考研线性代数总结

1、线性代数总结概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确A可逆r（A） nA勺列（行）向量线性无关A勺特征值全不为0Ax 只有零解x , AxA 0Rn,Ax 总有唯一解ATA是正定矩阵A EA p1P2 ps R是初等阵存在n阶矩阵B,使得AB E或AB EO：全体n维实向量构成的集合 Rn叫做n维向量空间.A不可逆r（A） nA 0A勺列（行）向量线性相关0是A勺特征值Ax 有非零解，其基础解系即为A关于 0的特征向量aEr(aE bA)(aE bA)x有非零解向量组等价矩阵等价（） 矩阵相似（:） 矩阵合同（；）具有 反身性、对称性、传递性 称为？n的标准基，？n中的自然基

2、，单位坐标向量P教小87 ,e,e2, ,en线性无关;ei，e2, en1; trE=n； 任意一个n维向量都可以用e,e2, ,en线性表示行列式的定义V行列式的计算:行列式按行a11a12Lana21a22La2nMMMan1an2LannDn(1)仅“%1旧2anjn jjL jn展开定理:行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零若A与B都是方阵（不必同阶）A B（拉普拉斯展开式） 上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积an关于副对角线:a2n 1a2nan1不同列的n

3、个元素的乘积的代数和）范德蒙德行列式:矩阵的定义由m伴随矩阵A1)mn A Bann(n 1)1)-a1na2nK an1(即：所有取自不同行11L1XiX2LXn22L2XiX2xnMMMn 1n 1Ln 1XiX2xn1n个数排成的m行n列的表a21Mam1XixjAjAiA21LAn1AI2A22LAn2MMMAnA2nLAnV逆矩阵白求法：(AME)初等行变换_1(EMA )ai2a22Mam2ana2nMamn称为m n矩阵.记作：AAj为A中各个元素的代数余子式ad bc c a主L换位 副L变号aij m n 或 Am naiaia2a2a21a31a?a3a3a31a；V方阵的

4、哥的性质：AmAn(Am)n (A)mnV设Amn, Bn s, A的列向量为1,2,n,B的列向量为则 ABCm sb11 b21Mb12 b22Mbls b2sMc1,c2,L ,csi ci ， (i 1,2 ,L ,s)Ax Ci的解示.即:C的列向量能由同理:C的行向量能由ana12即:a21Ma22Man1an2V用对角矩阵用对角矩阵bn1bnsA nA2,Ac1，c2，L ，csG,C2,L ,Cs可由1, 2, n线性表A的列向量线性表示,B的行向量线性表示,a1na2nMamnB为系数矩阵.AT为系数矩阵a111a12a1nc2Ma211a22La2nLc2cmam11 dm

5、2amncm，相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量;，相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的V两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘V分块矩阵的转置矩阵:分块矩阵的逆矩阵:分块对角阵相乘:分块对角阵的伴随矩阵:A1A22ATBTCTDTA1,BV矩阵方程的解法（A 0）：设法化成（I）1 _ 1A 1CB 1B1BAAXABAR*AB(II)XAA 1B 1CA 1A22 B22,An(1)mn B AA；A2(1)mn A B（I）的解法：构造（AMB）初等行变换（EMX）（II）的解法：将等式两边转置化为AT XT BT,用（I）的方法求出XT,再转置得X零向量是任何向

6、量的线性组合，零向量与任何同维实向量正交 . 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. 部分相关，整体必相关；整体无关，部分必无关.（向量个数变动） 原向量组无关，接长向量组无关；接长向量组相关 ，原向量组相关.（向量维数变动） 两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关P教材114 .向量组1, 2,n中任一向量i （1 w i W n）都是此向量组的线性组合向量组1, 2,n线性相关向量组中至少有一个向量可由其余n1个向量线性表示.向量组n线性无关向量组中每一个向量i都不能由其余n 1个向量线性表示.m维列向量组2, , n线性相关r(A) n；m维列向量组2, , n

