山东省高考数学第二轮复习专题三三角函数及解三角形第2讲三角恒等变换及解三角形理

1、以J V C T I 1M O r A X M J V C X J K .4 O X 1.1 X C真题试做1. （2012 重庆高考，理5）设tan a , tan 是方程3x+2 = 0的两根，则tan（。 + ）的值为（）.A. -3 B. - 1 C, 1 D. 3nn 12. （2012 山东高考，理 7）若丁，可_|，sin 2 =毛一，则 sin =（）.3. （2012 天津高考，理6）在月6。中，内角4, B, C所对的边分别是a, b, c.已知86 = 5, C=2B,则 cos C=（）.77724A- 25 B. -25 C. 25 D.加4. (2012 湖北高考，

2、理11)设的内角4 B,。所对的边分别为a, b, c若(a+6 。)(a+ 6+ c) abf 则角 C=.5. (2012 课标全国高考，理17)已知a, b,。分别为三个内角儿B,。的对边， acos C+4asin C b-c=Q.求力；(2)若a=2, 4%的面积为，5,求6, c.考向分析本部分主要考查三角函数的基本公式，三角恒等变形及解三角形等基本知识.近几年高 考题目中每年有12个小题，一个大题，解答题以中低档题为主，很多情况下与平而向量综 合考查，有时也与不等式、函数最值结合在一起，但难度不大，而三角函数与解三角形相结 合，更是考向的主要趋势.三角恒等变换是高考的热点内容，主

3、要考查利用各种三角函数进 行求值与化简，其中降幕公式、辅助角公式是考查的重点，切化弦、角的变换是常考的三角 变换思想.正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：边和角 的计算；三角形形状的判断：面积的计算：有关的范围问题.由于此内容应用性较强， 与实际问题结合起来命题将是今后高考的一个关注点，不可小视.J , 知,耍例析图延麴囱什一-竹1到一 以方注里神更底命是*龙口热点例析热点一三角恒等变换及求值【例1】(2012 山东淄博一模，17)已知函数f(x) =2cos；一，sin *(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；若为第二象限角，且求i + cWn2渡值规律方法 明确

4、“待求和己知三角函数间的差异是解决三角函数化简、求值、证明问 题的关键.三角恒等变换的常用策略有：(1)常值代换：特别是“1”的代换，l = sin二+coT=tan 450等.(2)项的分拆与角的配凑：a aa + 二倍角只是个相对概念，如是大的二倍角，a + 是的二倍角等：:=(0-修-4 = (- ) + 等；熟悉公式的特点，正用或逆用都要灵活，特别对以下几种变形更要牢记并会灵活运用: lsin 2 o =sin- +cos o 2sin acos o = (sin a cos a)”, cos o =-等.Zsm a(3)降耗与升基：正用二倍角公式升嘉，逆用二倍角公式降将.(4)角的合

5、成及三角函数.名的统一：asin a+Aos a 才+ 6，sin( a +变式训练1 (2012 山东济宁模拟，17)已知函数f(x)=*sin 3*-COS 3才(才 R, 3 0)的最小正周期为6n.(1)求彳3一 )的值；冗】(吟 106.设 叫 -0 ,430+7=一.，f(3 + 2n)=不，求 cos(a + )的值.热点二 三角函数、三角形与向量等知识的交会【例2】(2012 山东烟台适用性测试一，理17)在锐角三角形域中，a, b,。分别是角 月，B,。的对边，m=(26-c, cos。，= (a, cos 月)，且 0A.(1)求角月的大小：(2)求函数 y=2sin5+c

6、os(2的值域.规律方法 以解三角形为命题形式考查三角函数是“众望所归”:正、余弦定理的应用, 难度适中，运算量适度，方向明确(化角或化边).(1)利用正弦定理将角化为边时，实际上是 把角的正弦替换为所对边与外接圆直径的比值.(2)求角的大小一定要有两个条件：是角的 范围：是角的某一三角函数值.用三角函数值判断角的大小时，一定要注意角的范围及三 角函数的单调性的应用.(3)三角形的内角和为丸，这是三角形中三角函数问题的特殊性.在 三角形中，任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三 角形=三内角都是锐角=三内角的余弦值均为正值Q任意两角的和都是钝角=任意两边的平 方

