山东省聊城市2021届新高考数学一模考试卷含解析

1、山东省聊城市2021届新高考数学一模考试卷一、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。221 .已知双曲线 x2 1（a 0,b 0）的离心率为e,e p ,则双曲线C的渐近线方程为（）A. y第xB. yC. y-xD. y2【答案】A【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解【详解】抛物线y2= 2px （p>0）的焦点坐标为（1, 0）,则p = 2,又e=p,所以e c 2,可得c2=4a2=a2+b2,可得：b 阴a,所以双曲线的渐近线方程为：y= ±J3x .a故选：A.【点睛】本

2、题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，涉及抛物线的简单性质的应用.抛物线y 2px（p 0）的焦点坐标为（1,0）,若2X 2x工x2a, b关系，即可得到双曲线的渐近线方程.2.盒子中有编号为 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7的7个相同的球，从中任取 3个编号不同的球，则取的 3个球的编号的中位数恰好为 5的概率是（）A. -B. -C. D.-3535357【答案】B【解析】【分析】由题意，取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有c4c2,所有的情况有C3种，由古典概型的概率公式即得解.【详解】由题意，取的3个球的编号的中位数恰好为1135的情况有C4c2 ,所有的情况有C

3、7种由古典概型，取的 3个球的编号的中位数恰好为5的概率为:_ 11P cc1aC；35故选：B【点睛】本题考查了排列组合在古典概型中的应用，考查了学生综合分析,概念理解，数学运算的能力，属于中档3.下列函数中，在区间（0,）上单调递减的是（iA y x2C.y logi2D. y由每个函数的单调区间,即可得到本题答案i因为函数vv22x和yyx , y 2一在 (0, x）递增，而log i2x 在(0,）递减.故选：C本题主要考查常见简单函数的单调区间,属基础题24.已知Fi,F2分别为双曲线C：事 a2 y b21 a 0,b的左、右焦点，过Fi的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A,

4、B两点，若uur ABuuurBF20,BF2af2则双曲线C的离心率为（B. 4C. 2由已知得ABBF2 , BF24x,由已知比值得 AF25x, AB3x ,再利用双曲线的定义可用 a表示出 AFi , AF2uuuQ ABuurn,用勾股定理得出uuuuurnBF2 0,AB 0,BF20,a,c的等式，从而得离心率.ABF2BF2I90又Q而可令BF2 4x,则af2解得t5x, AB 3x.设 AFi，得 IAF2I | AFi |BFi BF22a，即 5x t 3x t 4x 2a,3a, x a, :. BF24a, BFiAB AFi 6a,由BFi22222BF2I|F

5、iF2 得(6a)(4a)(2c),c2 13a2, c /3a,该双曲线的离心率e c 13. a故选：A.【点睛】本题考查求双曲线的离心率， 解题关键是由向量数量积为0得出垂直关系，利用双曲线的定义把双曲线上的点A, B到焦点的距离都用a表示出来，从而再由勾股定理建立 a,c的关系.5.在VABC中，点P为BC中点，过点P的直线与AB , AC所在直线分别交于点 M , N ,若uuur AMuuu AB ,uur ANuuurAC(0,0)，的最小值为5 5A.一4【答案】B. 2C. 3r 7D.一2得解.P , N三点共线，可得1， 一，利用均值不等式，即2因为点P为BC中点,所以u

6、uuAP1 uuu -AB 2uuuruuuuuuu又因为AMAB ，uurANuuur AC ,所以uuuAP1 uuuu AM1 uuurAN .2因为P,N三点共线,所以所以22,21当且仅当1时等号成立, 122所以的最小值为1.故选：B【点睛】本题考查了三点共线的向量表示和利用均值不等式求最值，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的 能力，属于中档题. a 1 x 4, x 7 一6.已知函数f x x6是R上的减函数，当a最小时，若函数 y f (x) kx 4恰有a , x 7两个零点，则实数 k的取值范围是(),1c、，C 1、A- ( 2,0)B- ( 2,2)C. ( 1

