山东省泰安市泰山中学2020届高三数学三模试题(含参考答案)

1、山东省泰安市泰山中学2020届高三数学三模试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1 .已知集合4 =卜丫一4工一5V。,8 = ,中一工0,贝iAc8 =A. (YU)B. (-1,1)C. (-1,5)D. (0,5)2 .设复数z满足(1i1z=5 + 2"则z的虚部为A. -1B. -iC. -D. -/223 .已知函数/(x)=,',则函数，( 'T)的定义域为V2V -4rx+1A. (yl)B. (-00,-1)D.c. (i)5i,o)4 .已知抛物线C：/=4y的准线恰好与圆/：

2、(工_3)2+()，-4)2 =/(，()相切，则r=A. 3B.4C. 5D.65 .设p：实数x满足公一其中0。5), q：实数x满足lnx2,贝U p是q的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.我国古代数学名著九章算术中记载：“刍薨者，下有 £ 尸袤有广，而上有袤无广.刍，草也.餐，屋盖也.”今有底而/ z为正方形的屋脊形状的多面体(如图所示)，下底而是边长C为2的正方形，上棱E尸=之，EF平而ABCD, EF与平面/2 0ABCD的距离为2,该刍费的体积为A.6B. C. D. 123 47.函数/(x) = x3cos + sinx在灯

3、，句的图象大致为8.如图，已知双曲线C：二- =1的左、右焦点分别为ci a + 2耳，死，”是C上位于第一象限内的一点，且直线广2M与)，轴的正半轴交于A点，的内切圆在边”片上的切点为N,若|M/V|=2,则双曲线C的离心率为A.C.2D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得。分.9.已知向量 =(2,1)力=(-3,2),。= (1/)，则A. al lbB. (<7+/?)±c C. a+b = cD. c = 5a + 3b10.某院校教师情况如下表所示、类别

4、 年度、老年中年青年男女男女男女201612060240120100402017210403202002001202018300150400270320280关于2016年、2017年、2018年这3年该院校的教师情况，下面说法正确的是A. 2017年男教师最多B.该校教师最多的是2018年C. 2017年中年男教师比2016年多80人D. 2016年到2018年，该校青年年龄段的男教师人数增长率为220%11.若= ci + aAx + a2x2 + + ax2 (x e 7?),贝ij32009 +1A. a() = 1B. + a3 + a5 hf «2009 =23*1D.4

5、 + & + % + +")= 2 22 23212.已知函数=cosx则下列结论正确的是C +a2+ 6/4 H F c12(x)8 =-A. /（X）是周期函数B. 7（X）的图象是轴对称图形C. /（X）的图象关于点（令0）对称D. f（x）<ll三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13 .已知直线y = x + 是曲线y = e'+3的一条切线，贝帅=上./ 九冗、14 .已知2sin2a =cosa =sin夕，且a, p e » 贝！Jcos（2a + /7）=< 2 2 yl15. 甲、乙、丙、丁、戊五人去参加数学、物理

6、、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛, 若每个同学可以自由选择，则不同的选择种数是人:若甲和乙不参加同一科，甲和丙必须参 加同一科，且这三科都有人参加，则不同的选择种数是.（用数字作答）（本题第一空2分, 第二空3分）16. 已知球0是正三棱锥P 48C的外接球，A3 = 3,24 = 26，点E是线段AB的中点，过点E作球0的截面，则截而面积的最小值是.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （10 分）在S”=2+，%+ % = 16,&+ §5=42,4± =匕1,跖=56这三个条件中任选一 一 一 一 4个补充

7、在下面的问题中，并加以解答.设等差数列q的前项和为S”，数列也为等比数列，,仄=也=管.求数列的前项和注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18. （12 分）ABC的内角A, B, C所对的边分别为“,5,c ,己知8s2A+8s28 + 2sinAsinB = l-cos 2C.（1）求角c.（2）设D为边AB的中点，AA8C的面积为2,求82的最小值.19. （12 分）矩形,在四棱锥P A8C。中，APA3为等边三角形，四边形ABCD为E为PB的中点，DELPB.4（1）证明：平而ABC。，平面PAB.（2）设二面角4 PC3的大小为a ,求a的取值范围.20. （12 分）