7、和大于第三边的平方.变式训练2 (2012 湖北武汉4月调研，18)在嫉中，角从5,。的对边分别为a, b.c,已知方=60。，cos(S+=T1.(1)求cos。的值：(2)若a=5,求月国的面积.热点三正、余弦定理的实际应用【例3】某城市.有一条公路，自西向东经过月点到市中心0点后转向东北方向函,现要修 建一条铁路2, 在7上设一站4在3上设一站b铁路在部分为直线段.现要求市中 心。与四的距离为10 km,问把月，6分别设在公路上离市中心。多远处才能使乩5之间的 距离最短？并求最短距离.(结果保留根号)规律方法(2)在解三角形时，要根据具体的已知条件合理选择解法，同时，不可将正弦定理与余弦

8、 定理割裂开来，有时需综合运用.(3)在解决与三角形有关的实际问题时，首先要明确题意，正确画出平面图形或空间图形, 然后根据条件和图形特点将问题归纳到三角形中解决.要明确先用哪个公式或定理，先求哪 些量，确定解三角形的方法.在演算过程中，要算法简练、算式工整、计算正确，还要注意 近似计算的要求.(4)在画图和识图过程中要准确理解题目中所涉及的几种角，如仰角、俯角、方位角，以 防出错.(5)有些时候也必须注意到三角形的特殊性，如直角三角形、等腰三角形、锐角三角形等.变式训练3如图，一船在海上自西向东航行，在月处测得某岛必的方位角为北偏东a, 前进m km后在6处测得该岛的方位角为北偏东8,已知该

9、岛周围a km范围内(包括边界)有 暗礁，现该船继续东行.当与万满足条件 时，该船没有触礁危险.思想渗透化归转化思想一一解答三角恒等变换问题求解恒等变换问题的思路：一角二名三结构，即用化归转化的思想“去异求同”的过程，具体分析如下:(1)变角：首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变换形式，角的变换是三角函 数变换的核心；(2)变名：其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”，诱导公式的运用；(3)结构：再次观察代数式的结构特点，降事与升基，巧用“1”的代换等.【典型例题】(2012 福建高考，文20)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子 的值都等干同一个常尊：(Dsin134-cos

10、-170sin130cos17:(2)sin:150+cos=150sin150cos15；sinll4-cos:12sin18cos12:sin(18 )+cos 13 a -74-tcos 2 a =7.48 sin( 18 )cos 48 ：sin1 -25 )+cos，55c sin( 25 )cos 550 .(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.解法一：(1)选择式，计算如下：sin150 4-cos15 sin 15 cos 15“ =1rsin 30J =1-7=7.24 43(2)三角恒等式

11、为 sin o +cos(30u ) sin a cos (30 a) =7证明如下：sin: o +cos*(30 o) sin cos(30J a)= sin o + (cos 30 cos 1+sin 30 sin i”-sin o (cos 30 cos +sin 300 sin a)sirf a =-sin a +-1 . -7sin 1cos a - 乙“cos a +Tsin a 4.3cos- a =7. 4解法二：(1)同解法一.3 三角恒等式为 sin a +cos(30 a) sin a cos (30 i) =.证日如下：sina+cos(30 o) sin cos(3

12、0 a)1 -cos 2 Q14-cos(60J 2 a)sin o (cos 30 cos +sin 30 sin 。)51 1=F2C0S1 1=5-5COS1=1-rcos42(i +(cos 60 cos 2 o 4-sin 60 sin2)一sin cos - sin4 44 a乙 乙乙乙1 12 a 4-t+tcos 2 a +-sin 2 Q2 4442.在月6。中，如果00,，”0）在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为（*，2）,（瑞，一2）.（1）求月和的值；（2）已知 a（0, y ）,且 sin a =|,求 （）的值.参考答案命题调研明晰考向真题试做1. A

