【期末专项复习】人教版数学九年级(上)第24章：圆压轴题专项训练(附详细解答)

1、【期末专项复习】第24章：圆 压轴题专项训练1 .如图，RtAABC, / AB生90° ,以AB为直径作。，点D为。上一点,且CA CB,连接DW延长交CB的延长线于点E.(1)判断直线CD与。的位置关系，并说明理由；求AC的长.2 .如图，AB是。的直径，AC平分/DA眩。于点C,过点C的直线垂直于AD交AB的延长线于点P,弓C CE交AB于点F,连接BE.(1)求证：P皿。的切线;(2)若P堤PF,试证明CE平分/ACBD3 .如图，已知点E在4ABC的边AB上，/ C= 90° , / BAC的平分线交BC于点D,且D在以A为直径的。上.(1)求证：BC是。的切线;

2、4 .在直角三角形 ABC中，/ C= 90° , / BAC的角平分线AD交BC于D,彳AD的中垂线交AB于O,以。为圆心，OA为半径画圆，则BC与。的位置关系为 证明你的猜想.5 .如图，AB为。的直径，直线BMLAB于点B,点C在。上，分别连接BC,AC且AC的延长线交BM于点D, CF为。的切线交BM于点F.(1)求证：C曰DF；(2)连接OF若A五10, BG= 6,求线段OF的长.6 .如图，4ABG内接于。O,且AB为。的直径，ODLAB,与AG交于点E, /D= 2/A.(1)求证：GD。的切线；(2)求证：DE= DG(3)若 O*5, G*3,求 AG的长.7 .

3、如图，直角坐标系中，O M经过原点O (0, 0),点A 监,0)与点B (0,-1),点D在劣弧OAh,连接BD交x轴于点G,且/ GOD= / GBO(1)请直接写出。M的直径，并求证BD平分/ABO(2)在线段BD的延长线上寻找一点E,使得直线AE恰好与。M相切，求此时点E的坐标.8 .如图，在 AB。, BA= BC,以AB为直径作。O,交AC于点D,连接DB过 点D作DE，B。垂足为E.(1)求证：AD= CD(2)求证：DE为。的切线.(3)若/ C= 60° , DE=V3,求。O半径的长.9 .如图，在 ABC, A五AC,以AB为直径的。O分别与BC AC交于点D、

4、E,过点D作DFJ_AC于点F.(1)若。的半径为3, /CDM 150 ,求阴影部分的面积;(2)求证：DF是。的切线;(3)求证：/ ED已 /DAC10 .已知： ABCft接于。Q AB是。的直径，作EG!AB于H,交BC于F,延长GE交直线MCT D,且/ MC集/ B求证:(1) MO。的切线；(2) DCF等腰三角形.11 .如图，AB是。的直径，弦CD! AB,垂足为H,连接AC过丽上一点E作EG/ ACc CD的延长线于点G,连接AE交C"点F,且E至FG,连接CE(1)求证：EG是。的切线；(2)延长AB交GE的延长线于点 M若AH= 3, C+ 4,求EM的化1

5、1 / 26(2)设 ABC#接圆的圆心为 Q若A五DH* / OHB 8012 .如图，D是4ABC外接圆上的动点，且 B, D位于AC的两侧，DEL AB,垂足为E, DE的延长线交此圆于点F. BGLAD垂足为G, BG交DE于点H, DC FB的延长线交于点P,且PC= PB.(1)求证：BG/ CD,求/ BDE的大小.13 .已知：AB为。的直径，AB= AC B喙。于点D, DEL AC于E.(1)求证：DE为。的切线;(2)连接BE交圆于F,连AF并延长ED于G,若GE= 2, AF= 3,求/ EAF的度的切线交DOT点E,连接BC交DOT点F.(1)求证：CE= EF；(2

