点线面之间的关系

1、点线面之间的关系一.选择题（共8小题）1 .在正方体ABCD- AiBiGDi中，E为棱CD的中点，则（A. AiE± DCiB. AiE± BD C AiE± BC D. AiE± AC2 .在正方体 ABCD- AiBiGDi中，下列几种说法正确的是（A. AiGXAD B. DiQXABC. ACi 与 DC成 45°角 D. AiCi 与 BiC成 60°角3 .设a、b是不同的直线，a、B是不同的平面，则下列四个命题中正确的是（A.若 a±b, a± a, b II oB.若 a/ a, a±

2、0, a± 0C.若 a± B, a± B,则 a/ oD.若 a±b, a± a, b± B,则 a± B4 .已知互不相等的直线l, m, n和平面a, & T,则下列命题正确的是（）A.若l与m为异面直线，l? a, m? &则a/ B；B.若 a/ B, l? a, m? B,则 l / m；C.若 aC B =J K Y =m aC Y =n l / Y,则 m / n;D.若 aX 0, pX y,则 all 就5 .在长方体ABCD- AiBiCiDi中，AB=BC=i AAi=73,则异面直线

3、ADi与DBi所成角的余弦值为（A.15C 二 D.二6 .已知直三棱柱 ABC- AiBiG中，/ABC=i20, AB=2, BC=CC=i ,则异面直线ABi与BG所成角的余弦值为（）A.- B.77 C. rD.-25537,直三棱柱ABC- AiBiG中，若/BAC=90, AB=AC=AA,贝U异面直线BA与AG所成的角等于（君IA. 30° B. 45° C. 60° D. 90 8.如图，在下列四个正方体中，A, B为正方体的两个顶点，M, N, Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB与平面MNQ不平行的是（第2页（共22页）2 .填空题

4、（共4小题）9 .在三棱锥 P ABC 中，PA1底面 ABC, AC± BC, PA=AC=BC=2 贝U直线 PC 与 AB所成角的大小是 .10 .如图所示，在棱长为2的正方体ABCD- AiBiCiDi中，点E、F分别为边CG、 BiCi的中点，点G、H分别在AAi、D1A1上，且满足 AAi=3AG, DiH=2HA,则异 面直线ER GH所成角的余弦值为 .11 .已知正四棱锥的体积为 i2,底面对角线长为2加，则侧面与底面所成的二面角等于12 .如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是3 .解答

5、题(共6小题)13.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面,E, F, G分别是AB, PC, CD的中点.求证：(1) CD± PD;(2)平面EFG/平面PAD.14 .如图，三角形ABC中，AC=BC返配，ABED是边长为1的正方形，平面ABED -W，底面ABC,若G、F分别是EC BD的中点.(I)求证：GF/底面ABC(H)求证：AC平面EBC(m)求几何体 ADEBC勺体积V.15 .如图，已知PAa矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证：MNXCD;(2)若/ PDA=45,求证：MN，平面 PCD16 .如图

6、，在正三棱柱 ABC- A1B1G中，点D是AB中点，M是AAi上一点，且AM=tAAi.(1)求证：BC /平面ACD;(2)若3AB=2AA,当t为何值时，&M，平面ACD?17 .如图所示，PA1平面ABC,点C在以AB为直径的。上，/ CBA=30, PA=AB=2 点E为线段PB的中点，点M在意上，且OM / AC.(I )求证：平面MOE/平面PAC(H)求证：平面 PACL平面PCB18 .如图，在直三棱柱ABC- A1B1C1中，底面 ABC为等边三角形，AB=4, AA1二5,点M是BBi中点(I )求证：平面 AiMCL平面AAiCiC (H)求点A到平面AiMC的

7、距离.第5页(共22页)点线面之间的关系参考答案与试题解析一.选择题(共8小题)1 .在正方体ABCD- AiBiGDi中，E为棱CD的中点，则()A. AiE± DCi B. AiE± BD C AiE± BCD. AiE± AC【解答】解：法一：连BiC,由题意得BG±BiC,.AiBi,平面 BiBCG,且 BC?平面 BiBCG,AiBiXBQ,AiBinBiC=B, BCL平面 AiECB,AiE?平面 AiECB,. AiE± BC.故选：C.法二：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DDi为z轴，建立空间直角坐标系，设正

