第十一章11.111.1.6第二课时台体与球的体积2019(秋)数学必修第四册人教B版(新教材)改题型

1、第二课时台体与球的体积课标要求素养要求1.掌握台体和球的体积公式.运用台体、球的体积公式进行计算，培2.会计算台体、球的体积，利用体积公养学生的直观想象素养和逻辑推理素式解决肩关组合体问题.养，提升学生的数学运算素养.课前预习知识探究教材知识探究，情境引入街道旁，随时能见到用大理石磨成的光滑的大球问题球的体积如何计算？一4 Q提小 V球=1五.上新知梳理1.台体的体积若圆台的上、下底面半径分别为r, R,高为h,则V圆台=3点(R2+Rr+r2).3棱台与圆台统称为台体.台体的体积的计算公式是 V讨三3h(S+Vss+ Sz,)其中，S, S分别是台体上、下底面的面积，h为台体的高.2 .球的

2、体积球的半径为R,则V球=4/R3.33.组合体由几个柱、锥、台、球等组合而成的几何体称为组合体.求组合体的体积(表面积)时，只需要算出其中每个几何体的体积(表面积)，然后再处理即可 教材拓展补遗微判断1 .台体的体积公式中令 S= S',则得到柱体的体积公式 V=S h.(，)2 .球的体积与球的半径成正比，球的体积越大，半径越大.(X )提示 球的体积与球的半径的立方成正比，半径越大，体积越大.13 .在台体的体积公式中令S = 0,即可得锥体的体积公式 V=/S h.(V) 3微训练1.若棱台的上、下底面面积分别为 4, 16,高为3,则该棱台的体积为 .11解析 丫台=(S+

3、VSS+ S'3(4+aJ4X 16 + 16) = 28.33答案 282.一个球的表面积是16乃则它的体积是 .解析 设球的半径为R,则由题意可知4商=16彳故R=2.所以球白体积V=4TR3 332=w九. 332答案32冗微思考1 .组合体的体积，就是各个几何体的体积之和吗？提示不一定.要看这几个几何体如何组合，也可能为体积的差.2 .柱体、锥体、台体的体积之间有何联系？提示 V= ShV= 3(S'+ VSS + S)h= V= ；Sh柱体台体锥体所以柱体、锥体的体积公式是台体的体积公式的特例.课堂互动II叶I I；!建型剖析即题型一台体的体积【例 1】 已知圆台的高

4、为3，在轴截面中，母线AA1 与底面圆直径AB 的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积.又. /AiAB = 60°, mAiD. AD=tan 60 .口口3即 R-3, .Rr= ：3.解 如图所示，作轴截面AiABBi,设圆台的上、下底面半径和母线长分别为 r, R, 1,高为h.作AiDLAB于点D, 贝U AiD = 3.又. /BAiA=90°, .BAiD = 60°. BD = AiD tan 60;即 R+r=3X%/3,. R+r = 3>/3, - R= 2>/3, r = J3,而 h = 3,12

5、2、 V 圆台=3 力（R + Rr+ r ）1=a $ 3 x （273）2+2V3 x V3+（V3）2 3所以圆台白体积为21冗.规律方法 求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高.要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系.【训练11 已知正四棱台两底面边长分别为 20 cm和10 cm,侧面积是780 cm2. 求正四棱台的体积.解 如图所示，正四棱台ABCD A1B1C1D1中，A1B1= 10 cm,AB = 20 cm.取A1B1的中点 日,AB的中点E,连接EE,则E1E是侧面ABB1A1的高.设O1,。分别是上、下底面的中心，连接 O1E1,

6、O1O, OE,则四边形EOOiEi是直角梯形. 1由 S侧= 4X2(10+20) EiE=780,得 EEi = 13.1 一 _ 一在直角梯形 EOO1E1 中，O1E1 =A1B1 = 5,-1oe=2Ab= 10,. O1O = #E1E2- (OE-O1E1) 2: 12, 1V正四棱台=aX 12X (102 + 202+10X 20)= 2 800(cm3). 3故正四棱台的体积为2 800 cm3.题型二球的体积【例2】 过球面上三点A, B, C的截面到球心。的距离等于球的半径的一半, 且AB=BC=CA= 3 cm,求球的体积和表面积.解 如图，设过A, B, C三点的截

7、面为圆O',连接OO', AO, AO'. AB=BC = CA=3 cm,.O'为正三角形ABC的中心,一_ , 31 AO =23-AB=V3(cm).、r -i 一， 1设 OA= R,则 OO = 2R. OO截面 ABC, -.OO IAO', 一，3 AO = R=V3(cm),木=2 cm, V球=3=W4cm3), S球=4 R2= 16 几(cm， 33即球的体积为32冗cm,表面积为16冗cm 3规律方法 球的基本性质是解决与球有关的问题的依据，球半径、截面圆半径和球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方