6、)连接AF并延长，交。于点G.填空：当/D的度数为时，四边形ECF劭菱形；当/D的度数为时，四边形ECOG；止方形.口15.如图，以 ABC的边AB为直径画。0,交AC于点D,DE BD 设BE交AC于点F,若/ DE氏/ DBC(1)求证：BC是。的切线；(2)若BF= BG= 2,求图中阴影部分的面积.b9半径0日/ BD连接BE,14.如图，AB是。的直径，DOL AB于点Q连接DA交。于点C,过点C作。O16 .已知BC是。的直径，点D是BC延长线上一点，AB= AD AE是。的弦, /AEG 30° .(1)求证：直线AD是。的切线；(2)若AE±BC垂足为M。的

7、半径为4,求AE的长.17 .如图，以 ABC勺边AC为直径的。恰为 ABC的外接圆，/ ABC的平分线 交。于点D,过点D作DE/ AC交BC的延长线于点E.(1)求证：DE是。的切线；(2)若 AB= 2通，BC=4,求 DE的长.18 .如图，在ABC, A五AC ACL BC于点O, OEL AB于点E,以点。为圆心, OE为半径作半圆，交AO于点F.(1)求证：AC是。的切线；(2)若点F是OA的中点，。白3,求图中阴影部分的面积；(3)在(2)的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写 出BP的长.参考答案vCB=CCi C0= CQ OB=OQ /.OCAOC

8、p. / OD&/OB康 90° ,.ODLDQ.DC是。的切线.(2)解：设。的半径为r.在 RtAOBE, OE= EB+OB,(8-r) 2=r2+42,. r = 3,.+ /c_OB_CDtan,巳Eg DE，,3_CD一1-T，CD= BC= 6,在 Rt ABC中，A心7AB2+BC2=底了 =.2.证明：(1)连接0。如图，. ACO/ dabZ 1 = /2,.o/oqZ 1 = Z3,.-Z2=Z3,. CO AD,. ACL CDoa cr. PD是。的切线；(2) v OCL PC ./PCE+/BCa90° , AB为直径， /AC氏90&

9、#176; ,即/ 3+/BCQ ./3=/PCB而 / 1 = /3,./ i = /pcbPC= PF, / PCR / PFC而/PC已 Z PCB-Z BCF / PFC= /1+/ACF./ BCF= / ACF即CE平分/ ACB3. (1)证明：连接OD /OA= OD / OA也 / ODA. ADW / BAC / OA也 / CAD . / ODA= / CADOD/ AC,又. / C= 90 ° ,. / OD& / C= 900 , ODL BC,.BC是。的切线.(2)过O作O吐AD于F,由勾股定理得：AD= 2%/后,DF=，AD= I；. /O

10、F& /C= 900 , / OD每 /CAD .ACS ADFO即圆心O到AD的距离是之通.4.解：BC与。O相切.理由如下：连接OD如图， . ADW/ CAB/ 1 = /2,AD的中垂线交AB于O, O阵 od / 2=/ 3,/ 1 = /3, . OD/ AC,. ACL BC, ODL BC,# / 26.OM。的切线.故答案为相切.5. (1)证明：连接OC,如图，.CF为切线,OCL CF,. / 1+Z 3= 90° ,BML AB,Z2+Z 4= 90° ,. OC= OB./ 1 = /2, / 3= / 4, AB为直径， /AC氏900

11、,. /3+/ 5= 90° , / 4+/ BDC= 90° , ./ BDC= / 5, .CF= DF；(2)解：在 RtABC中，AC=Vi砥了 =8,/ BAC= / DAB . .AB AABD: / 3=/4, . FC= FB,而 FC= FD. F* FB,而 B0=AQ .OF为 ABD的中位线,.O曰-A 26. (1)证明：连接OC如图,OA OC / AC(O A A, / CO屋 / A+/ACO= 2/A,又. / D= 2/A,. D= /COB又. ODL AB, ./COB/CO®90° . /D+/CO及 90

