山东省泰安市泰安实验中学2019_2020学年高一数学下学期期中试题含解析

1、山东省泰安市泰安实验中学2019-2020学年高一数学下学期期中试(含解析)第I卷(选择题)一、单选题.(共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.已知向量4 =(2,4), = (-1,1),则2G/；= <)A. (5,7)B. (5,9)C. (3,7)D. (3,9)【答案】A【解析】因为2M = (4,8),所以2K=(4,8) (一1,1)=(5, 7),故选A.考点：本小题主要考查平而向量的基本运算，属容易题.2 ,若复数&对应复平面内的点(2,3),且-Z2=l + i,则复数Z?的虚部为7；案】B【解析】.5 .- -

2、+ !故复数Z?的虚 AI1 + i(l + i)(2 + 3i)l + 5i依题意，&=2-3i,故“广石=(2 - 3i)(2 + 3i)=k部为,故选B.133设7,是两条不同的直线，尸是两个不同的平而，下列命题中正确的是()A.若?/c,加月，则。夕B.若a, 则_LaC.若?_La, 7，则，aD.若C尸，m_La，则/4【答案】C【解析】【分析】在A中，。与耳相交或平行;在B中，。或 u a：在c中，由线面垂直的判定定理得nla； 在D中，与夕平行或"? u/7.详解】设机，是两条不同的直线，d力是两个不同的平面，贝IJ：在A中，若机/a, "/,则夕与

3、夕相交或平行，故A错误；在B中，若z_La，团_1_，则/。或 ucc,故B错误：在C中，若阳_Le，"/，则由线面垂直的判定定理得_La,故C正确；在D中，若_1)，?_La,则，与月平行或 zu/7,故D错误.故选C.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、而而间的位置关系等基础知识, 是中档题.4 .设x,yeR,向量4=(尤1)&=(1,，)忑=(2,-4)且不_1_乙6,则卜+ B卜()A.小B. 25/5C.回D. 10【答案】C【解析】试题分析：: 向量亍=(l,y),= (2,-4)且a ± c,b /c»Zr-4 = 0 =

4、>x = 2 , 1 x(-4)-2y = O=>y = -2,从而4 + 5 = (2,1) + (1-2) = (3,-1),因此忖+可=/、(一讲=回,故选C.考点：L向量的模：2.向量的平行与垂直.5 .若线段/L5的长等于它在平面。内的射影长的2倍，则居所在直线与平而a所成的角为()A. 30B. 4sC. 60D. 120【答案】C【解析】【分析】根据图形找到线而角，进而在直角三角形中求解即可.【详解】如图，月UL * 超C a=B,则6。是四在平而仪内的射影，贝lj 6aL四，所以乙物 2= 60° ,它是四与平面a所成的角.故选C.【点睛】本题主要考查了线

5、而角的求解,属于基础题.6.如图，0是ABC的重心，AB = a , AC = bD是边BC上一点，且RB=3比，则（C.B. OD = a-12I I、一D. OD = a + b1212【答案】A【解析】【分析】由0为AABC的重心,则点E为6。的中点，且布=2灰衣=：（而+/），又由是5C的四等分点，再利用平面向量的线性运算可得则-a + b1212故得解【详解】如图，延长月。交左于瓦由己知。为血的重心, 则点£为6。的中点，且而 =2函荏=；（荏+ 硝 由砺=3。6,得：。是6。的四等分点,则历=无+而=;立+;?=3;(而+硝+画一画1 - 5K=4Hb ,1212故选A.