7、线性无关r( A) n.n线性无关，而1 , 2,线性相关，则可由1,2, n线性表示，且表示法唯一.矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩.行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为 0;每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为 1,且这些非零元所在列的其他元素都是0时，称为行最简形矩阵? 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩，且不改变列向量间的线性关系;矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩，且不改变行向量间的线性关系 .即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.V矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对A施行一次初等

8、）变换得到的矩阵，等于用相应的初等矩阵 乘A;对A施行一次初等 例）变换得到的矩阵，等于用相应的初等矩阵 ）乘A.矩阵的秩|如果矢I阵A存在不为零的r阶子式，且任意r 1阶子式均为零，则称矩阵 A的秩为r.记作r（A） r向量组的秩向量组1, 2,L , n的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作 r( 1, 2,L , n)矩阵等价 A经过有限次初等变换化为B.记作：A%B向量组等价n可以相互线性表示.记作:1 , 2,% 1, 2, n? 矩阵A与B等价 PAQB,P,Q可逆r(A)r(B), A, B为同型矩阵A, B作为向量组等价，即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵A与B作

9、为向量组等价r( 1 , 2 ,n) r(1, 2 ,n) r( 1,2,矩阵A与B等价.? 向量组2,S可由向量组1 , 2,n线性表示AXB有解r(n)= r(2, s)r ( 1, 2 ,s)< r(2, n ) .? 向量组1,2,s可由向量组2,n线性表示Ms n，则 1 , 2,s线性相关.向量组1,2,s线性无关，且可由1,2, n线性表示，则swn.? 向量组1,2,s可由向量组2,n线性表示，且r(1, 2,s) r( 1, 2, , n),则两向量组等价;p教才94,例10?任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价?向量组的极大无关组不唯一，但极

10、大无关组所含向量个数唯一确定若两个线性无关的向量组等价，则它们包含的向量个数相等设A是m n矩阵，若r(A)m, A的行向量线性无关;V矩阵的秩的性质:r(A)n, A的列向量线性无关，即:1, 2 ,n线性无关.r(A) > 1r(A)0 & r(Am n) & min(m,n) r(A)r(AT) r(ATA) p翡。 r(kA)r(A)若 k 0若Amn,Bns, 若r(AB) 0r(A) r(B)B的列向量全部是Ax r(AB) < min r(A),r(B)若A可逆© 若B可逆r(AB) r(B)r(AB) r(A)即：可逆矩阵不影响矩阵的秩Ax

11、 只有零解 若 r(Am n)r(AB) r(B)A 在矩阵乘法中有左消去律ABABO BOAC B C若 r(Bn s)r(AB) r(B)B在矩阵乘法中有右消去律. 若 r(A) rA与唯一的ErO等价，称ErO为矩阵A的等价标准型. r(AB) w r(A)r(B)max r(A),r(B) & r(A, B) & r(A) r(B)p翡OOBBr(A) r(B)ACr O B r(A) r(B)可由1,2,L , n线性表示Ax 有解 r(A) r(AM )Ax 有无穷多解表示法不唯一1, 2,L , n线性相关当A为方阵时不可由2,L , n线性表示Ax 无解r(A)

12、 r(A) r(A)r(AM ) r(AM ) 1 r(AM )Ax有无穷多解其导出组有非零解Ax0有非零解Ax有唯一解其导出组只有零解线性方程组的矩阵式Ax向量式xia11a12Ax有唯一组解表示法唯一当A为方阵时克莱姆法则i,2,L , n线性无关教材72讲义871x22 Lxn nAx只有零解a21A 21Ma22Malna2nM,xx2Mh b2 M1jamidm2amnxnmjxi(1,2 1L , n)x2Mxn矩阵转置的性质：(AT)T A(AB)T BTAT(kA)TkATATIA(A B)T AT BT(A1)T (AT) 1(AT ) (A )T矩阵可逆的性质：11(A )

