中考数学易错题专题训练-一元二次方程组练习题含答案

1、中考数学易错题专题训练-一元二次方程组练习题含答案一、一元二次方程1.使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点例如，对于函数y = X-1 ,令y=0,可得X=I ,我们就说1是函数y = X -1的零点.己知函数y = X2 -2mx-2(m 3) (m m为常数).(1) 当m=o时，求该函数的零点；(2) 证明：无论 m取何值，该函数总有两个零点；1 11(3) 设函数的两个零点分别为 X1和X2 ,且，此时函数图象与 X轴的交点分x1 X24别为A、B(点A在点B左侧)，点M在直线y =x-10上，当MA+MB最小时，求直线 AM 的函数解析式.【答案】(1)当m =0时，该函数的零点

2、为、6和.6 .(2) 见解析，1(3) AM的解析式为y X -1 .2【解析】【分析】(1) 根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x2-2mx-2 (m+3),然后令y=0即 可解得函数的零点；(2) 令y=0,函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明> 0即可；(3) 根据题中条件求出函数解析式进而求得 A、B两点坐标，个、作点 B关于直线y=x-10 的对称点B',连接AB',求出点B'的坐标即可求得当 MA+MB最小时，直线 AM的函数解析 式【详解】(1)当m=0时，该函数的零点为 ,6和i 6 .(2) 令 y=0,得厶=一

3、.一、一 -无论m取何值，方程-总有两个不相等的实数根.即无论m取何值，该函数总有两个零点.(3) 依题意有 m X、,-.-1 1 1由_ 解得:"=1 .函数的解析式为.-.令 y=0,解得= - A(-h), B(4,0)作点B关于直线y = X -10的对称点B''连结AB '则AB与直线 X -10的交点就是满足条件的 M点.易求得直线y=X-10与X轴、y轴的交点分别为 C (10,0), D (0,10)连结 CB,则 BCD=45 BC=CB =6 B' CD BCD=45 BCB =90°即 B' (10, - 6)

4、设直线AB的解析式为y =kx b ,则-2k b =01,解得 k , b = -110k b = -621直线AB的解析式为y x-1 ,21即AM的解析式为y X 1 .222.如图，抛物线 y=ax+bx+c与X轴交于点 A和点B (1, 0),与y轴交于点 C ( 0, 3), 其对称轴I为X=- 1 .(1) 求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；(2) 若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴I上.当PA NA,且PA=NA时，求此时点 P的坐标；P的坐标.顶点坐标为(-1, 4);( 2)点P2);P(-154求四边形 PABC面积的最大值及此时点B、C的坐标代入已知的抛物线

5、的解析式，由对称轴为【解析】(1)将试题分析：抛物线的解析式；(2) 首先求得抛物线与 X轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA从而得到方程求得X的值即可求得点 P的坐标;S四边形ABCP = sOBC sAPD ' S梯形PDOC，表示出来得到二次函数，求得最值即可.试题解析：(1)抛物线y =a2 bx C与X轴交于点A和点B (1, 0),与y轴交于a b c = 0,a = 1c =3点C (0, 3),其对称轴I为X=-1 ,解得：b = 2 ,二次函数的1c = 32a2 2解析式为y = -X -2x 3(x 1)4 ,顶点坐标为(-1, 4)；(2)令 y 二X2

6、 -2x 3 = 0 ,解得 x = 3或 x =1 ,点 A (- 3, 0), B (1, 0),作PDX 轴于点 D,点 P在 y = -2-23 上，设点 P (x, -2-23 ),2 PA NA,且 PA=NAPAD AND, OA=PD,即卩 y = X 2x 3 = 2 ,解得X= 一2-1 (舍去)或 x=_ 2_1, 点 p(-2-1, 2)； 设 P(X , y),则 y = -2 2x 3 , / S四边形 ABCP =sobc ' sapd ' S梯形PDOC= 1OB7OC+1AD7PD+1(PD+OC"OD=1 3 1 + 1 (3 x)