8、方体ABCD- AiBiCiDi中棱长为2,则 Ai (2, 0, 2), E (0, i, 0), B (2, 2, 0), D (0, 0, 0), G (0, 2, 2),A (2, 0, 0), C (0, 2, 0),不二(-2, i, -2),西二(0, 2, 2), BD= (-2, -2, 0),西二(-2, 0, 2), AC= (-2, 2, 0),不?布2,同。而=2, 不前=0, 不正=6,. AiE± BQ.故选：C.a42 .在正方体 ABCD- AiBiGDi中，下列几种说法正确的是（A. AiG±AD B. DiQlABC. ACi 与 DC

9、成 45°角 D. A1C1 与 BiC成 60°角【解答】解：由题意画出如下图形：A.因为 AD / AiDi,所以/GAiDi即为异面直线AiCi与AD所成的角，而/ CiAiDi=45°,所以A错；B,因为DiCi/CD,禾I平彳T公理4可以知道：AB/ CD/ CiDi,所以B错；C .因为DC / AB .所以/ CiAB即为这两异面直线所成的角，而 在中，所以 C错；D,因为AiG/AC,所以/ BiCA即为异面直线AiCi与BiC所成的角，在正三角 形BiCA中，/BiCA=60,所以D正确.故选：D.3 .设a、b是不同的直线，a、B是不同的平面，

10、则下列四个命题中正确的是（A.若 a±b,a± a, b/oB.若 a/ a, a± 0, a±0C.若 a± B,a± B,则 a/oD.若 a±b, a± a, b± B,则a± B【解答】解：A中，b可能在a内；B中，a可能在B内，也可能与B平行或相交（不垂直）；C中，a可能在a内；D 中，a±b, a± % 则 b? a或 b/ a,又 b± &. a± 0.故选：D.4 .已知互不相等的直线l, m, n和平面a, & T,则下列

11、命题正确的是（A.若l与m为异面直线，l? a, m? &则a/ B；B.若 all B, l? a, m? B,则 l / m；C.若 aC B =J K Y =m aC Y =n l / Y,则 m / n;D.若 aX 0, pX y,则 all 就【解答】解：在A中，若l与m为异面直线，l? a, m? B,则a与B相交或平 行，故A错误；在B中，若all P, l? a, m? B,则l与m平行或异面，故B错误；在C中，若aC B =J pn Y =m aA Y =n l / %则由线面平行的性质定理得 m / n, 故C正确；在D中，若 n B,社则a与B相交或平行，故D错

12、误.故选：C.5.在长方体ABCD- AiBiCiDi中，AB=BC=1 AA1W3,则异面直线 ADi与DBi所成角的余弦值为（【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DDi为z轴，建立空间直角 坐标系，.在长方体 ABCD- AiBiCiDi 中，AB=BC=iAAi=V3, A (i, 0, 0) , Di (0, 0,加)，D (0, 0, 0), Bi (i, i g)，西=(T, 0, V3),西=(i , i, V5),设异面直线ADi与DBi所成角为9,w I西西I 2烟贝U cos 0 =>. 一 -二,|ADj|DBil 2V5 5异面直线ADi与DBi所成角

13、的余弦值为 坐. 5故选：C.6.已知直三棱柱 ABC- A1B1C1中，/ABC=120, AB=2, BC=CQ1,则异面直线ABi与BG所成角的余弦值为（A.-B -J±C.".二53【解答】解：【解法一】如图所示，设MN、P分别为AB, BB和BiCi的中点,则AB、BG夹角为MN和NP夹角或其补角（因异面直线所成角为（0,）, 2可知 MN=ABi=, 二 ，NPBG=; 22作BC中点Q,则4 PQM为直角三角形；PQ=1, MQ= AC, 2 ABC中，由余弦定理得A-aAbC：2 - 2AB?BC?coS ABC=4+1 - 2X2X1 X （ - y）二7

