考研高数课件新高等数学上册辅导课件——第二章上课资料

1、第二章导数与微分第一节导数概念一、导数的定义定义：若极限lim孚=lim "还十竽一"飞）存Ar-»O &Ar->0AX在，则称函数y = /（x）在点/处可导，此极限值称为函数y = /（x）在点/处的导数。记为：r（x0）vX=XQdydxX=XQdf(x)dxX=XQ（或极限lim存在也可）Xf X。X-XQlim包=limo Ax° Ax单侧导数: 左导数：lirn /(q +竺)-/(/) = lim £(%)-£(%)存在，to Axx-mx x0则称左导数存在，记为：£(X0)o右导数：lim /

2、+ &)-/)=1而 %)-/(%。)存在,Ar-> 0+AX%温X Xo则称右导数存在，记为：r(x0)o定理:I函数在X。可导当且仅当函数在X。的左右导数 I存在且相等。【例1】(89 )已知7(3) = 2 ,则3 2h【例2】(87-)设/(%)在处可导，则limx>0/( + %) /(一%)等于(A) /'(a).(B) 27(。).(C) 0.(D)/(2).例 3 (89 二)设/(x) = x(x + l)(x + 2)(x + ), 则/(0)=.【例4】(89")设/(%)在的某个邻域内有定义，则/(X)在处可导的一个充分条件是(A)

3、 lim h /(ti + -)-/(«)存在. Af+ooh(B) + 2-八。+存在hf。h(C) 存在一-o2h(D) 11m/一/(”仍存在. 2ohx2 -1(【例5】(93二)设= ( KT" * L则在点 = 12, x = 1处函数/(%)(A)不连续.(B)连续，但不可导.(C)可导，但导数不连续.(D)可导，但导数连续.X3 X v 1【例6】(94二)设/(”)=3 ' ，则/在“x2,x > 1处的(A)左、右导数都存在.(B)左导数存在，但右导数不存在.(C)左导数不存在，但右导数存在.(D)左、右导数都不存在.【例7】(96-)设函

4、数/(%)在区间(-5)内有定 义，若当工£(-5时，恒有贝|% = 0必是/(%)的(A)间断点.(B)连续而不可导的点.(O可导的点，且/'(0) = 0.(D)可导的点,且，(0)。0.【例8】(90三)设函数/(%)对任意的均满足等式f(x + l)=af(x),且有r(0)=" 其中、。为非零常数，则(A) /(%)在 = 1处不可导，(B) /(%)在 = 1处可导，且/")= "(C) “X)在x = l处可导，且广=从(D) /(%)在 = 1 处可导，f'(l) = ab,/(x)-/(x0)y（x）-/（x0）9二、导

5、数的几何意义和物理意义 导数的几何意义： 切线的斜率为： k= tan a = lim导数的物理意义：某变量对荷间，的变化率，常见的有速度和加速度。：面曲线y = /（X）的切线与法线方程切线：J = /x0)(x-x0) + /(x0)法线：J=-(x-x0) + /(x0) f (%0)【例9】（95三）设/（%）为可导函数，且满足条件1"一”一) 2x=-1,则曲线y = /(x)在点(1J)处的切线斜率为()(A) 2,(B) -1.(C)(D) -2.2三、函数可导与连续的关系函数可导则函数必连续，即：可导n连续注解：函数y = /(x)在工点可导，所以有尸(x)= lim

6、 "->0 Ar而lim 4y = lim Ar = lim lim Ax = /'(%) 0 = 0Ax>0Ax30 人丫Ar>0 八丫 Ar.0注意：反之，未必，即：|连续不一定可导|!【例10】(88三)确定常数和。，使函数ax+b.x >1 1- 口fW = 2处处可导.x X < 1【例11】(90三)设/(x)有连续的导数，"0) = 0且|7(x) + sinx 7(0)="若函数尸(x) = x ' 在A, x = 0工=0处连续，则常数A =答案：A=a+b【例12】(95二)设)可导,歹(x) =

7、/(x)(l + binx|).若方(%)在 = 0处可导，则必有()(A) /(0) = 0.(B)/(0) = 0.(O /(0) + /(0) = 0.(D) /(0)- /'(0) = 0.第二节函数的求导法则 一、基本求导公式(1) (c)，=(2)(xwy =(log"x)' =特别地：当 =e时，(lnx)f =(4) (sinx)f =(cos%)=注：剩余的后面补充 二、函数四则运算的求导法则 定理1设函数 = (%),羽= v(x)都在X处可导,即 具有导数'=/(%),，= Vz(x),则有(1) (u±vy = uf±

8、;vf(2) (uv)r = urv + uv"；'；(。)'=3 (。为常数)(u -I”uv-uvv2推广：(/ ± % ± _ ±土; 土 ±；(%4 ,%)' = ；2"+ + % Un-lUn【例】求函数y = tanx的导数。【例】求函数y = secx 的导数。补充公式：(cotx)r =(cscx)r =(5) (tanx)r =(6) (secx)' =三、反函数的求导法则定理2如果函数 =。(>)在区间人上单调、可导, 且“(y)wO,则它的反函数y = /(%)在对应区间 /