6、【点睛】本题考查了平面向量的基本定理及重心的特征，属中档题. p I 7 .在网7中，sin A=-,则月60的形状为()cos B + cos CA.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形【答案】A【解析】【分析】等式变形为 sin Acos B +sin Acos C = sinB+sinC ,再根据 sinB = sin(A + C),sinC = sin(A4-B),展开变形，判断三角形的形状.【详解】由条件可知sin AssB+sin AcosC = sinB+sinC,因为8 =乃一(A+ C),所以sinB = sin(A + C) = sinAcosC+co

7、sAsinCC = 7T(A + B),所以sinC = sin(A + 8) = sinAcos5 + cosAsinB ,所以 sin A cos B+sinA cos C = sin A cos C+cos A sin C + sin A cos B+cos A sin 8，整理为：cos Asin C + cos Asin B = 0,即 cosA(sinC+sinB) = 0因为sinC+sinBwO,所以cosC = 0, Ae(0 ,180 )A=90 ,所以A6C是直角三角形.故选：A【点睛】本题考查判断三角形的形状，重点考查三角函数恒等变换，属于基础题型，本题的 重点是利用公

8、式sin8 = sin(A + C), sinC = sin(A + 8)变形，化简三角函数.8 .已知S,45。是球0表面上的点，S4平而血AB1BC, SA = AB = , 8C =则球。的体积等于（）V. 3nD.-64乃B. 3【解析】 【分析】 根据直线平而垂直的判定与性质得出S3。，SAC为直角三角形，可得SC的中点。为球心, 又可求得SC = 2,求出球的半径，即可得解.【详解】解：S4L平而从K, ABLBC .SA±BC. AB1BC.而SAB.： BS U 而 SAB,:.SB 上 BC,.RtSBC > RSAC中月C的中点。,.OS = OA = OB

9、 = OC,4“ 4SC为球。的直径，又可求得SC = 2,.球0的半径R = l,体枳1/ = 7万/?'=；4, 33故选6.【点睛】本题综合考查了空间几何体的性质，空间思维能力的运用，平面，立体问题的转化, 巧运用直角三角形的性质.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2,有选错的得。分）9.下列各式中，化简结果为启 的是（）A. AB-DC)-CB>> T 、B. AZ) CD+ DC c, -fcb+AcVf/M+Zw" /zn t 1fD.-BM-DA+MB【答案】ABC

10、【解析】分析】根据向量加减法的法则，分别判断每个选项，得到正确答案.【详解】A. (AB - DC) -CB = AB + BC + CD = AD,故 A 正确:B. AD-(CD +DC = AD-Q = AD ,故 B 正确：C.-(CD + MC)-(a44-DAf) = -(CD + m)-(DA7 + MC)= -CA-DC = -(DC + G4)= -Da = A£),故 c 正确：D. -BM-DA + MB = 2MB + ADAD 故 D 不正确.故选：ABC【点睛】本题考查向量加法和减法，属于简单题型.10.下列命题正确的是（）A.复数2，生的模相等，则z,及

11、是共聊复数B.卬 生都是复数，若z,+z二是虚数，则久不是比的共枕复数C.复数z是实数的充要条件是z=（是z的共胡复数）D.已知复数3=-1 + 23 z;=l-j,比=3 - 2iG.是虚数单位），它们对应的点分别为月，5,c, o为坐标原点，若QQ _ x&+ y6b （x，4，则*+ y= 1【答案】BC【解析】-5-【分析】A.根据共聊复数的定义，举例判断；B.根据4+z?是虚数，判断两个复数的虚部的关系，判断 选项；C.分别判断充分和必要条件：D.利用向量，复数，坐标的关系，利用向量相等求得xy 的值.【详解】A.模相等的复数不一定是共聊复数，比如：Z=l + i, Z2=-

12、l + Z,这两个复数的 模相等，但不是共轨复数，故A不正确；B,设q=" +历，z2=c + di ,若马+马是虚数，c+dwO,两个复数的虚部不互为相反数, 所以4不是J的共枕复数，故B正确:0设2 = +万，"abi,若z = N，则Z? = 0,所以复数z是实数，若z是实数，则 =0 则z = 7，所以C正确：D.由条件可知OC =(3,-2), 04 = (-1,2),=,若辰* =(筋/£面，则(3, 2) = (x+y, 2xy),t+），= 32x-y = -2，解得:9所以x+y = 5,故D不正确.故选：BC【点睛】本题考查复数的定义和相关概念

