线性代数试卷及答案详解

1、«线性代数A »试题(A卷)试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数考试时间： 学号：姓名：题号一二三四五六七总分得分阅卷人一.单项选择题(每小题3分，共30分)1 .设A经过初等行变换变为B,则().(卜面的r(A), r(B)分别表示矩阵A,B的秩)。(A)r(A)r(B)；(B)r(A) r(B)；(C)r(A)r(B);(D)无法判定r(A)与r (B)之间的关系。2 .设A为n (n 2)阶方阵且| A| 0 ,则()。(A) A中后一行兀素全为零；(B)A有两行(列)兀素对应成比例；(C) A中必有 行为其余行的线性组合；(D) A的行为其余行的线性

2、组合。3 .设A,B是n阶矩阵(n 2), AB O ,则下列结论一定正确的是：()4 .卜列不是n维向量组1, 2,., s线性无关的充分必要条件是()(A)存在一组不全为零的数 K,k2,.,ks使得ki i k2 2 . ks s O ；(B) 不存在一组不全为零的数 KM,., ks使得ki i k2 2ks s O(C) 1, 2,，s的秩等于s ；(D) 1, 2，s中任意一个向量都不能用其余向量线性表示1 a aa 1 a5 .设n阶矩阵(n 3) A .aa.,若矩阵A的秩为n 1 ,则a必为.1(A)1；1(B)-；(C)1;1 na100b6.四阶行列式0a2b20的值等于

3、(0 b3a30b400a4)(A)a©2a3a4 b1b2b3b4 ；(D)(B)a1a2a3a4 b1b20b4 ；(E) (aa bb2)(a3a4 b3b4);(D) (a2a3 b2b3X2e4 bb,).7 .设A为四阶矩阵且|A| b,则A的伴随矩阵A*的行列式为()。(A) b；(B) b2；(C) b3;(D) b48 .设A为n阶矩阵满足A2 3A In O , 1n为n阶单位矩阵，则A 1()(A) In；(B) A 3In；(C) A 3In；(D) 3A In9 .设A, B是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是()。(A) A与B的秩相同；(B)A与B的特

4、征值相同；(C) A与B的特征矩阵相同；(D) A与B的行列式相同；10 .设A为n阶矩阵，则A以0为特征值是A 0的()。(A)充分非必要条件;(B)必要非充分条件;(C)既非充分又非必要条件;(D)充分必要条件;二.填空题（每小题3分，共18分）1 .计算行列式000400430 44 33 22 11002.01 00011231004 560 017 890 103.二次型 f(x1,x2,x3)X1X2X2X3 X3X1对应的对称矩阵为4.已知1 （0,0,1） ,2（学W,。），3（专，名,0）是欧氏空间？3的一组标准正交基，则向量（1,1,1）在这组基下的坐标为 5.已知矩阵A7

5、41471的特征值为1 3(二重)，2 12,则X 44 X6.设1, 2, 3均为3维列向量，记矩阵A 1, 2, 3 , B ( 123, 1 2 2 4 33 2 9 3) 0 如果 | A| 1 ,则 |B| （8 分）A2 11 0 , AX B,求 X。3 1四.（10分）设向量组1（1,1,2,3）T ,2(1, 1,1,1)T ,3 (1,3,3,5)T ,4(4, 2,5,6) T ,5 （ 3, 1, 5, 7）T o试求它的秩及一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示o五.（12分）讨论线性方程组X1X1PX1X2PX2X2PX3X3X321解的情况，并在有无穷

6、多解时1求其解1六.（14分）设A 24求正交矩阵T,使得T1AT为对角矩阵。七.（8分）对任意的矩阵A,证明:2 2 , （1）、求出A的所有特征值和特征向量；（2）、A AT为对称矩阵,A AT为反对称矩阵;(2)A可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和o线性代数A»参考答案（A卷）、单项选择题（每小题3分，共30分）1、01212_12201 2J212，04、1,72,0 ；5解：因为矩阵A的行列式不为零，则A可逆，因此XA1B.为了求12345678910BCDABDCCCD3分，共18分）二、填空题（每小题A1B,可利用下列初等行变换的方法:（6分）278所以 X A

7、1B 144 .103四.解：对向量组 1, 2, 31114310011310100 0 000000 0 0000（8分）4, 5作如下的初等行变换可得:212131000000（5分）从而1, 2, 3, 4, 5的一个极大线性无关组为1, 2,故秩 1, 2, 3, 4, 5=2 （8 分）413 2 ,52 12（10 分）五.解：对方程组的增广矩阵进行如下初等行变换:当p 1 0,且(2 p)(p 1) 0时，即p 1,且p2时，系数矩阵与增广矩阵的秩均为3,此时方程组有唯一解.(5分)(2)当p 1时，系数矩阵的秩为1,增广矩阵的秩为 2,此时方程组无解.(6分)(3)当p2时，

8、此时方程组有无穷多组解.方程组的增广矩阵进行初等行变换可化为故原方程组与下列方程组同解：令X30,可得上述非齐次线性方程组的一个特解0 ( 1, 1,0)T；它对应的齐次线性方程组X1X30的基础解系含有一个元素，令X2X30X31,可得1 （i,i,iT为该齐次线性方程组的一个解，它构成该齐次线性方程组的基 础解系.此时原方程组的通解为 ko 0 ki 1,这里k0,ki为任意常数.（12分）1六.解：（1）由于A的特征多项式| I A| 242422(3)2(6)21故A的特征值为13 （二重特征值），3 6。（ 3分）424X,当 13时，由(1I A)X O,即：212x2424X33

9、的所有特征向量为系为1 1,2,0T, 2 1,0,1T,故属于特征值1k1 1 k2 2, k1,k2不全为零的任意常数。 （6分）524 X1当 3 6时，由(3I A)X O ,即： 282 X200得基础解000得基础解0系为3 2,1,2，故属于特征值26的所有特征向量为k3 3, k3为非零425 X3的任意常数(8分）(2)将1, 2正交化可得：11 1,2,0T,22,11 2 2,11T5521,1再将0其单位化得：11一返2_.JgT15 ,15 , 33单位化得:（12 分）1, 2 , 3 是的特征向量，令1, 2,3_552 5504 5干2 57553231 323则T是一个正交矩阵，且T 1AT（14 分）七.证明：(1)因为(AAT）TAT（AT）TA AT,因此A AT为对称矩阵。（2分）同理，因为(A AT)T