18三角函数的综合问题

1、江苏省江苏省 2014 届一轮复习数学试题选编届一轮复习数学试题选编 10：三角函数的综合问题：三角函数的综合问题填空题1. 已知锐角满足,则的最大值是_. ,A Btan()2tanABAtan B【答案】 2. 函数的所有零点之和为_.( )(1)sin1( 13)f xxxx 【答案】4 3. 已知,均为正数,且满足,则的值为xy,4 2 sincosxy222222cossin103()xyxyxy_.【答案】 34. 函数4log,0( )cos ,0 x xf xx x的图象上关于原点O对称的点有_.对. 【答案】35. 函数xxxxycossin2sincos22, 2, 0 x

2、的最大值为_【答案】2 6. 每年的 1 月 1 日是元旦节,7 月 1 日是建党节,而 2013 年的春节是 2 月 10 日,因为_,新年将注定不平凡,请在括号内填写一个由月2sin11 sin71 sin()30 sin2013 sin210份和日期构成的正整数,使得等式成立,也正好组成我国另外一个重要节日.【答案】101; 本题的一般结论是,可以应用课本习题中结论 xxxx3sin60sin60sinsin400证得. 22sin()sin()sinsin7. 在ABC中, 若9cos24cos25AB, 则BCAC的值为 .【答案】23 8. 若x,y满足22221log 4cos

3、()lnln4cos ()22yexyyxy, 则cos4yx的值为 .【答案】-1 9. 给出下列四个命题,其中不正确命题的序号是_.若Zkk,2,coscos则;函数)32cos(2xy的图象关于 x=12对称;函数)(cos(sinRxxy为偶函数,函数|sin xy 是周期函数,且周期为 2.【答案】1,2,4 解答题10.已知向量),(cos),(sin3 31 1xnxm (1)当nm/时,求xxxxcossincossin2 23 3 的值;(2)设函数mnmxf )()(,求( )f x的单调增区间;(3)已知在锐角ABC 中,cba,分别为角CBA,的对边,)sin(BAac

4、 2 23 3,对于(2)中的函数( )f x,求)(8 8 Bf的取值范围.【答案】 11.如图,两座建筑物CDAB,的底部都在同一个水平面上,且均与水平面垂直,它们的高度分别是 9cm 和 15cm ,从建筑物 AB 的顶部 A 看建筑物CD的视角 45CAD.(1)求BC的长度;(2)在线段BC上取一点(P点 P 与点CB,不重合),从点 P 看这两座建筑物的视角分别为, DPCAPB问点 P 在何处时, 最小?ABDCP 第 17 题图【答案】作AE CD,垂足为E,则9CE ,6DE ,设BCx, 则tantantantan()1tantanCAEDAECADCAEDAECAEDAE

5、+ 9619 61xxx x+,化简得215540 xx,解之得,18x 或3x (舍) 答:BC的长度为18m 设BPt,则18(018)CPtt , 2291516266(27)18tan()9151813518135118tttttttttt+ 设227( )18135tf ttt+,222542723( )(18135)ttf ttt+,令( )0f t,因为018t ,得15 627t ,当(0,15 627)t时,( )0f t,( )f t是减函数;当(15 627,18)t 时,( )0f t,( )f t是增函数, 所以,当15 627t 时,( )f t取得最小值,即tan

6、()+取得最小值, 因为2181350tt+恒成立,所以( )0f t ,所以tan()0+,(, )2+, 因为tanyx在(, )2上是增函数,所以当15 627t 时,+取得最小值. 答:当BP为(15 627)m时,+取得最小值 12.已知复数, , ,求:(1)求的值; sincos1izsincos2iz55221 zz)cos(2)若,且,求的值.202135sinsin【答案】解:(1), )sin(sin)cos(cos21izz55221 zz,cos()=. 552)sin(sin)cos(cos22532542(2),0-,由(1)得 cos()=, 02253sin(

7、)=. 又 sin=,cos= . 541351312sin=sin()+=sin()cos+cos()sin=. 546533)135(53131213.已知7 2sin()410A, (,)4 2A.()求cos A的值;()求函数5( )cos2sinsin2f xxAx的值域.【答案】解:()因为42A,且7 2sin()410A,所以3244A,2cos()410A . 因为coscos()cos()cossin()sin444444AAAA 227 2231021025 .所以3cos5A . 6 ()由()可得4sin5A . 所以5( )cos2sinsin2f xxAx 21