9、x = xlx = (j),j eZ 上也可导，且,(y)即：反函数的导数等于直接函数导数的倒数。【例】已知函数y =优( >0且 wl),求y'。I补充公式：(7)(优7 =(arccosx)'=特别地：当=e时，(葭)，=(8) (arcsinx)' =(arctan %)=(arccot %)=四、复合函数的求导法则(链法则) 定理3如果函数 = 0(x)在点工处可导，而函数 y = /()在X点对应的( =°(%)点处可导，则复 合函数y = 0(x)在“点处可导，且其导数为：dy _dy du dx du dx推广：y = /（）、 =。0）、

10、u = g（x）都可导,则复合函数的导数为：/uo（g（x）=r（）"w）g'（x）dy _dy du dvdx du dv dx【例1】（89二）已知尸 一 J X=arcsine求y'【例2】（90二）设尸）町sin ,则y，=X【例3】（95二）设人cossin2 匕则 V =X= 0=x硒(z a + T)=根(-96)【卿】【例5】（89三）曲线六 的切线方程是.=x + sin2 x在点号1+9）处【例6】（93三）已知尸/（3x-23x + 2/x) = arctan x2,则”。ax五、高阶导数【例8】(90-)已知函数八")具有任意阶导数,

11、 且7(%) = ")，则当为大于2的正整数时，/(%)的阶导数尸")(%)为()(A) n!/(x)w+1(B) n/(x)w+1(O /(x)2w(D) !"(%)广【例9】(93") j = sin/(x2),其中/具有二 阶导数，求会求解两个函数的和差积高阶导数的公式：(土 "产=土/")( v)5)= C>v(w) + C：' v("-D + C> " v(T)+ +C")v=9 C“。” nnk=0（莱布尼兹公式）。【例101j = 求产。第三节隐函数及由参数方程所确定的函

12、数的导数一、隐函数求导法显函数：j = /(x)隐函数：y = /(%)由方程方(%,/) = 0所确定 隐函数的求导方法I： 对方程两边直接求导，此时视y为工的函数，即关 于y的表达式是的复合函数，利用复合函数的求 导法则来求导。【例1】(92 )设函数y = y(x)由方程ex+y +cos 孙= 0确定，则孚=.dx【例2】（94三）设方程*+y2=cosx确定y为”的函数，则半=ax例3)(88二)已知y = 1 +w孙，求“.。及y"k0.【例4】(94")设y = /(x + y),其中/具有二阶导数，且其一阶导数不等于I,求修二、对数求导法 对数求导法：|先在

13、y = /(x)的两边取对数，然后利用隐函数求导方法求出y的导数的方法。 适用的对象：(1)形如y = ()"的幕指函数求导； (2)多个函数相乘的表达式求导。【例】设幕指函数y = ()“")() >0),【例5】设y = (l + *2严,求y。【例6】设y = （% -l）V（3x +1）2（2一 x）,求了与浪。三、由参数方程所确定的函数的求导法由参数方程A=0"）、所确定函数的求导公式:尸【例7】一）设x=1+t则会y = cost dx【例8】（90二）曲线的法线方程是二 cos，二 sin"上对应于，=m处 6第四节函数的微分一、微分

14、的定义x0 - AxAx2c2S = %x0 - AxAS = (x0 + Ax)2 - %； = 2x0 Ax + (Ax)2称这个近似值为面积S的微分，记为dS =2x0.Ar定义：设函数y = /(x)在某区间内有定义，/及Ax在这区间内，如果函数的增量:Av = /(%0+&)/(%0)，可表示为：Ax = AAr + o(Ar),那么称函数y =/(x)在点/是可 微的。AAx叫做函数y = /(x)在点X。相应于自变量 增量Ax的微分，记作办，即：dy = AAx,其中A是 不依赖于Ar的常数。二、微分与导数的关系定理：六/在点X可微o函数在点工处可导，且 dy = fxQ

15、)-Ax函数的微分：函数y = /(x)在任意点工的微分，称 为函数的微分，记作办或400,且办=/'0)&。三、微分的几何意义yN函数在某点的微分等于 曲线在该点切线的纵坐标的增量K微分的基本公式和运算法则 1）基本函数的微分公式(1)d(C)=(2)d(x") =(3)J(sinx)= =(7)d(loga%) =(4) J (cos x)= d(e")=(8)J(lnx)=(9)J(tanx)=(10) J (cot x)=(ll)J(secx) =(12)d(cscx)=(13)d (arcsin x)=(14)d (arccos x)=(15)d