7、y 1(y 3)(-X)=2 2 2 2 2 23 3x 3(-x2 一2X 3)=-3X2 -9x 6-(x 3)2 75 ,2 2 2 2 2 2 2 815y x -2x3=/ 此时 P立 3 Q75 立 3当x=E时，S四边形ABCP最大值=8,当x=-3.最值问题；4 .压轴题.3.解方程：(x+1)(X- 3)=- 1.【答案】X1=1+.3, x2=1 、3【解析】试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可试题解析：整理得：x2- 2x=2,配方得：x2- 2x+1=3,即（X- 1） 2=3,解得：xi=1+、3 , x2=l - , 34. 已知关于X的方

8、程2-( 2k+1) x+k2+i = 0.(1) 若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；(2) 若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k= 2 ,求该矩形的对角线 L的长.3 _【答案】(1) k>( 2)15.4【解析】【分析】(1) 根据关于X的方程X2- (2k+ 1)x+ k2 + 1= 0有两个不相等的实数根，得出> 0,再 解不等式即可；(2) 当k=2时，原方程x2-5x+5=0,设方程的两根是 m、n,则矩形两邻边的长是 m、n, 利用根与系数的关系得出 m+n=5, mn=5,则矩形的对角线长为.m2 . n2 ,利用完全平方 公式进行变形即可求得答案

9、【详解】(1 )方程x2-(2k+ 1)x+ k2+ 1 = 0有两个不相等的实数根，. = (2k+ 1)2-4× 1×2+ 1)= 4k- 3> 0,. k >(2)当k= 2时，原方程为2- 5x+ 5 = 0,设方程的两个根为 m, n,.m + n= 5, mn= 5,.矩形的对角线长为：m2 n2 = m n ?2mn =15.【点睛】 本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别2) =0时，方程有两个相式的关系：(1) >0时，方程有两个不相等的实数根;等的实数根；(3) < 0时，方程没有实数根.5

10、. 某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售.(1) 求平均每次下调的百分率；(2) 房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%,再下调15% ,这样更有吸引力，请问 房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？【答案】(1)平均每次下调的百分率为 10%.( 2)房产销售经理的方案对购房者更优 惠.【解析】【分析】(1) 根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可;(2) 分别求出两种方式的增长率，然后比较即可【详解】(1) 设平均每次下调 x

11、%,则27000 (1 - x)=5670,解得：x=10%, X2=190% (不合题意，舍去)；答：平均每次下调的百分率为10%.(2) ( 1 - 5%) × (1 - 15%) =95%< 85%=80.75%, ( 1 - x) 2=( 1 10%)2=81%. 80.75% V 81% ,房产销售经理的方案对购房者更优惠.6. 已知 为正整数，二次方程 -的两根为龙护层，求下式的值:1 1 1 + *1 * (冬 ÷i + 1) (%+IXA +1) (如 ÷ + D【答案】531760【解析】由韦达定理，有 -一-一，.- 一.于是，对正整数二

12、_-,有Il_1( +1)足灶+乙+色+1 可：-(2冲 +1) + 1m(k-2)7. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感.(1) 求每轮传染中平均一个人传染了几个人？(2) 如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？【答案】(1) 5;( 2) 180【解析】【分析】(1) 设平均一人传染了 X人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流 感，列方程求解即可；(2) 根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可.【详解】(1)设每轮传染中平均一个人传染了X个人，根据题意得:x+1+ (x+1) X= 36,解得：X= 5或x=- 7

13、(舍去).答：每轮传染中平均一个人传染了5个人；(2)根据题意得：5× 3= 180 (个)，答：第三轮将又有180人被传染.【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程8.观察下列一组方程：x2-x=0 ;x2-3x2=0 ;x2-5x6=0 ;x2 -7x 10 ；它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为连根一元二次方程”.(1 )若2+kx+56=0也是 连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程；2请写出第n个方程和它的根.【答案】(1) X1 = 7, x2= 8. (2) X1= n 1, X = n