8、某水果批发商经销某种水果（以下简称A水果），购入价为300元/袋，并以360元/袋的价格 售出，若前8小时内所购进的A水果没有售完，则批发商将没售完的A水果以220元/袋的 价格低价处理完毕（根据经验，2小时内完全能够把A水果低价处理完，且当天不再购进）.该 水果批发商根据往年的销量，统计了 100天A水果在每天的前8小时内的销售量，制成如下 频数分布条形图.° 14151617前8小时内储售量"单位:袋）现以记录的100天的A水果在每天的前8小时内的销售量的频率作为A水果在一天的前8小 时内的销售量的概率，记X表示A水果一天前8小时内的销售量，表示水果批发商一天批发 A水

9、果的袋数.（D求X的分布列： （2）以日利润的期望值为决策依据，在 =15与九=16中选其一，应选用哪个?21. （12 分）22已知椭圆， + W = 11”> >0）的右顶点为A,上顶点为B, 0为坐标原原点，点0到直线AB的距离为占，AOAB的面积为L（1）求榷圆的标准方程；直线/与椭圆交于C, D两点，若直线/直线AB,设直线AC, BD的斜率分别为6水2证明：占修为定值22. （12 分）已知函数/（x） = lnx-ar+l有两个零点.-5-(1)求a的取值范围;(2)设为,占是/(x)的两个零点，证明：/r(x1>x2)<l-fl .数学参考答案1.B【解

10、析】本题考查集合交集运算，考查运算求解能力.因为A =所WAc3 = (-l,l).2. C【解析】本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力.5 + 2/5 + 2/ (5 + 2/)z -2 + 5/1 5 .(I-/)2-2/-2/223.D【解析】本题考查函数的定义域，考查运算求解能力.令2、>4)即2" vl,解得x<0.若"''一1有意义,贝卜 X+1x-1 <0,/.、即 X£(YO,-1 UX+1H0,'74 .C【解析】本题考查抛物线的标准方程及直线与圆的位置关系，考查数形结合的思想. 抛物线C:/=4y的

11、准线方程为y = 1,则r = |4+l| = 5.5 . A【解析】本题考查充分必要条件，不等式的解法，考查运算求解能力，逻辑推理能力. 设 A = 1丫 一卜/ + 1)工 + 4 WO = M(x-l)(x-4)K0,8 = x|lnx v 2 = x|0 vx v/,因为0<。<5,所以所以是夕的充分不必要条件.6.B【解析】本题考查空间几何体的体积，考查空间想象能力和运算求解能力.如图，作FNAE, FM/ED,则多面体被分割为棱柱与棱锥部分，则该刍薨的体积为%_mnbc + Vn)e_mnf = T Smnbc . 2 + S直收面13 1=x2x 2 x2 +2x2

12、3 11x -=22 37.A【解析】本题考查函数图象的应用，考查逻辑推理能力.由f(r) = -/(x),所以/(x)是奇函数，排除B,D：由/，停H巧乂聂孝，可知/仔卜小)，结合图象可知选a.8.D【解析】本题考查双曲线的定义以及内切圆的应用，考查数形结合的思想以及转化与化归 的思想.设的内切圆在边的切点分别为E,G,则|AE| = |AG|,|E"| = |耳N|,MN = MG .又周=2，则快用+眼一|姐| =为,由对称性可知9|A同=|4用，化简可得|MN| = o,贝iJa = 2,a + 2 = 4 ,所以双曲线C的离心率为号S9.BD【解析】本题考查平面向量的坐标运

