二次函数经典解题技巧分析(详细解答).doc

1、第二讲 二次函数综合问题二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延.作为最基本的初等函数,可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机 联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系.这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题.同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础.因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了 .学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征.从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这

2、种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形 的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法.本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题.1 .代数推理由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形(一般式、顶点式、零点式等)，所以，在解决二次函数 的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质1.1 二次函数的一般式 y ax2 bx c (c 0)中有三个参数 a,b,c.解题的关键在于：通过三个 独立条件“确定”这三个参数 .例1 已知f(x) ax2 bx,满足1 f( 1) 2且2f(1) 4 ,求f ( 2)的取值范围.

3、分析：本题中，所给条件并不足以确定参数a,b的值，但应该注意到:所要求的结论不是f 2的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此,我们可以把f( 1)2和2 f (1) 4当成两个独立条件，先用f 1和f 1来表示a,b.解：由f 1 ab可解得:将以上二式代入f(x)3ff(1)10.ax212(f(1)ax2 bx ,1 f( 1)bx c af( 1),并整理得f(2,f( 1)*)1)1,1,f -11 ,试证明：对于任意1,有分析:同上题，可以用f 0 , f 1 , f 1来表示a,b,c.解:12(f12f10)，b 2(f(1)f(1),c f 0 ,f 1 a b c,

4、f 1 a b c, f 0 c,0 x x1X2一x 0时,2x2x x2x22l x22x2 x(1x2)(xx 12)21时，(1x2)2.x x 11 2(x -)2综上，问题获证1.2利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式y ax x1 x x2 .设二次函数f xax2 bx c a 0 ,方程f x x 0的两个根x1, x2满足1 r0 x1 x2 .当 x 0, x1 时，证明 x f xx1 .a分析：在已知方程f xx 0两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数表达式，从而得到函数 f(x)的表达式证明：由题意可知f (x) x a(x x1)(xx2).

5、a(x xj(x X2) 0,当 X0,X1 时，f(x) X.又 f(x)x1 a(x x1)(x x2)xx1(x x1)(axax21),xx10,且 ax ax2 11ax20,f (x) xi,综上可知，所给问题获证.例4已知关于x的二次方程xm 2, 1m 2,m 1 J2 或 m 1 V2, 1 m 0.+2mx+2m+1=0若方程有两根，其中一根在区间(一1, 0)内，另一根在区间(1, 2)内，求m的范围.(2)若方程两根均在区间(0, 1)内，求m的范围,命题意图J本题重点考查方程的根的分布问题，知识依托：解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义.错解分析

6、 用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的难点技巧与方法3设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制 .解(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(1, 0)和(1, 2)内，画出示意图,f (0) 2m 10,f( 1) 2 0, f (1) 4m 20,f (2) 6m 50m R,1256(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0,1)内，列不等式组f(0) 0,f(1) 0,0,0 m 11.3紧扣二次函数的顶点式b2a4ac4ab2,对称轴、最值、判别式显合力例5 已知函数f(x) 2zAx °2x(1

7、)将y f(x)的图象向右平移两个单位，得到函数y g(x),求函数y g(x)的解析式;(2)函数y h(x)与函数y g(x)的图象关于直线 y 1对称，求函数 y h(x)的解析式;(3)设 F(x)1 .f(x) h(x),已知F(x)的最小值是m且m 2 J7 ,求实数 aa的取值范围。解：(1) g x(2)设 y h x的图像上一点x, y，点P x, y关于y 1的对称点为Q x,2的图像上,所以(3)2xF(x)2x 22x 2a祥,a2 x 22x,则1-f(x) aF(x)一， 4 a问题转化为：4-t4a4 a 124ah(x)2x(4a 1) 22x4 a 4a4a

8、1. 7t 4a 1故必有4a 0.(否则，若a 4a4a当t充分大时，必有 u0;而当4a2.0恒成立.u(t)4 a 124a. 7t4a0 ,则关于t的二次函数4 a4a*)u(t)4a 1开口向下,0时，显然不能保证(*)成立.)，此时，由于二次函数以，问题等价于8a4 a4a4 a4a4a 1解之得:,4 a此时，一a 0,4a4a0 ，故 F(x)4 a t 4a4a 1取得最小值2满足条件.2.数形结合二次函数f (x) ax2bx c a 0的图像为抛物线，具有许多优美的性质，如对称性、单调性、凹凸性等.结合这些图像特征解决有关二次函数的问题，可以化难为易.,形象直观.2.1二