14、.【解析】【分析】(1) 根据十字相乘的方法和连根一元二次方程”的定义,找到56是7与8的乘积，确定k值即可解题,(2)找到规律，十字相乘的方法即可求解【详解】解：由题意可得k=- 15,则原方程为x2- 15x + 56= 0,则(X- 7) (X 8)= 0,解得 =7, X2= 8.第 n 个方程为 X2 (2n 1)x+ n(n 1) = 0, (X- n)(x- n + 1)= 0,解得 = n- 1, X2= n.【点睛】本题考查了用因式分解法求解一元二次方程，与十字相乘联系密切，连根一元二次方程是特殊的十字相乘，中等难度，会用十字相乘解题是解题关键.9.(问题)如图 ，在a

15、15; b×C长 宽高，其中a, b, C为正整数)个小立方块组成的长方体中，长方体的个数是多少?图图(1)如图，在2× 1×个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2=3条线段,棱AC, AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为3× 1× 1=33x4(2) 如图，在3× 1×1小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2+3=6条线2段，棱AC, AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为6× 1×仁6(3) 依此类推，如图 ，在a× 1×个小立方块组成的长方体中，棱AB上共

16、有 1+2+a=a 3 1线段，棱AC, AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为2探究二：(4) 如图，在a× 2×个小立方块组成的长方体中，棱AB上有3 3 1条线段，棱AC22城3上有1+2=3条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为2a a 13a a 1× 3 ×2 2(5) 如图，在a× 3×个小立方块组成的长方体中，棱AB上有3 3 1条线段，棱AC23汉4上有1+2+3= =6条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为.2(6) 依此类推，如图 ，在a× b×个小立方块组成的长

17、方体中，长方体的个数为BA BAB图图图探究三：(7) 如图，在以a× b×个小立方块组成的长方体中，棱AB上有3 3 1条线段，棱2b(b +1 )AC上有22 乂 3条线段，棱AD上有1+2=3条线段，则图中长方体的个数为23a a 1 、b b 1、b a 1 b 1×X 3=.224(8) 如图，在a× b×3小立方块组成的长方体中，棱AB上有3 3 1条线段，棱AC2上有 字条线段，棱AD上有1+2+3=324=6条线段，则图中长方体的个数为2圉图电）（结论）如图 ，在a× b×个小立方块组成的长方体中，长方体的个

18、数为 （应用）在2× 3×个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为 .（拓展）如果在若干个小立方块组成的正方体中共有1000个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论.【答案】探究一：（3）；探究二：（5） 3a （a+1）;（ 6） ab * 1 b 124探究三：(8) 3aba 1 b 1;【结论】：abca 1 b 1 C 1;【应用】：2 8180;【拓展】：组成这个正方体的小立方块的个数是64,见解析.【解析】【分析】（3）根据规律，求出棱 AB, AC,（5）根据规律，求出棱 AB, AC,（6）根据规律，求出棱 AB, AC,

19、（8）根据规律，求出棱 AB, AC,AD上的线段条数，即可得出结论;AD上的线段条数，即可得出结论;AD上的线段条数，即可得出结论;AD上的线段条数，即可得出结论;（结论）根据规律，求出棱AB, AC, AD上的线段条数，即可得出结论;（应用）a=2, b=3, c=4代入（结论）中得出的结果，即可得出结论;（拓展）根据（结论）中得出的结果，建立方程求解，即可得出结论.【详解】解：探究一、3）棱AB上共有,棱AC, AD上分别只有1条线段,2则图中长方体的个数为a a 1× 1×a=a 1 ,2 2故答案为a a 1;探究二：(5 ab上有2条线段，棱AC上有6条线段，棱