8、法.【训练2】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为 .解析 设正方体棱长为a,则6a2=18, ；a2=3, a=血.外接球直径为2R=，3a3. 4 3 4、，27 9=3, . R= 2, . V3 R =3 -8=5几.f加 9九答案万 题型三组合体体积（表面积）【例3】 如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径 AB所在直 线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的体积.（其中/ BAC=30°）解如图所示,过 C 作 COiAB 于 Oi.在半圆中可得 /BCA=90； /BAC = 30； AB = 2R,.AC = V3r

9、, BC=R, COi = R,故旋转所得几何体的体积为V几何体=V球一V圆锥AO1 V圆锥BO1=g tR3 冗 2RAOi ,27X ttX (R BOi 324 成3 1x-3 -3X 任2R= 6 tR3 ,一一 ，53即体积为63.规律方法 先判断由哪些几何体组合得到的组合体， 分别求出各几何体的体积（表 面积），再结合图形进行计算【训练3】 如图所示，一个正方体的棱长为2,以相对两个面的 中心连线为轴，钻一个直径为1的圆柱形孔，所得几何体的表面 积、体积分别为多少？解几何体的表面积为S= 6X22 ttX 0.52X2+2$ 0.5X 2 = 24 0.5 计 2兀=24+ 1.5

10、 兀.V=V 正方体一V 圆柱=23 TtX0.52X2=8 0.5 兀.核心素养 I全回提升：；| |一、素养落地1 .通过台体、球及有关组合体的体积的计算，培养直观想象素养和逻辑推理素养, 提升数学运算素养.2 .台体棱台一 一 11.V= oh(S+ VsS+ s )3圆台1V=a Th(r2+rR + R2) 3球V#其中S', S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r和R分别表示上、下底面圆 的半径，R表示球的半径.二、素养训练1 .若将气球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积增大到原来的（）A.2倍B.4倍C.8 倍D.16 倍解析 设气球原来的半径为r,体积为V,则V=47

11、r3,当气球的半径扩大到原来 3的2倍后，其体积变为原来的23 = 8倍.答案 C2 .设长方体的长、宽、高分别为2a, a, a,其顶点都在一个球面上，则该球的体积为()人.2必3B#君C.6，6g3D.18 ：6 必3解析 由于长方体的长、宽、高分别为 2a, a, a,则长方体的体对角线长为 7 (2a) 2+a2 + a2 = 46a,又长方体的外接球的直径2R等于长方体的体对角线长，所以2R=乖a,4- 34- 3几乎a =/6 703.答案 B3 .如图所示，圆台的上、下底半径和高的比为1 ： 4 ： 4,母线长为10,则圆台白体积为.解析 设圆台的上底半径为r,则下底半径为4r,

12、高为4r.由母线 长为10可知10=4 (3r) 2+ (4r) 2 =5r,，r = 2.故圆台的上、下底半径和高分别为 2, 8, 8. V=1X8 (4七64兀+ 16兀*2247t. 3答案 224几4 .圆台的高是4,母线长是5,侧面积是45乃则它的体积是.解析作圆台的轴截面.K rb设上底面半径为r,则下底面半径为r+3,7' 则侧面积45后冗叶r+3)X5,c 一1一 r = 3, - V 圆台=a X 4(9 在 36 兀+ 18 7t * 84 兀.答案 84冗课后作业巩宦提高基础达标一、选择题1.正方体的表面积为24,那么其外接球的体积是（）48A. itBy 兀C

13、.413 7tD.32j 3 it33解析 设正方体的棱长为a,则6a2=24, ；a = 2,其外接球的直径为273,半径4为也，.,.其体积为3冗/3）=4，37t.答案 C2 .已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为：则正方体的棱长为A.-623B.yC. 3D.1解析 设正方体棱长为a,球半径为R,则§底3 = 9% ,.R='3，3a = 3,.a 322=.3.答案 C3 .若一个球的直径为d,体积为V球，一个正方体的棱长为a,体积为V正，且它们的表面积相同，则有（）A.d>a, V球>丫正B.d>a, V球<V 正C.d<

14、;a, V球>丫正D.d<a, V球<V正解析 球直径为d,则表面积S= M2正方体棱长为a,则表面积为6a2由M2=6a2, d2>a2,即 d>a,又 V 球=3兀 & = $ = a2 d, VF=a3,V 球>丫正.答案 A4 .如图所示，在上、下底面对应边的比为 1 ： 2的三棱台中，过上 底面的边AiBi作平行于棱AB的平面AiBiEF,这个平面分三棱台成两部分的体积之比为（）A.1 ： 2B.2：3C.3 ： 4D.4：5解析 设棱台上底面面积为S,由上、下底面边的比为1 ： 2,可知下底面面积为4s设棱台的高为h,则V台= ；h（S+