8、 2sin2sinxx 2132(sin)22x ,xR. 因为sin 1,1x ,所以,当1sin2x 时,( )f x取最大值32;当sin1x 时,( )f x取最小值3. 所以函数( )f x的值域为3 3, 2 14.在三角形ABC中,已知2AB ACABAC ,设CAB=,(1)求角的值;(2)若4 3cos( - )=7 ,其中5(,)36,求cos的值.【答案】解:(1)由2AB ACABAC ,得2cosABACABAC 所以1cos2,又因为0 为三角形ABC的内角,所以3, (2)由(1)知:3sin2,且(0,)2,所以1sin()7 故coscos()cos()cos

9、sin()sin =4 31133 3727214 15.某企业有两个生产车间分别在、两个位置,车间有 100 名员工,车间有 400 名员工.现要在ABAB公路上找一点,修一条公路,并在处建一个食堂,使得所有员工均在此食堂用餐.已知、ACDBDDA、中任意两点间的距离均有,设,所有员工从车间到食堂步行的总路程为.BCkm1BDCs(1)写出关于的函数表达式,并指出的取值范围;s(2)问食堂建在距离多远时,可使总路程最少DAsABCD第 17 题图【答案】解:(1)在中, BCD)120sin(sin60sin00CDBCBDdDBEA,则 ,sin23BDsin)120sin(0CDsin)

10、120sin(10AD,其中 sin)120sin(1 100sin234000ssin4cos35050323(2) 22sincos41350sincos)4(cossinsin350s令得.记 0s41cos)32,3(,41cos00当时, 41cos0s当时, 41cos0s所以在上,单调递减, s),3(0在上,单调递增, )32,(0所以当,即时,取得最小值 041coss此时, 415sinsin)120sin(10ADsinsin21cos231 sincos232110521415412321答:当时,可使总路程最少 10521ADs16.某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度

11、 H(单位 m),如示意图,垂直放置的标杆 BC 高度 h=4m,仰角ABE=,ADE=(1)该小组已经测得一组 、 的值,tan=1.24,tan=1.20,请据此算出 H 的值(2)该小组分析若干测得的数据后,发现适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位 m),使 与 之差较大,可以提高测量精确度,若电视塔实际高度为 125m,问 d 为多少时,- 最大【答案】(1) tan31tan,tan,tan30AEAEADABADAB17.若实数、满足,则称比接近.xymxmymxym(1)若比 3 接近 0,求的取值范围;21x x(2)对任意两个不相等的正数、,证明:比接近;ab22a bab3

12、3ab2ab ab(3)已知函数的定义域.任取,等于和( )f x,D x xkkZ xRxD( )f x1 sin x中接近 0 的那个值.写出函数的解析式,并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单1 sin x( )f x调性(结论不要求证明).【答案】解:(1) x(2,2); (2) 对任意两个不相等的正数a、b,有, 222a babab ab332abab ab因为, 22332|2|2|()()0a babab ababab abab ab 所以,即a2bab2比a3b3接近; 2233|2| |2|a babab ababab ab2ab ab(3) ,kZ, 1sin ,(2

13、,2)( )1 |sin|,1sin ,(2,2)xxkkf xx xkxxkk f(x)是偶函数,f(x)是周期函数,最小正周期T,函数f(x)的最小值为 0, 函数f(x)在区间单调递增,在区间单调递减,kZ ,)2kk(,2kk18.在ABC中,已知3ABACBA BC .(1)求证:tan3tanBA;(2)若5cos5C ，求 A 的值.【答案】解:(1)3ABACBA BC ,cos=3cosAB ACABA BCB,即cos=3cosACABCB.由正弦定理,得=sinsinACBCBA,sincos=3sincosBAAB.又0 ABB，.sinsin=3coscosBABA即