20、AD上只有1条线段,则图中长方体的个数为 a(a*1)× 6× 1=3a+1),2故答案为3a (a+1)；(6)棱AB上有a a 1条线段，棱AC上有b b 1条线段，棱AD上只有1条线段,2 2则图中长方体的个数为×丄× I=aba 1 b 1，224故答案为aba 1 b 1 ；4探究三：(8)棱AB上有a a 1条线段，棱AC上有b b 1条线段，棱AD上有6条22线段，则图中长方体的个数为a a 1×b b 1 × 6=3ab a 1b 122 2故答案为3心1 b 1 ；2(结论)棱AB上有* *1 条线段，棱 AC上有b

21、 b 1条线段，棱 AD上有C C 1条线222段，则图中长方体的个数为a a 1 b b 1 c c 1× × =abc a 1 b 1 C 1" ,2 2 28故答案为abca 1 b 1 C 1 ；8(应用)由(结论)知,abc a 1 b 1 c 18=1000,在2× 3×4小立方块组成的长方体中，长方体的个数为2342 13 14 1 十。8 ，故答案为为180;拓展：设正方体的每条棱上都有X个小立方体，即a=b=c=x,由题意得X3(X 1)38x (x+1) 3=203, X (x+1) =20,=4, X2=-5 (不合题意，

22、舍去). 4× 4× 4=64所以组成这个正方体的小立方块的个数是64.【点睛】解此题的关键在于根据已知得出规律，题目较好，但有一定的难度，是一道比较容易出错的题目2 1 210.已知关于X的一元二次方程 2+(k+1)x+-k2 = 0有两个不相等的实数根.4(1)求k的取值范围；当k取最小整数时，求此时方程的解.1【答案】(1)k>- 1 ； (2)X1 = 0, X2=- 1.2【解析】【分析】1(1) 由题意得 = (k+1)2- 4×丄k2> 0,解不等式即可求得答案;4根据k取最小整数，得到 k= 0,列方程即可得到结论.【详解】2 1 2

23、(1) 关于X的一元二次方程 +(k+1)x+-k = 0有两个不相等的实数根,42 1 2= (k+1)2 - 4× k2>0 ,4 k >-(2) k取最小整数，. k = 0,原方程可化为2+= 0, 1 = 0 , 2=- 1 .【点睛】本题考查了一元二次方程a2+b+c= 0(a 0的根的判别式 = b2- 4ac:当厶> 0 ,方程有两个不相等的实数根；当 = 0,方程有两个相等的实数根；当< 0,方程没有实数根.11.已知关于 X 的方程 2 ( m + 2) x+( 2m 1) =0。(1) 求证：方程恒有两个不相等的实数根；(2) 若此方程的

24、一个根是 1,请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形 的周长。【答案】(1)见详解；(2) 4 + 、10或4+ 2 .【解析】【分析】(1) 根据关于X的方程x2-( m+ 2) x+( 2m 1) =O的根的判别式的符号来证明结论(2) 根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根分类讨论：当该直角三角形的两直角边是2、3时，当该直角三角形的直角边和斜边分别是2、3时，由勾股定理求出得该直角三角形的另一边，再根据三角形的周长公式进行 计算【详解】解：(1)证明： = ( m + 2) 2-4 (2m 1) = (m 2) 2+ 4,在实数范围内，m

25、无论取何值，(m 2) 2+4 4 0,即厶 0.关于X的方程x2-( m+ 2) x+( 2m - 1) =0恒有两个不相等的实数根(2 )此方程的一个根是 1,2 1 - 1× ( m + 2) + ( 2m- 1) =0,解得，m=2, 则方程的另一根为：m + 2-仁2+仁3. 当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为10 ,该直角三角形的周长为1 + 3 +10=4 + , 10 . 当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2 2 ；则该直角三角形的周长为1 + 3+ 2 2 =4+ 2 2.12 阅读下面的材料