13、 A_1_ 11(AB) B A111(kA) k AA1IA1_11_ 1(A B) A B(A 1)k (Ak) 1 A k伴随矩阵的性质：(A ) An 2 A(AB) B A(kA) kn1AAllAn1* * *(A B) A B(A1)(A)1 pA(Ak)(A)kn若 r(A)nr(A )1若r(A)n10若 r(A)n1|AB A bkA kn AAkIAka B IA IBAA AA |AE （无条件恒成立）(2)是 Ax(3)1, 2,L齐次方程组1, 2Ax的解，12也是它的解的解,对任意k,k也是它的解k是Ax的解,对任意k个常数1, 2,L , k,1 12 2 k

14、k也是匕的解线性方程组解的性质：(4)(5)(6)(7)是Ax的解，是其导出组Ax 的解,2是其导出组设A为m n矩阵，若r(A)2是庆*1, 2 ,L的解，则,3Axr(A)1也是它的解1的解,则r(AM )是Ax的解Ax 的解2是其导出组Ax也是Ax的解是Ax 0的解Ax一定有解,的解1当m n时，一定不是唯一解方程个数向量维数未知数的个数心目人好，则该向量组线性相关. 向量个数m是r(A)和r(AM )的上限.V判断1, 2,L , $是人乂的基础解系的条件:1, 2,L , s线性无关;1, 2,L , s都是Ax 的解;s n r(A)每个解向量中自由未知量的个数V 一个齐次线性方程

15、组的基础解系不唯一，若 是Ax的一个解，1, ,L , 渥Ax 的一个解 1, ,L , s,线性无关V Ax 与Bx 同解(A, B列向量个数相同)，则: 它们的极大无关组相对应，从而秩相等;它们对应的部分组有一样的线性相关性； 它们有相同的内在线性关系 A，两个齐次线性线性方程组Ax 与Bx 同解 r r(A) r(B).B两个非齐次线性方程组 Ax 与Bx都有解，并且同解AM rBMr(A) r(B).V 矩阵Am n与Bl n的行向量组等价齐次方程组 Ax 与Bx 同解 PA B (左乘可逆矩阵 P );p教材101矩阵Am n与Bl n的列向量组等价AQ B (右乘可逆矩阵 Q).V

16、 关于公共解的三中处理办法：把(I)与(II)联立起来求解； 通过(I)与(II)各自的通解，找出公共解；当(I)与(II)都是齐次线性方程组时，设 1, 2, 3是(I)的基础解系，4, 5是(II)的基础解系，则(I)与(II)有公共解基础解系个数少的通解可由另一个方程组的基础解系线性表示即：r(1, 2, 3) r( 1, 2 , 3 Mc1 4 C2 5)当(I)与(II)都是非齐次线性方程组时，设1011c2 2是(I)的通解，2C3 3是(II)的通解，两方程组有公共解2C3 31可由1, 2线性表示. 即：r( 1, 2) r( 1, 2M2C3 31)设(I)的通解已知，把该通

17、解代入(II)中，找出(I)的通解中的任意常数所应满足(II)的关系式而求出公共解。标准正交基n个n维线性无关的向量，两两正交，每个向量长度为1. n4=TT/向重a1，a2,L ,an 与h,b2,L ,bn 的内积 (，) abJaQ a2b2 Lanbn i 1与正交 (,)0. 记为： n向量a1，a2,L刀口的长度| | J(,) 靖 a2L£ i 1是单位向量11| | 7( , ) 1.即长度为1的向量.V内积的性质： 正定性：(，)0,且(，)0对称性：(，)(，)双线性：(,12) ( , 1) ( , 2)(12, ) ( 1, ) ( 2, )(C ,)C( ,

18、 ) ( ,C )A的特征矩阵E A.A的特征多项式1| E A ().V ()是矩阵A的特征多项式(A) OA的特征方程| | E A 0.Ax x ( x为非零列向量)Ax与x线性相关nV a 1 2L ni tr A , tr A称为矢I阵A的理.1V上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n各元素.，若A 0,则0为A的特征值，且Ax的基础解系即为属于0的线性无关的特征向量.a1a?2V r(A) 1A一te可分解为A=bi,b2,L ,bn、A 立a2b2Lanbn)A,从而 A的特征Man值为：1 tr A a1b1 a2b2 Lanbn,23 L n 0 p指南358.