16、(arctan x) =(16)rf (arccot x)=2)和、差、积、商运算法则(1)d(w±v)=d(C)=3）复合函数微分法则复合函数：j = /（x）, % =阿），于是办=, 但。'（，辿=,所以办=/'（%）%.这就是说，不 论X是自变量或是中间变量，函数7 =的微分 形式总是6=r（%）而，这种性质叫做微殛式而变性【例1】（91二）设y :=ln(l + 3-“)，则办=【例2】（89二）设tany = x + y,则办=【例3】（96三）设方程x = V确定y是”的函数, 贝 的 =.【例4】设y = /(lnx)/3,其中/(%)可微，则 dy

17、=本章强化练习一、导数与微分的基础1、（88二）设/（X）可导且/（/） = ,则ArfO时，/（X）在/处的微分均是（）（A）与Ar等价的无穷小.（B）与Ar同阶的无穷小.（C）比Ar低阶的无穷小.（D）比小高阶的无穷小. 答案：（B）2、(01 -)设/(0) = 0则/(%)在点 = 0可导的充 要条件为()(A)感后"l - cosh)存在.(B)(C)(D)limRl力存在.lim 上于(h-sinh)存在.D h艘""3)-/(划存在.答案:(B)3、(07二，三)设函数在x=0处连续,下列命题错误的是()(A)若lim必存在,则/(0) = 0 xf

18、O x(B)若存在,则/(0) = 010X(C)若limJ存在，则/(0) = 03° X(D)若二£(二”)存在,则r(0) = 010X4、(06三)设函数/(%)在 =。处连续，且1面”2 = 1,贝I()/。h(A)八0) = 0耻'(0)存在(B)八0) = 1%_'(0)存在(C) /(0) = 0耻'(0)存在(D) "0) = 1耻'(0)存在 答案：(D)5、(96-)设函数f(x)在区间(-&5)内有定义,若当工£(-时，恒有贝|J% = O必是/(%)的(A)间断点.(O可导的点,(D)可导

19、的点, 答案：(C)(B)连续而不可导的点.且7(0) = 0.且广(0)工0.二、函数求导3.二)设三加后则再“3、(02-)已知函数y / +6孙+，一1 = 0确定,= y(x)由方程 则 y"(0)=4、（97二）设函数六确定,求祟二，(%)由x = arctan t,O / 2 , t u 所 2y-ty +e =55、( 07 二，三)J(n)(0)=.设函数尸熹,则6、(06三)设函数/(%)在x = 2的某邻域内可导,且r（x） = e"H"2） = 1,则尸=7、(06 ")设函数g(x)可微，h(x) = e1+gM=1,/(1) =

20、 2,贝加等于()(A) ln3-l.(B) -ln3-l(C) -ln2-l(D) ln2-l三、分段函数的导数讨论1、(99 一二)设有分段函数1-COSX A7=- X > 0/(%) = 4 Vx ,其中，g(x)为有界函数。x2g(x) x < 0则/(%)在点x = 0(A)不存在极限 (B)存在极限，但不连续(C)连续但不可导(D)可导答案：(D)2、(05 一二)设函数/(%) = lim痴荷则/。)在 n>oo V(8,+8)P9(A)处处可导.(B)恰有一个不可导点.(C)恰有两个不可导点.(D)至少有三个不可导点.答案：(C)3、(03三)设/(“)=

21、"s?若"工"其导函数在0.= 0.% = 0处连续，贝IJ4的取值范围是I、导数的应用湍或然"+3一在点W)2、(99-)曲线x = e"sin2r y = J cost在(0,1)处的法线方程3v(02二)已知曲线的极坐标方程是r = l-cose,求该曲线上对应于6 = /处的切线与法线的直角坐 O标方程.4、(04 )曲线y =加工与直线 + y = 1垂直的切线方程为5、(05二)设函数y = y(x)由参数方程x = t2 + 2tj = ln(l + Z)确定，则曲线y = y(x)在=3处的法线与x轴交点的横坐标是()(B) -

22、ln2 + 38(D) 81n2 + 3(A) -ln2 + 38(C) -81n2 + 36、(98三)设曲线/(x) = x在点(1,1)处的切线与工轴的交点为(以,0),则lim/(&) = nT8五、函数的微分1、(02 ")设函数/()可导，y=/(，)当自变量在x=-1处取得增量Ax = -0.1相应的函数增量Ay的线性主部为0.1,则王=(D) 0. 5.(A) -1.(B) 0.1.(C) 1.答案：(D)2、(00二)设函数y = /(x)由方程2町=x + y所确 定，则力|i=.3、 （05 二）设y = （1 + sin则3六、奇偶函数周期函数的导数1 V (98三)设周期函数/(%)在(-8,+8)内可导, y = /(x)在点(5"(5)处的切线的斜率为周期为4,又!吧/-八17)2x(A)(B) 0.(C) -1.(D) -2.2答案：(D)2、(93-)若= -/(-x),在(0,+8)内广>0, /7x)>0,则/(X)在(-oo,0)内(A) fx)< 0""(x) v 0. (B) fx) < 0/(%) > 0.(C) fXx)> 0""(x) v 0. (D) fXx)>