抽象函数问题分类解析

1、抽象函数问题分类解析我们将没有明确给出解析式的函数称为抽象函数.近年来抽象函数问题频频出现于各类 考试题中，由于这类问题抽象性强，灵活性大，多数同学感到困惑，求解无从下手.本文试 图通过实例作分类解析，供学习参考.一、求定义域这类问题只要紧紧抓住：将函数/g(x)中的g(x)看作一个整体，相当于/(X)中的X 这一特性，问题就会迎刃而解.例1函数)，=/(用的定义域为(-O0, 1,则函数y = /log2，-2)的定义域是*分析：因为log?，2)相当于/(X)中的x,所以Iog2(x22)K1,解得 或一2«x<-V2 .例2已知/(X)的定义域为(0, 1),则y = /

2、(x + ) + /(x -a)(l4l<L)的定义域是20<x + a < 1-a <x < -a分析：因为X + 及X 。均相当于/(X)中的X,所以=、Q<x-a<1 a<x<+a(1)当一!<“<()时，则 xe(4, 1 + 4)2(2)当时，则-a)2二、判断奇偶性根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求/(幻与/(-x)的关系.例3已知/(x)的定义域为R,且对任意实数x, y满足/(肛) = /(x) + /(y),求证: /(%)是偶函数.分析：在/(寸)=/(幻 + /。，)中，令x =)，= l,得f(1)*

3、(1)+/(l) = f(1) = 0令x =)，= -1,得/(1) = /(-1) + /(-I) n/(-I) = 0于是于(r) = /(-l= f(-l) + "x) = /(x),故是偶函数.例4若函数y = /(x)(/(x)w0)与y = /(X)的图象关于原点对称，求证：函数 y = /(x)是偶函数.证明：设y = /(x)图象上任意一点为P(玉)，凡)，= /(幻与y = -f(x)的图象关于原点对称，尸30,九)关于原点的对称点(/，凡)在y = /'(X)的图象上，一儿=f(xo)、：，%=/(一/)，又>0 = fM，/(%) = /(X。)

4、，即对于函数定义域上的任意X都有/(x) = /(x),所以y = /(x)是偶函数.三、判断单调性根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解.例5如果奇函数/(x)在区间3, 7上是增函数且有最小值为5,那么/a)在区间-7, 3上是A.增函数且最小值为-5B.增函数且最大值为一5C.减函数且最小值为5D.减函数且最大值为一5分析：画出满足题意的示意图1,易知选B.例6已知偶函数/(X)在(0, +s)上是减函数，问/*)在(s, 0)上是增函数还是 减函数，并证明你的结论.分析：如图2所示，易知/'(X)在(-s, 0)上是增函数，证明如下：任取

5、X <x2 V 0 = -X > -x2 > 0因为在(0, +s)上是减函数，所以/(玉)</(公).又f(x)是偶函数,所以/(再)=/(再)，/(-x2 ) = /(%,),从而“内)/(占)，故/(幻在(-8, 0)上是增函数.图2四、探求周期性这类问题较抽象，一般解法是仔细分析题设条件，通过类似，联想出函数原型，通过对 函数原型的分析或赋值迭代，获得问题的解.例7设函数/(x)的定义域为R,且对任意的x, y有+ y) + f(x-y) = 2/(x)- /(y),并存在正实数 c,使/'(£)=。.试问f(x)是否 2为周期函数？若是，求出

6、它的一个周期：若不是，请说明理由.分析：仔细观察分析条件，联想三角公式，就会发现：y = cosx满足题设条件，且cos- = 0 ,猜测/(X)是以2c为周期的周期函数. 2/(x + |) + | + /(x + |)-| = 2f(x + |)/(j) = 0：.f(x + c) = -f(x)/(x + 2c) = -/(x + c) = f(x)故/(x)是周期函数，2c是它的一个周期.五、求函数值紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函 数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解.例8已知/(幻的定义域为R+ ,且f(x + y) = f(x) +

7、/()，)对一切正实数x, y都成 立，若/(8) = 4,则/(2)=.分析：在条件/(x+ y) = /(x)+ /(，)中，令x = y = 4,得/(8) = /(4) + /(4) = 2/(4) = 4, /./(4) = 2又令x=), = 2,得/(4) = /(2) + /(2) = 2,./(2) = 1例9已知/(x)是定义在R上的函数，且满足：f(x + 2)l-f(x)=l+f(x), /(1)=1997,求/(2001)的值.分析：紧扣已知条件，并多次使用，发现是周期函数，显然/(x)Wl,于是/(x + 2) = l1ZW, x + 4)J +)二”二，1-fM1

8、一/a + 2) 1 l + /(x) f(x)i-fM所以/(x + 8) = -7r二 /(x + 4)故/(x)是以8为周期的周期函数，从而/(2001) = 7(8x250+1) = /(1)= 1997六、比较函数值大小利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调 性使问题获解.例10已知函数/(X)是定义域为R的偶函数，x<0时，/(X)是增函数，若项<0, x2>0,且LvJvLql,则/(一再)，/(一)的大小关系是.分析：/X <0,看 >0且IxJvLql，/.Oc-X=-/ ex1<0又x<0时，/

9、(x)是增函数，./(占)/(七)/(%)是偶函数，./(用)=/(再)故 ) (一修)> /(X2)七、讨论方程根的问题例11已知函数对一切实数X都满足1 +幻=/(1一X),并且/(x) = 0有三个 实根，则这三个实根之和是.分析：由/(1+X)= /(1 X)知直线x=l是函数/(X)图象的对称轴.又/(x) = 0有三个实根，由对称性知占=1必是方程的一个根，其余两根9，.关于 直线X=1对称，所以小+工3 = 2 X 1 = 2 ,故X +/+均=3 .八、讨论不等式的解求解这类问题利用函数的单调性进行转化，脱去函数符号.例12已知函数/。)是定义在(-8, 1上的减函数，且

10、对一切实数X,不等式f (k-sinx)> f(k2 - sin，x)恒成立，求 k 的值.k- - siirxW 1-sinx < k" - sin' x分析：由单调性，脱去函数记号，得 <1 + sin2A. (1)=( ,1 1 3k2 -k + ->(sinx-)2(2)由题意知(1)(2)两式对一切xtR恒成立，则有“4(1 +sint6mm = 1< ,11 ,9 b=k = -1卜 一攵(sinX-)max =-九、研究函数的图象这类问题只要利用函数图象变换的有关结论，就可获解.例13若函数y = /(x + 2)是偶函数，则y =

11、 /(x)的图象关于直线对称.分析：)，=/(幻的图象< '出个单，_ y = /(x + 2)的图象，而)，= /(x + 2)是偶函数, 对称轴是x = 0，故y = f(x)的对称轴是x = 2.例14若函数/(x)的图象过点(0, 1),则/(x + 4)的反函数的图象必过定点.分析：/(x)的图象过点(0, 1),从而/(x + 4)的图象过点(T, 1),由原函数与其 反函数图象间的关系易知，/(x + 4)的反函数的图象必过定点(1, -4).十、求解析式例15设函数存在反函数，=力。)与g(x)的图象关于直线x + y = O对称，则函数)=A. -/W B.C.D.分析：要求y = (x)的解析式