8-1多元函数的基本概念

1、早节题目第一节多元函数的基本概念12内容提要多元函数的概念 多元函数极限的概念 多元函数连续的概念 闭区间上连续函数的性质多元函数的概念、极限、连续及连续的性质重极限的计算 重极限不存在的判定方法难 占 八、 分 析习题布置p12 3、4（单）、5 （单）、6、8教学 内容一、多元函数的概念(1) 邻域设P0(xo, yo)是xoy平面上的一个点，：是某一正数，与点P0(3,yo)距离小于：的点P(Xly)的全体，称为点 P的邻域，记为U(F0,、)，U (Po, ' ) JPlPP) I ：、V =(X, y) | (x x。)2 (y - y。)2(2) 区域设E是平面上的一个点集

2、，P是平面上的一个点.如 果存在 点P的某一邻域U(P) E ,则称P为E的内点.E的内点属于E.如果点集E的点都是内点，则称E为开集.例如，E1 =( X, y)" ： X2 y2 ：4即为开集.如果点P的任一个邻域内既有属 于E的点，也有不属于E的点 (点P本身可以属于E ,也可以不属于E),则称P为E的边界点.E的边界点的全体称为E的边界.设D是开集.如果对于D内任何两点，都可用折 线连结起来, 且该折线上的点都属于 D,则称开集D是连通的.连通的开集称为区域或开区域.例如，(x,y)1 VX2+y2 £4.开区域连同它的边界一起称为闭区域2 2例如，(,y)门兰X

3、+y 4.y对于点集E如果存在正数K ,使一切点 PEE与某一定点A间的距离IAPl不超过K， 即 APK对一切P E成立，则称E为有界点集，否 则称为无界点集.2 2例如，(,y)乞X y 4有界闭区域;(Xiy)IXy 0无界开区域.(3) 聚点：设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点，如果点 P的任何一 个邻域内总有无限多个点属于点集E，则称P为E的聚点.说明：a. 内点一定是聚点；b. 边界点可能是聚点；2 2例(x,y)O： X y 1(0,0)既是边界点也是聚点.c. 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E.2 2例如,(X, y) IOvx +y 1(0,0)是聚点但不属于集

4、合.2 2例如,(X, y)I X y =1边界上的点都是聚点也都属于集合.(4) n维空间：n为取定的一个自然数， 我们称n元数组(xi,x2, , Xn)的全体为n维空间，而每个 n元数组(,2,，xj称为n维空间中的一个点，数 Xi称为该点 的第i个坐标.说明：a. n维空间的记号为 R;b. n维空间中两点间距离公式设两点为 P(X1,X2, ,Xn), Q(yi,y2,%),i 222| PQ H'(yi -Xi)(y2 X2)Wn -Xn) 特殊地当n=1,2,3时，便为数轴、平面、空间两点间的距离.c. n维空间中邻域、区域等概念邻域：UR,、)P|PP)I = P Ry

5、内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义.(5)二元函数的定义：设D是平面上的一个点集，如果对于每个点P(X,y D , 变量Z按照一定的法则总有确定的值和它对应， 则称Z是变量x, y的二元函数，记 为z = f(,y)(或记为 z = f(P).类似地可定义三元及三元以上函数.当n - 2时，n元函数统称为多元函数.多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念f (x,y) =Zarcsin(3-x - y例1求y解的定义域.x_y20斗 ×>y2IXAy所求定义域为D =( X, y)2岂X2 y2岂4,x y2(6)二元函数z=f(x,y)的图形：设函数z=f(x,

6、y)的定义域为D ,对于任意取定的P(x, y) D ,对应的函数值为Z= f(x,y),这样，以X为横坐标、y 为纵坐标、Z为竖坐标在空间就确定一点M (X, y, Z)，当X取遍D上一切点时，得一个空间点集(,y, Z)If (X, y),(X, W d，这个点集称为二元函数的图形二元函数的图形通常是一张曲面例如,Z=Sin Xy2 22例如,2+y2+Z2=a2D=(x,y)x ÷y a .222222"单值分支：z =-X - y z = _ * a -X - y .Z二、多元函数的极限定义1设函数Z = f(,y)的定义域为D，Po(0,yo)是其聚点，如果对于任

