率，求的值分析：分两种情况进行讨论解：当椭圆的焦点在轴上时，得由，得当椭圆的焦点在轴上时，得由，得，即.满足条件的或.说明：本题易出现漏解排除错误的办法是：因为与9 的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在轴上，也可能在轴上故必须进行讨论典型例题十四例 14 已知椭圆上一点到右焦点的距离为，求到左准线的距离分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解解法一：由，得，由椭圆定义，得由椭圆第二定义，为到左准线的

12、距离，二，即到左准线的距离为解法二：:，为到右准线的距离，又椭圆两准线的距离为到左准线的距离为.说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性否则就会产生误解椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义典型例题十五例 15 设椭圆 （ 为参数 ） 上一点与轴正向所成角，求点坐标分析：利用参数与之间的关系求解解：设，由与轴正向所成角为，即.而，由此得到，点坐标为.典型例题十六例 16 设是离心率为的椭圆上的一点，到左焦点和右焦点的距离分别为和，求证：，分析：本题

13、考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离椭圆的简单几何性质典型例题解：点到椭圆的左准线的距离，由椭圆第二定义，由椭圆第一定义，.说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径 (或焦点弦)的有关问题时，有着广泛的应用.请写出椭圆焦点在轴 上的焦半径公式.典型例题十七例17已知椭圆内有一点，、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭 圆上一点.(1) 求的最大值、最小值及对应的点坐标；(2) 求的最小值及对应的点的坐标.分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种 方法：一是目标函数当，即代数方法.二是数形结合，即几何方法.本 题若按先建立

14、目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义, 转化目标，运用数形结合，就能简捷求解.解：(1)如上图，设是椭圆上任一点，由，.，等号仅当时成立，此时、共线.由，等号仅当时成立，此时、共线.建立、的直线方程，解方程组得两交点、 .综上所述，点与重合时，取最小值，点与重合时，取最大值.(2)如下图，设是椭圆上任一点，作垂直椭圆右准线，为垂足，由， 由椭圆第二定义知，要使其和最小需有、共线，即求到右准线距离.右准线方程为.到右准线距离为.此时点纵坐标与点纵坐标相同为1,代入椭圆得满足条件的点坐标.说明：求的最小值，就是用第二定义转化后，过向相应准线作垂 线段.巧用焦点半径与点准距互化是解决有关

15、问题的重要手段.典型例题十八例18 (1)写出椭圆的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积.分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用.为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题.解：(1).(2)设椭圆内接矩形面积为，由对称性知，矩形的邻边分别平 行于轴和轴，设为矩形在第一象限的顶点，椭圆的简单几何性质典型例题则故椭圆内接矩形的最大面积为12说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便典型例题十九例 19 已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且(1) 求椭圆离心率的取值范围；(2) 求

16、证的面积与椭圆短轴长有关分析：不失一般性，可以设椭圆方程为()，()思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即，设，化简可得又， 两方程联立消去得，由， 可以确定离心率的取值范围；解出可以求出的面积，但这一过程很繁思路二：利用焦半径公式，在xx 运用余弦定理，求，再利用，可以确定离心率的取值范围，将代入椭圆方程xx 求，便可求出的面 积思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合求解解： (xx1) 设椭圆方程为()，则，在xx,由余弦定理得，解得(1)即.故椭圆离心率的取范围是(2) 将代入得，即即的面积只与椭圆的短轴长有关(xx2) 设，则(1)在xx,由正弦定理得椭圆的简单几何性质典型例题当且仅当时等号成立.故椭圆离心率的取值范围是.在xx,由余弦定理得：(2c)2 = m2 n2-2mncos6022=m n -mn2二(m n) -3mn即.即的面积与椭圆短轴长有关.说明：椭圆上的一点与两个焦点，构成的三角形为椭圆的焦点三角形， 涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理解题中通过变形，使之出现的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关，的关系式，使问题找到解决思路典型例题二