9、次函数的图像关于直线 x 对称,2a特别关系XiX2-也反映了二次函数的一种对 a称性.2.次函数fx ax bx c aX 0的两个根Xi, X2满足X2.X1X2解:由题意由方程f X且函数f X的图像关于直线x0对称，证明:2ab 1X12ab ,x1，故 a2.2二次函数Xi2x ax (b 1)x c.0的两个根x1，x2满足0X2X2XoXiL且 ab 12ab 12a1X1X2a 2ax2 一, 可得a1,2af(x)的图像具有连续性，且由于二次方程至多有两个实数根n且f(m)f(n) 0 在区间 m,n上，必存在f(x)例 7 已知二次函数 f(x) ax2 bx 1 (a,

10、b R, a(1)如果X1X24,设函数f(x)的对称轴为X.所以存在实数m,n使得0的唯一的实数根.0),设方程f (x)Xo ,求证：XoX的两个实数根为X1和(2)如果x1分析：条件X1述图像特征去等价转化2,解：设 g(x) f(x)(1)由 a0及x1两式相加得b .1 , 2a(2)由(x1X2)2X2X2X12 ,求b的取值范围.4实际上给出了2 axX2f (x) X的两个实数根所在的区间,因此可以考虑利用上(b 1)x4,可得b 32a 4a2上32a 4a所以，Xo 1；1 ，则 g(x)g(2)g(4)0,0,(一)2 4,可得 2a 1 a a0的二根为x1和x2 .目

11、口 4a 2b 10 目口即，即16a 4b 3 0(b 1)2 1 .又 xx2-Xi , X2同号.Xi2,x2x12等价于0x12 x22a 12.(b 1)1X22a2x10(b 1)2 1g(2)g(0)g( 2) g(0)2a 1,(b 1)22a 1.(b 1)2 1解之得2.3因为二次函数f (x)2 axbx ca 0在区间和区间, 2a2a)上分别单调,所以函数f x在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得;函数值必在区间端点或顶点处取得例8已知二次函数f (x) ax2 bx c,当 1 x 1时，有1 f (x) 1 ,求证：当 2 x 2时，有 7 f (x

12、) 7.分析：研究f (x)的性质，最好能够得出其解析式，从这个意义上说,应该尽量用已知条件来表达参数a,b,c.确定三个参数，只需三个独立条件，本题可以考虑f(1)，f ( 1) , f (0),这样做的好处有两个：一是a,b,c的表达较为简洁，二是由于1和0正好是所给条件的区间端点和中点，这样做能够较好地利用条件来达到控制二次函数范围的目的f x在区间端点和要考虑f x在区间 7,7上函数值的取值范围，只需考虑其最大值，也即考虑顶点处的函数值.解：由题意知:f( 1)a b c, f (0)c, f(1)1 .a 2(f(1)f(1)2 f (0), b1 l(f2f(1),c f(0),

13、f (x)ax2bx2f(1)f( 1)一 一2f (0) 1 x2 .1时,f(x) 1,可得f(1)1,1.f(2)f( 2)3f3f3f 03f 03ff( 1)3f(0)7,1| 3f( 1)3f(0)7.(1)若2a2,2上单调，故当x 2,2 时,f(x)max max(f( 2), f(2)此时问题获证b2a2,2,则当x 2,2时,f(X)maxmax(f( 2), f(2), fb2ab2ab24ab2ab2af f( 1)4此时问题获证综上可知：当2 x 2 时，有 7 f (x) 7.巩固练习1,若不等式(a2)x2+2(a2)x4<0对一切xC R恒成立，则a的取

14、值范围是()A (-00 ,2 B2,2 C( 2,2 D( 8, 2)2,设二次函数 f(x)=x2x+a(a>0),若 f(m)<0,则 f(m 1)的值为()A正数 B,负数 C非负数D,正数、负数和零都有可能3，已知二次函数 f(x)=4x22(p 2)x2p2p+1,若在区间1, 1内至少存在一个实数c,使f(c)>0,则实数p的取值范围是.4二次函数f(x)的二次项系数为正，且对任意实数x恒有f(2+x)=f(2 x)，若f(1 2x2)<f(1+2x x2)，则x的取值范围是参考答案?a 2 01 .斛析：当a2=0即a=2时,不等式为4v 0,恒成立一:a=2,当a 2 w 0时，则a满足 °，解得2vav2,所以a的范围是一2vaW2答案C2 .解析。f(x)=x2x+a 的对称轴为 x=l，且 f(1)>0,则 f(0)>0,而 f(m)0,，mC