19、TO a,a2,L ,an为A各行的公比，b1,b2,L ,bn为A各列的公比.V若A的全部特征值 1, 2,L , n, f (A)是多项式，则： 若A满足f(A) OA的任何一个特征值必满足f( i) 0 f (A)的全部特征值为 f ( 1), f( 2),L , f ( n) ； |f (A) f( 1)f( 2)L f( n).V初等矩阵的性质：E(i,j)|1忙i(k)k|Ei,j(k)|1E(i,j)TE(i, j)Ei(k)TEi(k)Ei, j(k)TEj,i(k)_1E(i,j)E(i, j)_1Ei(k)Ei(i1)_1Ei, j(k)Ei, j( k)*E(i,j)E(

20、i, j)*Ei(k)kEi6)*Ei, j(k)Ei,j( k)V 设 f(x)amxmam1xm 1La1xa。，对 n 阶矩阵A规定：f (A)amAmam1Am1 La1Aa°E 为A的一个多项式kAaA bEAT，是A勺特征值，则：A 1分别有特征值A A2 Am1 2L 3kAV x是A关于 的特征向量，则x也是aA bEA 1AA2Am关于|A|1 2L 3的特征向量.V A2, Am的特征向量不一定是A的特征向量.v A与AT有相同的特征值,但特征向量不一定相同A与对角阵V A可相似对角化1 _1AP1 _1APn r( iE（P为可逆矩阵）（P为正交矩阵）相似.记为

21、：A:A) ki的特征向量拼成的矩阵，P 1AP为对角阵征向量，则有:A( 1, 2,L , n) (A 1,A 2,L ,A n)(1 44 2 4 43P记为:A: B（称是A的相似标准形）ki为i的重数 A恰有n个线性无关的特征向量，主对角线上的元素为A的特征值.设1 1， 2 2，L ， n n)(1, 2,L , n)i为对应于i44 2 4 43P.这时，P为A的线性无关的特442 4 4 a当i 0为A的重的特征值时， A可相似对角化i的重数n r( A)Ax基础解系的个数.V 若n阶矩阵A有n个互异的特征值A可相似对角化.V若A可相似角化，则其非零特征值的个数(重根重复计算)r

22、(A).g( 1)V 若 A:Ak = P kP 1 , g(A) Pg( )P1 Pg( 2)0P 1g( n)V相似矩阵的性质： E A E B ,从而A, B有相同的特征值，但特征向量不一定相同 Ox是A关于0的特征向量，P 1x是B关于0的特征向量. tr A tr B A B 从而A,B同时可逆或不可逆 r(A) r(B) AT : BT ； A 1 : B 1(若 A,B 均可逆)；A : B Ak:Bk(k 为整数)；f (A) : f (B) " f(A) | f (B)A B A: B,C : DC D。前四个都是必要条件.V数量矩阵只与自己相似.V 实对称矩阵的性

23、质： 特征值全是实数，特征向量是实向量； 不同特征值对应的特征向量必定正交；O：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；一定有n个线性无关的特征向量.若A有重的特征值，该特征值i的重数=n r( iE A)； 必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形;与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形；两个实对称矩阵相似有相同的特征值正交矩阵| AAT EV A为正交矩阵A的n个行（列）向量构成 ？ n的一组标准正交基，正交矩阵的性质： AT A1； AAT AT A E ；正交阵的行列式等于 1或-1; A是正交阵，则N , A 1也是正交阵；两个正交阵之积仍是正交阵； A的行（列）向量都是单位正交向量组.n n二次型f(x1,x2,L ,xn) x Axaijxixji 1 j 1A与B合同| CTAC B . 记作：A ; B(x1,x2,L ,xn)T)r P正惯性指数 二次型的规范形中正项项数paj aji ,即A为对称矩阵，x（A,B为实对称矩阵，C为可逆矩阵 负惯性指数上次型的规范形中负项项数符号差 2p r （r为二次型的秩）V两个矩阵合同它们有相同的正负惯性指数他们的秩与正惯性指数分别相等.V 两个矩阵合同的充分条件是：A: BV 两个矩阵合同的必要条件是：r（A） r（B）/正交变换口V