26、，回答问题：解方程4- 52+4= 0,这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：2422设X = y,那么X = y ,于是原方程可变为 y - 5y+4= 0 ，解得y1= 1, y2 = 4 当 y= 1 时，X2 = 1 , X= ± 1 当 y= 4 时，X2 = 4, X= ±2原方程有四个根：X1= 1, X2=- 1, X3 = 2, X4=- 2 (1) 在由原方程得到方程 的过程中，利用 法达到的目的，体现了数学的转化思想.(2) 解方程(x2+x) 2- 4 (x2+x)- 12 = 0【答案】(1)换元，降次；(2) X1=- 3, X

27、2=2【解析】【详解】解：(1)在由原方程得到方程 的过程中，禾U用换元法达到降次的目的，体现了数学的 转化思想；2 2(2)设 X +x=y,原方程可化为 y -4y- 12=0,解得 y1=6, y2= - 2.2由 X +x=6,得 X1 = - 3, X2=2.由X2+x= - 2 ,得方程x2+x+2=0, b2- 4ac=1 - 4× 2- 7v 0,此时方程无实根.所以原方程的 解为 X1 = - 3, X2=2.13.阅读材料：若 m22mn ' 2n2 -8n 76=0 ,求 m、n 的值.解：Tm2 2mn 2n2 8n 16 = O ,2 2 2.(m

28、-2mn n ) (n -8n 16) = 02 2.(m -n) (n -4) =0 ,.mn = 0,n 4=0.n =4,m =4 .根据你的观察，探究下面的问题：(1) 己知 X2 2xy 2y2 2y 0 ,求 y 的值.(2) 已知 ABC的三边长a、b、C都是正整数，且满足 a2 b2 _ 6a _8b 25 = 0 ,求边 C的最大值.(3) 若己知 a -b =4,ab c2 -6c 13 = 0 ,求 a -b C 的值.【答案】(1)2( 2)6( 3)7【解析】【分析】(1) 将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0, 两非负数分别为 0

29、求出X与y的值，即可求出X- y的值；(2) 将已知等式25分为9+16 ,重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之 和为0,两非负数分别为 0求出a与b的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求 出C的长；(3) 由a- b=4,得到a=b+4,代入已知的等式中重新结合后，禾U用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为 0,两非负数分别为 0求出b与C的值，进而求出a的值，即可求 出a - b+c的值.【详解】(11： x2+2xy+2y2+2y+ 仁0( x2+2xy+y2) + (y2+2y+1) =0( x+y) + (y+1) =0 x+y=0 y+1=0解得：x=1, y

30、= - 1X- y=2；(2) a2+b2 - 6a- 8b+25=0( a2 - 6a+9) + (b2- 8b+16) =0( a - 3) + ( b 4) =0 a - 3=0, b - 4=0解得：a=3, b=4三角形两边之和第三边 CV a+b, CV 3+4, CV7 .又 C是正整数， ABC的最大边C的值为4, 5, 6, C 的最大值为6;(3) a-b=4,g卩 a=b+4,代入得：(b+4) b+c2- 6c+13=0,整理得：(b2+4b+4) + (C2 2-6c+9) = ( b+2) + ( C- 3) =0, b+2=0,且 C- 3=0, 即卩 b=- 2

31、, c=3, a=2,则 a -b+c=2 2) +3=7.故答案为7.【点睛】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键.14. 如图，一艘轮船以30kmh的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某 台风中心正以10kmh的速度由东向西移动，距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km,此时台风中心与轮船既定航线的最近距离AB=300km.(1) 如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？(2) 如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会 进入台风影响区？(3) 假设轮船航向不变，轮船航行速度不变，求受到台风影响的时间为多少小时？【答案】(1)如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区.(2)经过15- J15h就会进入台风影响区；(3) 2-：.：15小时.【解析】【分析】(1) 作出肯定回答：这艘轮船不改变航向，那么它能进入台风影响区.(2) 首先假设轮船能进入台风影响区，进而利用勾股定理得出等式求出即可.(3) 将轮船刚好进入台风影响区和刚好离开台风影响的两个时间节点相减，即能得出受影 响的时间长【详解】解：(1)如图易知 AB' =30 10t, AC =40- 3