13、，属于基础题型，本题的关键是正确理解复数的有 关概念.11.如图所示是斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图，D'为8 C的中点，且H Df 式轴，Bf C /轴，那么在原平面图形域中()A.月5与月。相等B.月。的长度大于月。的长度C.月6的长度大于也?的长度D. BC长度大于"的长度【答案】AC【解析】【分析】首先根据斜二测画法的直观图还原几何图形，根据实际图形的长度关系判断选项.【详解】根据斜二测画法的直观图，还原几何图形，首先建立平而直角坐标系X。,'，BC/X 轴，并且8C = &C'，点。是8c的中点，并且作AO/ ）'轴，即AO

14、_L3C,且ao = 24'O， 连结A及AC,所以3c是等腰三角形，AB = AC, 的长度大于4。的长度，由图可 知 8C = "C', AO = 2A'O'，由图观察，A'O'>1b'C',所以即 BCvAO.2【点睛】本题考查由直观图还原实际图形，判断长度关系，重点考查斜二测画法的规则，属 于基础题型.12.如图，正方体A88-45G。的棱长为1,则下列四个命题正确的是（）A直线3c与平而ASA所成的角等于木B.点。到面A8GA的距离为立2c.两条异而直线。和BC】所成的角为:D.三棱柱A4% - BB&#

15、163;外接球半径为立2【答案】ABD【解析】【分析】根据线面角的定义及求法，点而距的定义，异面直线所成角的定义及求法，三棱柱的外接球 的半径求法，即可判断各选项的真假.【详解】正方体ABCO AMGR的棱长为1,对于A,直线3C与平而4BGR所成的角为NC8G=2,故选项A正确；对于B,因为与。_1_面人862,点C到面ABC1的距离为8c长度的一半，即/?=走， 2故选项B正确；对于C,因为BGAA，所以异而直线0C和8G所成的角为4QC，而aA。为等边三角形，故两条异而直线。C和3G所成的角为：，故选项C错误；对于D,因为4儿4与，49两两垂直，所以三棱柱8片a外接球也是正方体A8cO

16、- A与GA的外接球，故=/士=三,故选项D正确. 22故选：ABD.【点睛】本题主要考查线面角的定义以及求法，点面距的定义以及求法，异面直线所成角的定义以及求法，三棱柱的外接球的半径求法的应用，属于基础题.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，将答案拍在一张图片上进行上传）13,已知向量2,6的夹角为三，何=2,网=4,则在日方向上的投影是. J -1【解析】【分析】根据平而向量投影的定义可直接求出结果.【详解】由已知得，1在坂方向上的投影为I1lcos? = 1.故答案为：一1.【点睛】本题考查平而向量投影的定义，掌握投影的计算公式是关键，属基础题.14 .若z为复数,且2|=|

17、z + 2,则iz 1的最小值是.【答案】1【解析】【分析】首先根据题意得到复数Z到(-2,0)的距离与到(2,0)的距离相等，即复数Z在虚轴上.再设出 z = bi9计算|z-l|的最小值即可.【详解】因为复数z满足上一2| =卜+ 2.所以在复平面内，复数Z到(-2,0)的距离与到(2,0)的距离相等.即复数z在虚轴上，设z = bi, beR.|z 1| = |-1 + Z?/j = >/l + Z?2 > 1 >所以卜-1|的最小值为1.故答案为：1【点睛】本题主要考查复数代数式 形式及其几何意义，同时考查学生的转化能力，属于中 档题.15 . 一个圆柱的侧面展开图是