12、76; .即/DC注900 , OCL DC又点C在。O上，CD。的切线；(2)证明：:/ DCG90° , /DCE/ACd90° .又. ODL AB, /AE/A= 90° ,又/ A= / ACO / DEC= / AEO ./ DEG= / DCEDE= DC 3)解：. / DCG90° , O* 5, DC= 3, .OC= 4, .AB= 20G 8,又 D& DC= 3, 0m OD- D± 2,./A= /A, / AO匿 /AC氏 90 .AOE AACBOA OE''AC F BCBCACOEOA

13、29 / 26BO -AC, ri-i在ABC, AC+BC= A廿, . AC+4aC=82,4.AC=lpL7.解：二.点 A(J, 0)与点 B (0, - 1), . .O 属。OB= 1, AB是。M的直径， .OM的直径为2, / COR / CBO / COB / CBA / CBd /CBA即BD平分/ ABO(2)如图，过点A作AE± AB于E,交BD的延长线于点E,过E作EFLOAT F, 即AE是切线，.在RtzXACB中，tan/OA昆曰，=有=乎， ./OA& 300 ,./ABO= 900 , /OB库600 , /ABC /OBCN 部。=30。

14、，12.OG OB?tan30 0 =1 x.V3.V3 . AC= OA OC=p, ./ACE= / ABG/ OA氏 60 /EAG 60° , .ACE®等边三角形, .O已 OA AF=AE= AC= . AF=AE=2对3=1,点E的坐标为(8. (1)证明：: AB为直径, /AD氏900 ,BA= BC,AD= CD(2)证明：连接OD如图,AD= CD A0= OB .0以zBAC的中位线, . OD/ BC, DEL BC, ODL DE,.DE为。的切线；V3X2斤 2,(3)解：在 RtCDE中，/ C= 60° , DE=心.C* 2CE

15、= 4, ./A= /C= 600 , AD= C*4,在 RtADB中，AB= 2AA8,即。O半径的长为4.9. (1)解连接OE过O作OML AC于M,则/ AM 90v DF，AC, /DF生 900 ,/ FD生 15° , ./ C= 180° - 900 - 15° =75° ,AB= AC, /ABG /C= 750 , /BAG 180° /ABO /C= 30° , /OA= OE OML AC.AE= 2A处 3. ： /BAG /AEO- 30° , /AOM180° 30° 30

16、° =120° ,;阴影部分的面积S= S扇形aolSa ao.120兀X弟父犯 x- = 3k -迄;36。2 "口 24(2)证明：连接ODaABa AC, OB= OD ./ABG= /C, / AB生 ZODB /ODD / C, . AC/ ODv DF，AC, . DF，OD. ODS O, .DF是。的切线；(3)证明：连接BE, .AB为。的直径， /AE艮 900 ,b BEX AC,v DF± AC,BE/ DF, ./ FDC= / EBC / EBC= / DAC / FD生 / DAC A、R D. E四点共圆, ./ DEF=

17、 /ABC / ABC= / C, ./ DEG= / C, v DF=1 AC, / EDF / FDC ED£ / DAC10.证明：(1)连接OC如图, AB是。的直径， /AC氏900 ,即/2+/ 3= 90° , vOB= OC. B= /3,而 / 1 = / B,/ 1 = /3, . / 1+7 2=90° , 即/OCM90。， .OCL CMMd。的切线；(2) EGL AB,. / B+/ BF+ 90° , 而/ BF6 /4,. /4+/B= 90° , MM切线， .OCL CD. /5+/ 3= 90°

18、 ,而/3=/B, / 4= / 5, .DCF等腰三角形.11.解：(1)如图，连接oeV FG=EG./GEM / GF昆 /AFH| O是 OE丁. / OAM / OEACD! AB, /AFH/FA+ 90° , /GE+/AEd 90° , /GEG 900 ,.GEL OEEG是。的切线；(2)连接OC设。的半径为r,. Ak3、Ck4, O用r -3, OC= r,贝U (r - 3) 2+42 = r2,25解得：r=§,. GIW AC,/ CAW / M/ OEH / AHC.AHC MEO25解得：E隹12. (1)证明：如图 1, v P