14、,acW,. mqH；2，在AMQP 中，MP=Mq，PQ2=4L!W第14页（共22页）在4PMN中，由余弦定理得cos/ MNP二P PT2MNNP又异面直线所成角的范围是（0,工, 2AB,与BG所成角的余弦值为 逗.5【解法二】如图所示,补成四棱柱ABCtD- A1B1C1D1,求/BGD即可；BG=阻,BD=/22+l-2X2Xixcos60 =,CiD=/5,BC/+bd2=CD， ./ DBC=90°, .cos/ BGD平=L故选：C.7,直三棱柱ABC A1B1G中，若/BAC=90, AB=AC=AA,贝U异面直线BA与AGA. 30° B. 45

15、76; C. 60° D. 90°【解答】解：延长CA到D,使得AD=AC则ADAiCi为平行四边形，/DAiB就是异面直线BAi与AG所成的角，又 AiD=AB=DB=二AB,则三角形AiDB为等边三角形，DAiB=60°故选：C.8.如图，在下列四个正方体中，A, B为正方体的两个顶点，M, N, Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB与平面MNQ不平行的是（）A.B.D【解答】解：对于选项B,由于AB/ MQ,结合线面平行判定定理可知 B不满足对于选项C,由于AB/ MQ,结合线面平行判定定理可知 C不满足题意;对于选项D,由于AB/ NQ,结合线

16、面平行判定定理可知 D不满足题意;所以选项A满足题意,故选：A.2 .填空题（共4小题）9 .在三棱锥 P ABC 中，PA1底面 ABC, AC± BC, PA=AC=BC=2 贝U直线 PC 与AB所成角的大小是 60° .【解答】 解：取PA中点E, PB中点F, BC中点G,连接EF, FG, EG,.ER FG分另I是APAB zPBC的中位线EF/ AB, FG/ PC,因此，/ EFG （或其补角）就是异面直线 AB与PC所成的角.连接 AG,则 RtAACG中，AG习ac?+Cg2=娓，eg=/ea2+ag2=，又. AB=PC=2,EF=FG=2.222由

17、此可得，在 EFG中，cos/ EFG= F= - 12EF*FG 2结合/ EFG三角形内角，可得/ EFG=120.综上所述，可得异面直线 AB与PC所成角的大小为60。.故答案为：60°.10 .如图所示，在棱长为2的正方体ABCA AiBiCiDi中，点E、F分别为边CG、 BiCi的中点，点G、H分别在AAi、D1A1上，且满足AAi=3AG, DiH=2HA,则异 面直线ER GH所成角的余弦值为_嬖_.D-G【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DDi为z轴，建立空间直角 坐标系，由题意 E (0, 2, 1), F (1, 2, 2), G (2, 0, 1

18、), H (1,。, 2), 33EF= (1, 0, 1), GH= ( 1, 0, -1), Vw设异面直线ER GH所成角的为9,_2贝U cose一叵通=4.|BF|-|GH| 折楞 10异面直线ER GH所成角的余弦值为叵.1011 .已知正四棱锥的体积为 12,底面对角线长为2加，则侧面与底面所成的二 面角等于 60:【解答】解：正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为2班,底面边长为2点, 底面积为12,所以正四棱锥的高为3,则侧面与底面所成的二面角的正切tan a表, ;二面角等于60°,故答案为60012 .如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60&

19、#176;的二面角，则异 面直线AD与BF所成角的余弦值是 退 .4 【解答】解：由题意得，CB!AB, AB± BE.可得正方形 ABCD所在平面与正方形ABEF的二面角即/ CBE=60,同时也得AB，平面BCE即AB± CE,即三角形CEF为直角三角形和三角形CBE为等边三角形;即是 EF，CE 设 AB=1,贝U CE=1 CFV2, FB=/2,利用余弦定理，得cos/cbfJ.故异面直线AD与BF所成角的余弦值是 零.43 .解答题（共6小题）13.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面,E, F, G分别是AB, PC CD的