15、 /S4S + 4S） = 7sh；棱柱AiBiCi FEC的体如上一,V柱Sh 3积为 V 柱=S h, -=7= 4.3答案 C5 .球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台的侧面积之比为 3： 4, 则球的体积与圆台的体积之比为（）A.6 ： 13B.5 ： 14C.3 ： 4D.7 ： 15解析 如图所示，作圆台的轴截面等腰梯形 ABCD,球的大圆。内切于梯形ABCD.设球的半径为R,圆台的上、下底面半径分别为 门，2,由平面几何知识知，圆台的高为2R,母线长为门+2./AOB=90°, OE，AB（E 为切点）, R/ 2 .2、 &九（1+门2+2） 2

16、R = OE2=AE BE=r1 由已知S球：S圆台侧=4 tR2 :冗1 +2）2= 3 ： 4,二V球：V圆台二.（门 +2）2 = ,2.2R22R26(门+ r2)2门r2 16R2_ r213答案 A二、填空题6.将一钢球放入底面半径为3 cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高4 cm,则钢球的 半径是 cm.4 。解析 设球的半径为r,则冗x 32X4 = -tt3,可得r=3(cm).3答案 37.圆台上、下底面面积分别为& 4冗，侧面积为6冗，则这个圆台的体积是 . 解析 设圆台的上、下底半径分别为r, R,母线长为l,高为h,则兀，由=4 怎. . r = 1, R= 2.

17、tt (#2) l= 6 兀，. . l = 2. h = «2- (R-r) 2 = 722- (2-1) 2=y3,V 台=1 Tth(r2+ r R+ R2) 3= 1TtX V3X(1+2 + 22)=7pTt . 33答案1九 38 .正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5 ： 2 ： 8,体积为14 cm3,则棱台的高度为 cm.解析 由题意设正四棱台的斜高与上、下底面边长分别为5x, 2x, 8x,则高h =7 (5x) 2- (4x-x) 2 = 4x.由棱台的体积公式，得 1 4x (4x2+ 16x2 + 64x2)=14,一 1 一解得 x=2，故 h = 2(

18、cm).答案 2三、解答题9 .正四棱台的上、下两底的底面边长分别为 2 cm和4 cm,侧棱长为2 cm,求该棱台的体积.解 如图，正四棱台ABCD AiBiCiDi中，Oi,。分别为上、1下底面的中心，上、下底面边长分别为 2 cm和4 cm,伊A则 OiBi = /2cm, OB = 2>/2 cm.过点Bi作BiMLOB于点M,那么BiM为正四棱台的高.在 RtzXBMBi 中，BBi = 2 cm, MB = (2吸一V2) = V2(cm),根据勾股定理得 MBi=/BB2 MB2=yj22-(弧 2 =向cm).S上= 22= 4(cm2), S下=42= i6(cm2),

19、i V正四棱台=§x aJ2x (4+/4X16 +i6)=(x V2X28 = 5;8V2(cm3). 33i0.如图所示，几何体上半部分是母线长为 5,底面半径为3的圆锥， 下半部分是下底面圆半径为 2,母线长为2的圆台，计算该几何体的 表面积和体积.解 该几何体是一个组合体，上半部分为圆锥，底面半径为r = 3,母线长为1 = 5,可以求出高为 巾=45232=4.下半部分是圆台，上底面半径为r = 3,下底面半径为r'=2,母线长为l'= 2,可以求出高为卜2 =寸22i2=V3.圆锥侧面积为Si =泪=15为圆台的侧面积为S2=冗什r'l壮10乃圆台

20、的下底面面积为S下底=tit'2=4 %所以该几何体的表面积为 S= Si + S2+ S下底=i5计i0计4/29冗.12周锥的体积为Vi< hi = 12 tt,3圆台的体积为 V2=gTh2(r2+rr'+r 2) = 193但冗,所以该几何体的体积为 V= Vi + V2= 12冗+e小冗.3能力提升11 .如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这 时圆柱、圆锥、球的体积之比为.1c 2 o 4 o斛析 设球的半径为R,则V柱=tR 2R= 2 tR , V锥=鼻五2 2R=7 tR , V球=4卡，333故 V柱：V锥:V球=2 R3

21、 : ITR3 : §病3 = 3 ： 1 ： 2. 33答案 3： 1 ： 212 .如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子（杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚 忽略不计），使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料?解设圆锥形杯子的高为h cm,要使冰淇淋融化后不会溢出杯子, 则必须V圆锥V半球,1X/ 4 31、/ 4 K / /3而 V半球=3X371r =-x-X4 ,2 32 3、，1 1 2, 工，2、，V 圆锥=&Sh=QTir2h=QX42xh,333,、一一 、- 7to14 7to -一一依题忘：42Xh>-X X43,h>8,32 3即当圆锥形杯子杯口直径为8 cm,高大于或等于8 cm时，冰淇淋融化后不会溢 出杯子.又因为S圆锥侧=出=<yh2+r2,当圆锥高取最小值8时，S圆锥侧最小， 所以高为8 cm时，制造的杯子最省材料.创新猜想13 .（多空题）正三棱锥的高为1,底面边长为2V6,内有一个球与它的四个面都相 切，则内切球的表面积为 ,