19、(C= PB, PC氏 / PBC 四边形ABC时接于圆, ./BAI+/BC氏 180° , /BCB/PC氏 180° , / BA比 / PCB/ BA住 / BFQ / BFA / PC氏 /PBCBC/ DF,v DEL AB, /DE民900 , /ABG 900 , .AC是。的直径， ./ADC= 90° ,v BGL AD,. ./AG&90° , ./ADC= / AGBBG/ CD(2)由(1)得：BC/ DF, BG/ CD 四边形BCDH平行四边形， . BG= DH在 RtABC中，AB= VSDFjABrtan ZA

20、CB=DU UE /AC氏 600 , / BA生 30 /AD氏60。，BG= =AC D+ -AC,则/ DA阵90当点O在DE的左侧时，如图2,作直径DM连接AM /AMD/AD阵 90°DEL AB, /BE比900 , ./BDEVABA 900 , ./AMD= /ABD /AD阵 / BDEv D+AC,D+ OD. /DO吐 /OH及 80° , OD比 200. /AD氏60° , /ADM/BD140° , ./BDE= /AD阵20° ,当点O在DE的右侧时，如图3,作直径DN连接BN 由得：/ ADJ/BDK20

21、6; , /OD吐20° , BD昆 / BDM/ OD比 400 ,D13. (1)证明：连接OD如图,.OB= OD / OB也 / ODBAB= AC,丁. / ABC= / C, OD邑 / C, ODI AC,v DH AC, ODL DE, .DE为。的切线；(2)解：: AB为直径, ./AFB= 90° , / EG展 / AGF RtAGEF ARtAGAE鼠=空明_=型GA EG'即弭GF2 '整理得GF+3GF- 4 = 0,解得G三1或G曰-4 （舍去），nr1 91在 RtAAEG, sin / EA（3=,HU J.T 3 Z/E

22、AG30° ,即/EAF的度数为30° .14 . (1)证明：连接OG如图，.CE为切线，oacE, / OC匿90° ,即/ 1+/4 = 90° ,V DQLAB,. /3+/B=90° ,而/ 2=/3, /2+/B=90° ,而。氏OG/ 1 = /2,/. CFE；(2)解：当/ D=30° 时，Z DAQ=60 而AB为直径，/. ZACB=90 ,ZB=30° ,.Z 3=72 = 60° ,而 CP FE, .CEF为等边三角形，.CCF=EF,同理可得/ GF昆60° ,利用

23、对称得FG= FC,v FG= EF, .FEG为等边三角形，E氏 FGEF= FG= GE= CE 四边形ECFG%菱形;当/D= 22.5 时，/ DAd 67.5 ° ,而 OA= OC /OC每 /OA康 67.5 0 ,. ./AO* 180° - 67.5 0 - 67.5° =45. ./AO*45° , /COa45° ,利用对称得/ EOG 450 ,. ./CO®900 ,易得OEC2 AOEG /OG曰 /OC匿 90° , 四边形ECO劭矩形，而O生og四边形ECO叨正方形.故答案为30°

24、, 22.5 .15 .证明：（1）;AB是。的直径, ./AD&900 ,Z A+ZABD=90° ,/A=/DE§ Z DEB=Z DBQZ A=ZDBQ /DBG/ABD=90 ,/ CB氏 / FBQOB BD, ./ FBD=Z OE§ o 白。玲 / OE乐/ OBE/CB&/OEB=/OB叁m/ADB=L><90° =30° , 33'Z C=60° , . AB=V3BC=2V3, .。0的半径为：阴影部分的面积=扇形DOB的面积-三角形DOB的面积=1 V3 n 573Knx3X316.解：(1)如图，v Z AE(30 ,Z AB(30 ,v AB=AD, .D=/AB(30° ,根据三角形的内角和定理得，Z BAA120。，连接 OA . .OA= OB /OA& /ABC 30° , /OA乐 /BA> ZOAB900 ,OAL AD, 点A在。O上,直线AD是。的切线；(2)连接 OA / AE生 30° , /AO&a