18、一个正方形，这个圆柱的全面枳与恻面积的比是.2兀+1 【"案】 2兀【解析】 【分析】 利用侧面展开图是正方形得到圆柱的底面半径与高的关系后可得圆柱的表面积与侧面积之 比.【详解】设正方形的边长为。，圆柱的底而半径为r,则2/zt =。，r = 24所以圆柱的全面积为S/、=2/rx'二十 / ,故全面积与侧面积之比为 4421+21，填27t2tt + 12兀-17-【点睛】圆柱的侧而展开图是矩形，其一边的长为母线长，另一边的长为底面圆的周长，利 用这个关系可以得到展开前后不同的几何量之间的关系.16 .已知二面角“一 1一万为60。，动点八。分别在平而 明£内，

19、尸到£的距离为遂,。到。的距离为2/,则八。两点之间距离的最小值为，此时直线图与平面a所成的角为.【答案】（1）. 2/（2）. 90【解析】【分析】（1）如图，分别作24，尸，AC LI,连结尸C, QB La, QD ±1,连结3。，则，利用勾股定理得到，并验证最小值成立 条件：（2）由（1）可知，直接得到直线产。与平而a所 成的角.【详解】（1）如图，分别作P4_L，AC±I,连结尸C, Q8_La, QD±l,连结80, 则 NACP = NQOB = 60 ,因为。8 = 26，所以 PQ =7QB。+ PB? = J12 +282之 2#,

20、当点。与点3重合时，取最小值，又此时尸。= 2jJ>PA成立，所以P,。两点之间距离的最小值是2/;（2）此时点。与点4重合，此时所以尸。与平面。所成的角为90故答案为：2JJ： 90【点睛】本题考查平而与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面的位置关系，考查空间想象能力，运算能力，推理论证能力，属于中档题型.四、解答题.17 .已知复数 z =/一37 2） + （?23? + 2） i .（I）当实数S取什么值时，复数z是:实数：纯虚数：（II）当“7=0时，化简一三一.z + 5 + 2i132 24【答案】（I） m=l 或 m=2：m=-5（ II） 一一二一iZ25 25【

21、解析】 【详解】试题分析：（I）利用复数为实数、纯虚数的充要条件即可得出.（II）当乐0时，z=-2+2i, 再利用复数的运算法则即可得出试题解析：（I）当- 3m+2=0时，即m=l或m=2时，复数z为实数.21rl2 - 3m- 2=0itf -5或iif2当 9时，解得 2,产-3/2卢Q卜卢1且m卉2即乐时，复数Z为纯虚数.乙（II ）当 m=0 时，z=-2+2i,.我 二一 8i班（3-九）_ _2 _ 24. z+5+2i =3+4i =25" % 251,考点：复数的代数表示法及其几何意义18.设H 是不共线的非零向量，且 =2=A+31.（1）4e1 3e2 = A

22、a+u h f 求 u 的值，（2）若是互相垂直的单位向量，求；;与办的夹角也3 71【答案】(1)2 = 3, = 1 (2) 4【解析】【分析】（1）首先求温+ 4/；=几（4一2瓦）+ 4（&+3&），根据向量相等，建立方程求解:（2）根据公式cosab同，;求解.【详解】（1）所+/；=%（不一2G2）+ （4+3无）=（九 + ）4+（34 2/1）园,狷-3e2 =入4 + 曲,4 + = 43/-22 = -3.二九=3, / = 1 (2)不白=（4一2瓦）（4+地）=下+石瓦- 632=-5同，传22）:&_4眄+时=有M =(不+ 3当)=&

23、+ 6©色+ 9«2 =加cos6 =a-b -5>/2ab-T【点睛】本题考查向量相等，向量夹角，重点考查基本公式，计算能力，属于基础题型.19.养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面 直径为12 m,高为4 s.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐.现有两种方 案：一是新建的仓库的底而直径比原来大4水高不变）：二是高度增加4 m（底面直径不变）.（1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积：（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积（不含底面积）：（3）哪个方案更经济些？【答案】（1）匕=笔£加3,匕=