7、意给定的正数；，总存在正数，使得对于适合不等式Il22r0 ：:| PPO (XO)的一切点，都有 1 f(x, y)-Ak ；成立，则称A为函数Z = f(X, y)当X > Xo，y > yo时的极限，记为lim f (x, y) = AX Xy >y0(或f(X, y) > A >0)这里'=IPPO I).说明:定义中P > P)的方式是任意的;(2)二元函数的极限也叫二重极限XjmX f (X, y);X Jx0y »y。(3)二元函数的极限运算法则与一元函数类似.2 2 1lim(X y )sin 22 = 0求证壮X y(X2

8、-=X + y Sin1X2y2< X2y2V >o, 3-；,当 0(x0)2 (y-0)2 舟时,(X2 +y2)sin1X2y2-0 <£原结论成立例3求极限SSin(Xy)X2y2:y 八 + 一X m HXy解= IimSin(X y)打X y2X y,X yIImX_0 其中 y 0Sin(X y)U= X2yIim SinUu 0 U =12X y2丄 2X + y1. IimX x 0 > 0, ：Sin(x2y)=0X2y2不存在.例4证明证3X yIim -62X 0 x6 y2 y P Z取 y =kx3IImX 0,y 03X y6 2

9、X y y3X=Iim 一6J03 Xk2XkX3其值随k的不同而变化，故极限不存在确定极限不存在的方法：(1) 令P(x，y)沿y =kX趋向于P)(X0,yO),若极限值与k有关，则可断言极限不 存在；Iim f(x,y)X X0(2) 找两种不同趋近方式，使y妙0存在，但两者不相等，此时也可断言f(,y)在点PO(X0,yO)处极限不存在.利用点函数的形式有 n元函数的极限定义2设n元函数f (P)的定义域为点集 D，FO是其聚点，如果对于任意给定的正数；,总存在正数:,使得对于适合不等式0 ：| PP) L的一切点P D ,都有1 f(P) - A：；成立，则称A为n元函数f (P)当

10、P ' FO时的极限，记为Iim f (P) = APP)三、多元函数的连续性设n元函数f (P)的定义域为点集D，PO是其聚点且PO D，如果PimPIf(P) 一 f (PO)则称n元函数f (P) 在点FO处连续设PO是函数f (P)的定义域的聚点，如果f (P)在点PO处不连续，则称FO是函数f (P)的间断点.例5讨论函数f (, y)=33Xy一 22Xyo,(,y)=(0,0)(X, y) = (0,0)在(0,0)处的连续性.解取 X= QCoSd y = QSin V3 3f (x,y)-f (0,0) =P(SinT+cos8)<2p弓 J 22-_ ；0,2

11、 '当 0 ：、X y ：、时f (x,y) -f(0,0)v2Pv 名(X,y,0)f (X,yf (O，O)，故函数在(0,0)处连续.r Xyf (x,y) =J2丄2X + y0,例6讨论函数22CX y T-Z 0解取y = kxX2y20在(0,0)的连续性Xy2 22 2kxkxIim 2 2 - Iim 2 2 2 - Iim 2 2 2 FX +yXFx +k X 免 X +k X其值随k的不同而变化，极限不存在 故函数在(0,0)处不连续.闭区域上连续函数的性质(1) 最大值和最小值定理在有界闭区域 D上的多元连续函数，在 D上至少取得它的最大值和最小值各 一次.(

12、2) 介值定理在有界闭区域 D上的多元连续函数， 如果在D上取得两个不同的函数值，贝U它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次.(3) 一致连续性定理在有界闭区域 D上的多元连续函数必定在 D上一致连续.多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤 所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.lmPIPf (P)时，如果f (P)是初等函数，且P0是f (P)的定义域的内点，则f (P)在点Po处连续，于是PimmO f(P)= f(Po)1.Jxy +1 TIimXT Xy y0xy 1 -1原式解=IimIim 徨 yG Xy 1 1) H . xy 11四、小结多元函数的定义 多元函数极限的概念(注意趋近方式的任意性) 多元函数连续的概念 闭区域上连续函数的性质思考题若点(x,y)沿着无数多条平面曲线趋向于点(X0