13、算，考查运算求解能力.=-1 + 1 = 0,故(a+)_Lc ,设 c = 4 + /y?(4，& eR),则(1/)=4(2，1)+4(3,2) = (2434,一4+2%)，贝，"一所以 4=:所以 4 + 2x2 = L =3,c = 5a+3b.10. BCD【解析】本题考查统计知识，考杳数据处理能力.由题意知，2018年的男教师最多，A错误；将表中各年度人数横向求和可知，2018年共有1720 人，为人数最多的一年，B正确；2017年中年男教师比2016年多320- 24。= 80 (人)，故C 项正确；20162018青年男教师增加了 220人，增长率为2201

14、00 = 220% ,故D正确.11. ACD【解析】本题考查二项式定理的应用，考查运算求解的能力.由题意，当嬉=0时,=12009 = 1,、上/ -2OO9.TX=1 时,4)+41 +2+3 + + '"2009 =(二1 ) =-1，当 x = -1 时,。0 _.1 +% _。3 +_。2009 = 3°"，3?期+ 132(x)9-1所以 4+%+% + %)09=-"%+42+%+- + /008 =- 乙乙卜会 + 舞，xg + /xQ) + +、x1<22009当 X = 1 时，0="+ 4 x- +(k x2

15、2/ 2009<2)12;+ + 420()9 X1<2;200912. AB【解析】/、 cosn(x + 27r cosn(nx + 2n7r cos“x , 、 、由于/(1+ 24)=,=一； = = /(必，所以/(x是周期函 cos(x + 2J cos(x + 27r) cosx数，故A正确；由t)=cos( )=T = /(x),从而/(X)为偶函数，其图象关于x = o对称，故B cos(-x) COSX正确;cos nx cost H7r-nx) 寸奇数)，由于/(x) + J(万一 x) =+、9 = 1 COSX从而当为奇数时,cosx cos-x)o(为偶

16、数)，/(X)的图象不一定关于点H，o|对称，故C不正确;当 =2 时，/(¥)= 2"艺、7 =2cosx 一,令 cosx = L,则此时/(x)>2,故 D cos xcos x5不正确.1 3.4【解析】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力.设f(x) = e'+3,切点为10，4+)因为r(x) = F,所以蜡=1力=蜡+3-%则 =4.14-41解析】本题考查三角恒等变换,考查运算求解的能九由 2sin2a =cosa, 则 4sinacosa =cosa,因为 a e, 故 sina = ,aek 2 2)40,g).由cosa = sin/

17、7 = ,可得a + /?=5,所以cos(2a + /7) = -sina = -；.15 . 243； 30【解析】本题考查排列组合的应用，考查逻辑推理能力.若每个同学可以自由选择，由乘法原理可得，不同的选择种数是第=243；因为甲和乙不参加同一科，甲和丙必须参加同一科，所以有2、2、1和3、1、1两种分配方 案.当分配方案为2、2、1时，共有C；A; = 18种；当分配方案为3、1、1时，共有C；A； = 12种；所以不同的选择和数是18 + 12 = 30.16 .【解析】本题考查空间几何体的外接球，考查空间想象能力.4设三棱锥的外接球半径为R ,正三角形ABC的外接圆圆心为。'

18、;，则 PO' = 3,J+(3 R)2 = R2,解得R = 2,OO' = 1,因为过E作球。的截面，当截面与0E 垂直时，截面圆的半径最小，所以当截面与0E垂直时，截面圆的面积有最小值.在 心CO'O中，8,=6,所以= W.在油AE0O中，。石=<，所以，=也2_。炉=所以截面面积S = /r/=丝. 2417 .解：选当 =1时=5 =2, 1分当 2 2时，弓=S-=2，2分又 =1满足勺=2，所以为=2.4分设也的公比为q,又因为4=2,%=4,由4=6也=等，5分得"=2,q = 2,所以a=2”.6分由数列也的前a项和为专三 =2向一

19、2, 7分可知告=n2 +n z?(/7 + l) n n + 数列的前项和为1一1+!-1+2 2 3故12u_2 + 1_-L "n + 1选10分设公差为d,由%+% = 16,53 + 65 =42,得2al +6d = 16, 8q+13c/ = 42,4=2,.j .所以 4“ =2,S =-+. d = 2,设"的公比为q,又因为q = 29 =4由4=a(,b2 =M三得”=2,q = 2,所以2=21由数列"的前项和为1-2=2"22,-111 111pj 知=Sn n2 + n /?(/? + 1) n + l数列的前项和为1一1+?