20、中点.求证：(1) CD)± PD;(2)平面EFG/平面PAD.【解答】 证明：(1) .PAa底面ABCD - CD! PA,又矩形 ABCD中，CD±AD,且 ADA PA=A CD，平面 PAD,PD?平面 PAD, a CD± PD.(2)二.矩形 ABCD中，E、G分别是 AB、CD中点，. EG/ AD,v EG?平面 PAD, AD?平面 PAD,.EG/ 平面 PAD,.F是 PC中点，FG/ PD,v FG?平面 PAD, PD?平面 PAD,FG/ 平面 PAD,v EGA FG=G EG FG?平面 EFQ平面EFG/平面PAD14.如图，

21、三角形ABC中，AC=BC华AB, ABED是边长为1的正方形，平面ABED -W，底面ABC,若G、F分别是EC BD的中点.(I)求证：GF/底面ABC(H)求证：AC平面EBC(m)求几何体 ADEBC勺体积V.【解答】解：（I）证法一：取BE的中点H,连接HF、GH,（如图）C. G、F分别是EC和BD的中点HG/ BC, HF/ DE, （2 分）又.ADEB为正方形. DE/ AB,从而 HF/ AB .HF/面 ABC, HG/平面 ABC, HFA HG=H,平面HGF/平面ABC.GF/平面 ABC （5 分）证法二：取BC的中点M, AB的中点N连接GM、FN、MN（如图）

22、C. G、F分别是EC和BD的中点GM# BE,且.:（2 分）NF# DM 且NF-DA u又ADEB为正方形. BE/ AD, BE=AD .GM/ NF 且 GM=NF . MNFG为平行四边形GF/ MN ,又 MN?平面 ABC,.GF/平面 ABC （5 分）证法三：连接AE, ADEB为正方形， AEA BD=F 且 F是 AE 中点，（2 分）GF/ AC,又AC?平面ABC,.GF/平面 ABC （5 分）（H） ; ADEB 为正方形，. EB± AB,. GF/平面 ABC （5 分）又平面 ABEDLT面 ABC. BEX平面 ABC （7 分）BE! AC又

23、; cK+cBaB2 .AC, BC,BCn BE=BAC,平面 BCE （9 分）（m）连接 CN,因为 AC=BC CN±AB, （10 分）又平面 ABEDIN面 ABC CN?平面 ABC, CN,平面 ABED （11 分）三角形ABC是等腰直角三角形,ABy, （12 分）. C- ABED是四棱锥，Vc abed=-Sabed ©4 X 1 X卷” 114 分） -0O上 口15.如图，已知PA1矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.第17页（共22页）(1)求证：MNXCD;(2)若/ PDA=45,求证：MN，平面 PCD【解答】证明：（1）

24、连接AC, BD,设ACABD=O,连接 NO, M0,则 NO/ PAPZ平面 ABCQ NO,平面 ABCQ NOXAB, MOXAB,AB±H MNOa MNXAB,而 CD/AB, .MN，CD,（6 分）（2） v Z PDA=45a PA=AD=BQ 由 PAMACMB,得 PM=CM,又 N为PC的中点, MNXPC又 MN LCD, PCn CD=C MN,平面PCD （12分）16 .如图，在正三棱柱 ABC- A1B1G中，点D是AB中点，M是AAi上一点，且AM=tAAi.(1)求证：BC”平面ACD;(2)若3AB=2AA,当t为何值时，BM，平面ACD?【解

25、答】解：(1)如图1,取A1B1的中点E,连接BE, GE.在正三棱柱ABC- A1B1C1中，点D是AB中点，可得CD/ C1E 又因为 DB/ EA, DB=EA? BE/ DA.且 CDA DAi=D, BEA GE=E 面 EBC / 平面 ACD;V BC?面 EBC, BG?平面 ACD,BC / 平面 ACD图1(2)由在正三棱柱 ABC- A1B1C1中，点D是AB中点，可得CD±面AA1B1B.? CD± B1M ,要使BM,平面AQD,只需DALMB即可，如下图，当 DAMB 时， ADA1s A1MB1,_ AD AAi 一 _ _、一 一? 铛二t甘，又3AB=2AA, DAB为中点A1Bl 5万配 AR Til 7 4TAA i即当t=!时，B1M,平面A£D. RL- 31122第19页(共22页)1