尺规作图角平分线

1、、尺规作图1.作一个角等于已知角的方法B'作法：1 .以点。为圆心，任意长为半径画弧，分别交 OA OBT点G D;2 .画一条射线 O A ,以点O'为圆心，OC£为半径画弧，交 O' A于点C'3 .以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第 2步中所画的弧交于点 D'4 .过点 D'画射线 O B',则/ A O' B' =Z AOB.2. 先任意画出一个 ABC.再画一个 A B' C',使A B ' =AB , B ' C' =BC, C' A =CA

2、.作法：画一个 A B' C'，使 A B' =AB, A ' C =AC, B' C =BC :(1)画 B' C' =BC;(2)分别以点B' ,C'为圆心，线段 AB, AC长为半径画弧，两弧相交于点 A'(3)连接线段A B' , A' C .二、角的平分线 导入:小明家居住在通州区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P点，要从P点建成两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连问题1:怎样修建管道最短问题2:新修建的两条管道的长有什么关系，画来看一看图是一个平分角的

3、仪器，其中AB= AD, BC=DC将点A放在角的顶点，AB和AD着角的两边放下，沿AC画一条射线AE, AE就 是这个角的平分线，你能说明它的道理吗A图 12.37作已知角的平分线的方法./1已知：/ AOB.2求作：/ AOB的平分线.作法：（1）以点。为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M,交OB于点N.（2） 分别以点M, N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在/ AOB勺内部相交于点C.画射线OC射线OC即为所求（如图）.理论根据：作角平分线的理论根据是三角形全等的判定方法:“SSS'.拓展：根据角平分线的作法还可以作已知角的四等分线.注意：“大于 MN的长为半径画弧”是

4、因为若以小或等于出的两弧不能相交.MN的长为半径画弧时，画如图所示，已知/ AOB求作：/ AO阵ZAOB.角的平分线的性质如图，任意作一个角/ AOB作出 /AOB的平分线 OC.在OC上任取一点 P,点P画出OAOB的垂线，分别记垂足为 D, E,测量PD, PE并作比较，你得到什么结论在OC上再取几个点试一试.通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质1.性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.要点精析：(1)点一定要在角平分线上；(2)点到角两边的距离是指点到角两边垂线段的长度;(3)角平分线的性质可用来证明两条线段相等.2.书写格式：如图，: OP平分/ AOBPD ±

5、 OA 于点 D, P已 OBT点 E,PD= PE.例 1、如图,/ AOCW BOC 点 P 在 OC 上，PDL OA,PE! QB垂足分另1J为 D, E.求证PD=PE.证明： PDL OA, PEXOB, / PDOh PEO=90 .在 PD丽 PEO43,/ PDO之 PEO, / AOC之 BOC,OP=OP,. PDO PEO(AAS). .PD=PE.例 1】如图，在 ABC 中，/ C= 90° , AD 平分/ CAB DEL AB 于 E, F 在 AC 上，BE= FC,求证：BD= DF.导引：要证 BD= DF,可考虑证两线段所在的4BDE和 FDC

6、全等，两个三角形中已有一角和一边相等，只要再证 DE= CD即可，这可由 AD平分/ CAB及垂直条件证得.1、如图，在直线 MNLh求作一点巳使点P到射线OA和OB的距离相等2、如图，在 ABC中，/ 0= 90° , AC= BC, AD平分/ CAB交BC于D, D已AB于E,若AB=6 cm ，则 DBE的周长是（）A . 6 cm B . 7 cm C . 8 cm3、如图，已知在 ABC中，CD是AB边上的高线,DE= 14,则 BCE的面积等于 BE 平分/ ABC 交 CD于点 E, BC= 50,总结：角的平分线图形结构中的“两种数量关系”：如图，OC平分/ AOB

7、 PD± OA于D, PELOB于E, DE交OC于点F.(1)角的相等关系：/ AOC= / BOC= / PDF= / PEF/ OD母 / OE已 / DFO= / EFO= / DFP= / EFP =90° ;/ DPO= / EPO= / ODF= / OEF.(2)线段的相等关系：OD= OE DP= EP, DF= EF.三、角平分线的判定角平分线的性质为：角的平分线上的点到角的两边距离相等交换上述已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗判定方法：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.书写格式：如图，PD）± OA PH OB PA

8、 PE,.点P在/ AOB的平分线上（或/ AOC= / BOC）【例1】 如图，BE= CF, DF± AC于点F, DEI AB于点E, BF和CE相交于点 D.求证：AD平分/ BAC.导引：要证AD平分/ BAC已知条件中有两个垂直，即有点到角的两边的距离，再证这两个BD讶口 CDF全等来完成.距离相等即 可证明结论，证这两条垂线段相等，可通过证明证明角平分线的“两种方法”(1)定义法：应用角平分线的定义 .(2)定理法：应用“到角两边距离相等的点在角的平分线上”来判定 .判定角平分线时，需要满足两个条件：“垂直”和“相等”.1、在正方形网格中，/ AOB的位置如图所示，到/

9、 AOB 两边距离相等的点应是()A .点M B .点N C .点P D .点Q2、如图，在四边形 ABCD43, AB= CD BA和CD的延长线交于点 E,若点P使得S；A PAB= SAPCtD则满足此条件的点 P( )A .有且只有1个B .有且只有2个C.组成/ E的平分线D.组成/ E的平分线所在的直线(E点除外)三角形的角平分线如图， ABC的角平分线 BM CN相交于点P.求证：点P到三边AB, BC, CA的距离相等三角形得角平分线的交点到三边的距离相等，这个交点叫作三角形的内心1到 ABC的三条边距离相等的点是 ABCW ()A .三条中线的交点B .三条角平分线的交点C .三条高的交点D .以上均不对2如图，4ABC的三边AB, BC, CA的长分别为40, 50, 60,其三条角平分线交于点 O,则 S ABO： SA BCO： SACAO=.3如图， ABC的/ABC的外角的平分线 BD与/ACB的外角的平分线 CE相 交于点P.求证：点P到三