14、tan3tanBA.(2) 5cos05CC ,tan=1A.=4A.19.已知,设函数,3sin ,sinaxxsin ,cosbxx( )f xa b ,2x()求函数的零点;( )f x()求函数的最大值和最小值.( )f x【答案】()解:由题意:, 2( )3sinsin cosf xxxx,2x令,得 , ( )0f x sin( 3sincos )0 xxx所以,或 sin0 x 3tan3x 由,得 sin0 x ,2xx由,得. 3tan3x ,2x56x综上,函数的零点为或 ( )f x56()解: 3131 cos2sin2sin 22232f xxxx因为,所以 ,2x

15、2 52,333x当,即时,的最大值为; 2233x2x ( )f x3当,即时,的最小值为 3232x1112x )(xf312 20.已知向量) 1,(sinxm,)21,cos3(xn,函数2)(2nmmxf.()求)(xf的最大值,并求取最大值时x的取值集合;()已知a、b、c分别为ABC内角A、B、C的对边,且a,b,c成等比数列,角B为锐角,且( )1f B ,求CAtan1tan1的值.【答案】解:()2)()(mnmxf221cossin31sin2xxx )62sin(2cos212sin23212sin2322cos1xxxxx 故1)(maxxf,此时Zkkx,2262,

16、得Zkkx,3, 取最大值时x的取值集合为,3|Zkkxx ()( )sin(2)16f BB,20 B,65626B, 262B,3B 由acb 2及正弦定理得CABsinsinsin2于是 CAACACCCAACAsinsinsincoscossinsincossincostan1tan1 2sin()12 3sinsin3ACBB 21.如图,游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到,另一种是ACAC先从沿索道乘缆车到,然后从沿直线步行到.现有甲.乙两位游客从处下山,甲沿匀速ABBCAAC步行,速度为.在甲出发后,乙从乘缆车到,在处停留后,再从匀速步行min/50

17、mmin2ABBmin1到.假设缆车匀速直线运动的速度为,山路长为,经测量,Cmin/130mACm12601312cosA.53cosC(1)求索道的长;AB(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?C3CBA【答案】本题主要考察利用正余弦定理解三角形.二次函数的最值.以及三角函数的基本关系.两角和的正弦等基础知识,考察数学阅读能力和分析解决实际问题的能力. 解:(1), 1312cosA53cosC, ），（、20CA135sinA54sinC 6563sincoscossinsinsinsinCAC

18、ACACAB）（）（根据得 sinBsinCACABmCACAB1040sinsinB(2)设乙出发 t 分钟后,甲.乙距离为 d,则 1312)50100(1302)50100()130(222ttttd )507037(20022ttd即 13010400 t80 t时,即乙出发分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短. 3735t3735(3)由正弦定理得(m) sinBsinAACBC50013565631260sinsinBAACBC乙从 B 出发时,甲已经走了 50(2+8+1)=550(m),还需走 710 m 才能到达 C 设乙的步行速度为 V ,则 min/m350710500v 3

19、507105003v为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在范围内 C314625,431250法二:解:(1)如图作BDCA于点D, 设BD=20k,则DC=25k,AD=48k, AB=52k,由AC=63k=1260m, 知:AB=52k=1040m. (2)设乙出发x分钟后到达点M, 此时甲到达N点,如图所示. 则:AM=130 x,AN=50(x+2), 由余弦定理得:MN2=AM2+AN2-2 AMANcosA=7400 x2-14000 x+10000, 其中 0 x8,当x=(min)时,MN最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短.

20、3537(3)由(1)知:BC=500m,甲到C用时:=(min). 1260501265若甲等乙 3 分钟,则乙到C用时:+3= (min),在 BC 上用时: (min) . 12651415865此时乙的速度最小,且为:500=m/min. 865125043若乙等甲 3 分钟,则乙到C用时:-3= (min),在 BC 上用时: (min) . 12651115565此时乙的速度最大,且为:500=m/min. 56562514故乙步行的速度应控制在,范围内. 12504362514 CBADMN22.已知,.(cos ,sin)(cos,sin)ab，0(1)若,求证:;(2)设,若,求的值.|2abab(0,1)c abc,【答案】本题主要考查平面向量的加法.减法.数量积.三角函数基本关系式.诱导公式等基础知识,考查运算能力与推理论证能力 解:(