解析几何常用知识点总结

1、“解析几何” 一网打尽（一）直线1. /直线的倾斜角a e O,乃） k = tan。=>a丰土,占H x J-v2 - x 2）2.直线的方程（1）点斜式y-y="（xM）（直线/过点（和凹），且斜率为&）.（2）斜截式,' = 五 + "（b为直线/在y轴上的截距）.（3） 一般式Ax + 8.v + C = °（其中A、B不同时为0）.特别的：（1）已知直线纵截距”，常设其方程为）'=依一"或不=°：已知直线横截距升,常设其方程为 "=my + % （直线斜率k存在时，巾为k的倒数）或）'=

2、°.知直线过点J。，%）,常设其方程为¥ = "（X一/）+为 或x =玉）（2）直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等0直线的斜率为-1或直线过原点：直线两截距互为相反数0直线的斜率为1或直线过原点：直线两截距绝对值相等 0直线的斜率为±1或直线过原点.（3）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中一般提到的两条 直线可以理解为它们不重合.3、几个距离公式（1）两点间距离公式：，融（再,y ）点8（勺,%）|看尸+ （V - 小尸P（x0,右）到直线Av + By + C = 0的距离为4 =:&#

3、39;"Cl4屋十斤特别地，当直线L:1二不时，点PG%,）%）到L的距居d =卜一/卜当直线L:），= %时，点P（Xo，%）到L的距离3 3）.两平行线间的距离公式：设乙：Ax + 8.v + G =0/ ： Ar + By + C, =0,贝华三皇Ja +b24 .两直线的位置关系：/1_1/2。"2=一1（勺、“2都存在时）=442+4层=0：W&O孵加22都存在时）0健；麴;重合5 ,三角形的重心坐标公式：ZXABC三个顶点的坐标分别为A （%,%）、B（x2,y2）, C&3, 丫3）,则AABC的重心的坐标是(二)圆1 .圆的三种方程(1)圆的

4、标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2.(2)圆的一般方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 (D2 + E2 -4F >0).（3）圆的直径式方程（工一凡）（工一工2）+ （、-）；）（丁一月）= 0（圆的直径的端点是4内,凹）、B（x2,y2）注意：（1） .圆心必在弦的中垂线上；两圆相切，两圆心连线必过切点：辅助线一般连圆心与切点或者连圆心与弦中 点O（2） .处理直线与圆的位置关系有两种方法：（1）求圆心到直线的距离与圆的半径比较：（2）直线方程与圆的 方程联立，看判别式。2 .点P（x°, %）和圆（x-ay+ （y_b）2 =产的位置关系：（1）

5、当（与一。）2+（丁0-。）2>/时，点在圆外；当（与-。尸+厂厅=/时，点p在圆上;当（与一。产+ （ N。一份2 < /时，点P在圆内.3.直线和圆的位置关系：直线与圆相交OA>0 直线与圆相切OAR 直线与圆相离U>zX<0<=>d<r(d为圆心到直线的距离)<=> d=r<=> d>r.4,圆与圆的位置关系：设圆q的半径为弓，圆。2的半径为，两圆的圆心距为d.当时，两圆相离：当4 = 4+与时，两圆外切：当卜一百<4+“时，两圆相交；当作一石向时，两圆内切；当4+Gd时，两圆外离;当心一T>d时，

6、两圆内含。注意：（1）若两圆相交时，把两圆的方程作差消去一和）,2就得到两圆的公共弦所在直线的方程。（2）圆的弦长公式/ = J/一人 «为圆心到直线的距离，I为圆的半径）（3）求圆外一点P到圆0上任一点距离的最小值为|PO|-r,最大值为|PO| + r （其中r为圆的半径）（三）圆锥曲线1、椭圆：（1）定义：平而内与两个定点不，尸2的距离之和等于常数（大于耳El）的点的轨迹称为椭圆.这两个定 点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距.（2）椭圆的标准方程和几何性质标准方程72al + h2图形性质范围一“WxW。-bWyWb-bWxWb一对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶

7、点Al( -4, 0),42(“，0)31(0, -b)9 &(0, b)Ai(0» a), A2(0, ci)0), &(，0)轴长轴A1A2的长为2”：短轴8由2的长为2b焦距IFiF2I=2c离心率e='(0, 1)a, bf C的关系c2=a2b2注意：（1）椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大值和最小值，且最大距离为G + C,最小距离为（2）过焦点弦的所有弦长中，垂直于长轴的弦是最短的弦，而且它的长为义二.把这个弦叫椭圆的通经.a（3）求椭圆离心率e时，只要求出a.b,c的一个齐次方程，在结合 2=1/就可求出e.2

8、、双曲线（1） .双曲线的定义：平面内与两个定点尸I,22的距离之差的绝对值等于常数（小于I5El）的点的轨迹称为双曲线.这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距.注：实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线.（2） .双曲线的标准方程和几何性质：标准方程(a>0, b>0)J J “2 b(">0, b>0)图形、 yy<范围x2或xW”，yERxWR,)忘一a 或 y2a对称性对称轴：坐标轴：对称中心：原点顶点4(-4, 0),八2(4，0)Ai(0» a), A2(0，“)渐近线,h产土孑y=±bx离心率ce=7 e

9、£(l, +0°)实虚轴线段4A2叫做双曲线的实轴，它的长小421 =方：线段当历叫做双曲线 的虚轴，它的长1811=2回a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的 半虚轴长4, ，C的关系c2=a2-b2(c>a>0. c>h>0)注意：(1)直线和双曲线交于一点时，不一定相切，例如，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交 于一点，但不是相切：反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.(2)已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中的”广为"0”就得到两渐近线2222方程，即二-二=0就是双曲线土

10、-二=1的两条渐近线方程. a- b-a b-(3)若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不纯在的情况.3、抛物线(1)抛物线的定义：平面内与一个定点厂和一条定直线/的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点厂称为抛物线的焦点，定直线/称为抛物线的准线.(2)抛物线的标准方程和几何性质：图形-卜:r标准方程y2=2px(p>0),2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py0»0)的几何意义：焦点尸到准线，的距离性质顶点0(0, 0)对称轴>=0A=0焦点够°)(4 o)2*T)离心率e= 1准线方程x=；-2x=p x 2Ty-i

11、范惘GO, yGRJxWO, y£Ry2O, xGRyWO, xGR开口方向向右向左向上向下注意：（1）过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A、B两点的线段AB,称为抛物线的“通径”，即|AB| = 2p （2）焦半径公式：若点PL在抛物线J=2px（p>0）上，焦点为F,则"卜"° 十 ：若点P（R，%）在抛物线丁=-2/"（>°）上，焦点为尸，贝产1 % + ：若点Pl，%）在抛物线*=2py（p>0）上，焦点为尸，则环1）° + 5：若点p（%，%）在抛物线W=-2*（P>O）上，焦点为F ,则即一一九十 .（3）焦点弦问题：设AB是过抛物线）12 = 2Px焦点的弦.A（X1