24、9663；（2）$=32/皿2, 52=60.2； （3）方案二.【解析】【分析】（1）根据底面半径和高，根据体积公式江/?,分别计算两种方案的体积：（2）根据半径和高求母线长，根据公式S = 7ZT/求圆锥的表面积（不含底面积）：（3）比较两种方案的体积和表面积，得出结论.【详解】（1）第一种方案底面直径为12 + 4 = 16?，高为4加，此时仓库的体积是14 256笈 3乂= 一乃 x8.x4 =nr1 33第二种方案底面直径为12?，高为4+4 = 8，此时仓库的体积是K = -x62x8 = = 96乃J ：-33（2）第一种方案：底面半径是8/，高4小，则母线长/ = 用才=467

25、1，则仓库的表面积（不含底而积）S|=/zv7 = ;rx8x4j5 = 326m2，第二种方案：底而半径是66，高4+4 = 8加，则母线长/ = 病再 =10加，则仓库的表面积（不含底而积）s2 =nrl = x6x10 = 60/m2 （3）由（1） （2）可知匕匕，第二种方案的体积大，可以贮藏更多的食盐：SAS2,第二种方案的表面积（不含底面积）小，则用料少，成本低，所以选择方案二更经 济.【点睛】本题考查圆锥的实际应用，重点考查圆锥的体积和表面积，计算能力，属于基础题 型.20 .如图在四棱锥PA3C。中，底面A3CO是矩形，点E、/分别是棱PC和。的中点.（1）求证：痔|平而R4B

26、：（2）若A尸= AT>,且平面AAO_L平面A3CQ,证明AF_L平面PCD.【答案】（D见证明：（2）见证明【解析】【分析】（1）可证石尸A8,从而得到要求证的线面平行.（2）可证4£_18,再由4尸=人。及尸是棱尸。的中点可得4尸_1尸£）,从而得到AF_L 平面PCD【详解】（1）证明：因为点E、尸分别是棱尸C和尸。的中点，所以EF/CD，又在矩形ABCD 中，AB/CD,所以 EFV/AB，又ABU面。48，即已面PA5，所以£7口|平而，43（2）证明：在矩形A8CO中，AD1CD,又平面R4£）_L平面A8CO,平面PAOfl平而AB

27、CD = AD, CQu而A6CO,所以CD_L平而PAQ,又A/u面尸AO,所以COLA/因为A4 = AO且尸是尸。的中点，所以Ab_LP£）,由及尸。u面PC。，CD u而PCD，PDcCD = D，所以Ab _L平面PCD.【点睛】线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法可利 用三角形的中位线或平行公理.线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，而 要求证的线线垂直又可以转化为已知的线面垂直（有时它来自而而垂直）来考虑.21 .如图，四棱锥S-ABCZ）的底而是边长为1的正方形，SO垂直于底而A8CO, SD = .（1）求证8C_LSC：

28、（2）求平面S6C与平面A8CO所成二面角的大小：（3）设棱SA的中点为M，求异而直线DM与S3所成角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2） 45°：（3） 90°.【解析】【分析】（1）根据题意，由线面垂直证线线垂直，再根据线面垂直的判定定理，证明线ifii垂直，再证 线线垂直.（2）由（1）中线面垂直，可知所求二面角的平面角为NSCD,根据题意可求角度.（3）利用中位线将异而直线平移，则尸或其补角是异而直线DW与S3所成角，根据 勾股定理，即可求解.【详解】（1） ,底而A8CO是正方形，A BCLCD,SQ_L底而A3CQ，8。匚底而488,.5。_18。，又。.8。3_平而SDC, .5。0：平面5£）。，.3。_15。.（2）由（1）知3C_LSC,又C£）_L8C, NSCQ为所求二面角的平面角，在R/ADSC中，SQ = QC = 1, .NSCD = 45。.（3）取A3中点尸，连结MP,DP ,在AA8S,由中位线定理得M尸S3 ,ZDMP或其补角是异面直线DM与SB所成角，：mp = -sb = , dm =.dp = ,222 Y 42所以ADM。中，有DP2= MP2 + DM、.NDMP = 90。.【点睛】本题考