13、解析：因为tan a , tan 是方程步3*+2 = 0的两根,.八 一 /1八、 tan 仪+tan B片以 tan o +tan =3, tan o tan =2, 而 tan(a + )=;-1 -tan a tan P112. D解析：由,看得2。彳,丸又 sin 2 0 故 cos 2。= OOM . /I cos 2 o 3故 sin r -5=73. A解析：在血中，由正弦定理:b _ csin B sin C.sin Co，sin 6=Z.sin 25 84 ; 二=二，, cos sin d 55,7Acos C=cos 2B= 2cos B 1 =7.4 .三厂 解析：二

14、由（a+6c） （a+6+c） =&6,整理可得, + S =一 Oa If- c _ ab_ 1.2 丸2b-=/=一 -a丁.5 .解：（1）由 acos C+y3asin 0b-c=0 及正弦定理得sin Acos C+-/3sin Asin 0-sin 5sin C=Q.因为 B= n AC所以/sin Asin Ccos Asin Csin C=Q.由于sin存0,所以sinab, /. cos C又0月 n ,故月=一.血的面积S=、csin 4=婿，故6o=4.而 立 = 2/ +o-26ccos ，故 U +(?=8.解得6=。=2.精要例析聚焦热点热点例析【例 1】解:(1)

15、 (*) =l + cos af-/3sin x=1 + 2c o sQ+y),函数f(x)的最小正周期为2n.又丁 -1 Wcos(x+w)wi,故函数f(x)的值域为- 1,3.MU/. l + 2cos o =i 即 cos Jcos 2 a1：3,cos2 a -sin- a 1 + cos 2 o sin 2 a 2coss o 2sin cos o_ (cos +sin a) (cos a-sin a) 2cos o (cos o sin a)cos a+sin a2cos a 1 2/2331-22又为第二象限角，且cos。=一 Ocos o 4-sin a原式=2cos，【变式

16、训练1】解,(1)(X)=班sin gx-cos 3x=2(坐sin 3.l：cos gx)=2sin( sx-函数f(x)的最小正周期为6n, 2 n1/. T=6 n ,即 6 = -33f(x) =2sin(gx，)=2sin|6/33X2n-43+会=2s唱6 +)一版c.10= 2sin a = 910 .5Asin 1=一、X Of(3 +2 丸)=2sir!(3 +2 n ) 一=2sin( +k)=2cos=|, eCOS.COS12 3 5 4 16，cos( a + ) =cos cos /? sin o sin=77X3-X-= 13 13 5 65【例 2】解：(1)由

17、皿7刀，得(26c)cos A-acos C=09A (2sin 5sin 6)cos Asin Acos 6?=0,2sin Bcos A=sin Ceos /H-sin Acos C = sin(H+。=sin( n =sin B, 在锐角三角形成中，sin 50, Acos 月=:，故月=g.(2)在锐角三角形月国中，力=?, OJT； y= 2si n:5+ cos- 2b)31= 1+Jz-sin 25tcos 2B乙乙= l + si n(25-T)sin 2B=1 -cos 25+cos 乙.三8万,.12JIJI 5 H25-666吟 35nsin( a )解析：ZJZ45=9

18、0 - Q , MBC=W 一 = N.M46+N4的=90 一 a + NA姐,所以a B.由题可知，在皿中，根据正弦定理得市BM(90 a) sin( a 9解得BM=zz?cos asin( a - B).要使船没有触礁危险，需要的in(90 )=mcos a cos 6sin( a )n.所以a满足227COS cos nsin( u 月)时船没有触礁危险. 创新模拟预测演练1. B 解析：由，5cos -vsin x=2近77cos xsin x/ji=2(sirrycos -v-cos-sin x =2sin(y-,可得si35,5. C 解析：由题意OVHVji, 050,则月，6两角为锐角, 又tan(H+E=；an+：皿则4+6为锐角，则角。为钝角，故选C.1 -tan Htan B6. B解析:已知倾斜角为“的直线】与直线才一2什2=0平行，则 tan a =k tan 2 =乙2tan a 1 41 -tan3 3*45. A 解析：因为 bcos C+ccos B=3acos 万, 所以 sin Bcos C+cos 5sin C=3sin Acos B, 即 sin(6+。=3sin Acos B,即 cos 5=.J156 .解析：sin 2(x=2X= sin(2x-7= -cos