20、-:+，一一 = 1一上，9分Sn2 2 3 n n + n + 故 7； = 2“ - 2 +1!- = 2"+I- -1.10 分n + n + 选由得皿=包,所以% =5,即为=的,2分au n n + nn S7 = 7a4 = 28。 = 56, 所以 = 2 , 3分所以* = 2/z,Sn=n2+n.4分设也的公比为q,又因为=2,/=4,由&=%也=竽，5分得= 2,q = 2,所以"=2"6分由数列也的前项和为 -=2"“ 一 2 ,可知台n2 +n /?(/? + 1) n n + 的前n项和为1 11+2 2 3-i，n n

21、 + n + 1210分故r= 2-2 + 1- -!- = - -1n + i +118 .解：(1)由A + l-2sirr3 + 2sinAsin3 = l + l-2siiC,2 分所以cosC = " =所以C=工.5分lab 23(2)由 = LisinC,即2=所以岫= 7分2223由 c75 = ；(c4+cX), JWttcr>: =+ cb2+2cA.cb), 9分则丽 2=；(/+/ + 2他cosC)= ；W+a2+""：(2 +加)=26，当且仅当a=Z?时取等号，所以82的最小值为2JJ.12分19. (1)证明：连接AE,因为为

22、等边三角形，所以AE_LP8, 1分又DE工PB,AEcDE = E,所以尸3,平面ADE, 2分所以依，AO.4分5分因为四边形ABCD为矩形，所以且A5c8尸=8, 所以AD_L平面PAB.因为AOu平面ABCD,所以平面ABC。J平面PAB.（2）解：以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-gz，不妨设PB = AB = PA = 1, C(0,l,),则 4(0,0,0)/由空间向量的坐标运算可得PC =手事,。,而=2 2#442 2设平面BPC的法向量为加=（% J,4）,y/31八干玉+5/+%=0"1 n方内-y二。，X-16-令X=l,则=0,所以"?

23、=(L JJ,O)7 分 设平面PAC的法向量为=（七,y2, z2）61 n-=0,I 2 - 2 一勺+；乃+22=0,令”1,则犷3g邛二面角4一。一3的大小为。，由图可知，二面角。为锐二面角,所以COS2 =分 10所以12分 20.解：(1)由题意知A水果在每天的前8小时内的销售量为14, 15, 16, 17的频率分别是0. 2, 0.3, 0.4 和 0.1, 2分所以X的分布列为X111：）1617P0.20. 30.40. 14分(2)当 =15时，设Y为水果批发商的日利润，则Y的可能取值为760, 900,5分 P(Y = 760) = 0.2, P(r = 900) =

24、0.8,E(r)= 760x0.2+900x0.8 = 872, 7分当 =16时，设Z为水果批发商的日利润，则Z的可能取值为680, 820, 960,8分 P(Z = 680) = 0.2, P(Z = 820) = 0.3, P(Z = 960) = 0.5,£(Z) = 680 x 0.2+820 x 0.3+960 x 0.5 = 862 10 分综上可知，当 =15时的日利润期望值大于 =16时的日利润期望值，故选 =15.12分 21.解：(1)直线AB的方程为+上=1,即加+缈一"=0, 1分a br ab 2x/5八则2分因为三角形0AB的面积为1,所以必=1,即3分2解得。=2力=1, 4分所以椭圆的标准方程为+ /=1.5分4(2)簸AB&W为；，斯斯)，= ；1 + /,。(不凹),力(占，%)，6分代入一+ 卡=1,得2)，2-2。，+ /-1 = 0, 7分4t"PC =0, _代入可得