7、,1)D. (1,1)2【答案】A【解析】【分析】1 1，1首先根据f x为R上的减函数，列出不等式组，求得 一a 1,所以当a最小时，a -,之后将函数2 2零点个数转化为函数图象与直线交点的个数问题，画出图形，数形结合得到结果【详解】a 1 01由于f x为R上的减函数，则有 0 a 1 ，可得一a 1,2a 7 a 14一， ，1所以当a最小时，a2函数y f x kx 4恰有两个零点等价于方程f x kx 4有两个实根，等价于函数y f x与y kx 4的图像有两个交点.画出函数f x的简图如下，而函数 y kx 4恒过定点 0,4 ,数形结合可得k的取值范围为1 k 0.故选：A.【

8、点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有分段函数在定义域上单调减求参数的取值范围，根据函数零点个数求参数的取值范围，数形结合思想的应用，属于中档题目 7.已知F为抛物线y2=4x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于 A, B两点，则|FA| - |FB|的值 等于()A. 8&B. 8C. 4&D. 4【答案】C【解析】【分析】将直线方程y X 1代入抛物线方程，根据根与系数的关系和抛物线的定义即可得出|fa |fb|的值.【详解】y2 4xF (1, 0),故直线 AB的万程为y=x- 1,联立万程组，可得X2- 6x+1 =0,y x 1设A(x1,y1) ,

9、B(x2,y2),由根与系数的关系可知x1+x2=6,x1x2=1.由抛物线的定义可知：|FA| = x1 + 1, |FB| = x2+1,|FA| _ |FB| = |x1 - x2|=，xx-4x1x2 J364 4&.故选C.【点睛】本题考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，属于中档题.8.设函数f(x) sin x (0),若f(x)在0,2 上有且仅有5个零点，则的取值范围为()512 2912 2912 29A.,B. ,C. ,5 105 105 10D.12 295 102求出x 一范围,5结合正弦函数的图象零点特征，建立不等量关系，即可求解当 x?0，2 时,

10、上有且仅有5个零点,1252910故选:A.本题考查正弦型函数的性质,整体代换是解题的关键，属于基础题229.已知双曲线与丫2a b1(a b 0)的右焦点为F，过F的直线l交双曲线的渐近线于 A B两点，且直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍，若AFv 2揩，则该双曲线的离心率为(3-24B.【解析】【分析】 2ab， buur先求出直线l的万程为y 2 (x-c),与y=±-x联立，可得 A, B的纵坐标，利用 AF a bauuu2FB，求出a, b的关系，即可求出该双曲线的离心率.双曲线2x2ab21 (a>b>0)的渐近线方程为直线l的倾斜角是渐近线 OA倾斜

11、角的2倍,kl2ab-2 TT，a b直线l的方程为y a2ab(x c), b与y = 士bx联立，可得y auur uuuAF 2FB，2abc f2或3a b2abc22，a b2abc 2abc-22 2? 22-，a b3aba J3b,c= 2b,e c 2.3 ea 3故选B.【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题.uur i uuiruuu um10.已知VABC是边长为3的正三角形，若BD - BC ,则AD BC 315B.215D.23A. 一23 C.12【答案】A【解析】uuiri uur uuur由BD -BC可彳导AD 3u

12、uu uuu uuu 1 uuuAB BD AB -BC ,因为VABC是边长为3的正三角形，所以 3uuiruuuruuu1 uuiruuiruuuuuirADBC(AB-BC)BCABBC1 uuir2-BC 3 3cos12033211,已知集合 M x x 3n,n N* ,Nxx 2n,n N* ,将集合M N的所有元素从小到大次排列构成一个新数列cn,则a c2 Q .c35A. 1194【答案】D【解析】【分析】B. 1695C. 311D, 1095确定cn中前35项里两个数列中的项数,数列2n中第35项为70,这时可通过比较确定3n中有多少项可以插入这35项里面即可得，然后可

13、求和.n 35时，2 3570,3n70,n 3,所以数列g的前35项和中，3n有三项3,9,27, 2n有32 31 ,32 项，所以 G c2 G3 . c35 3 9 27 32 2 2 1095.2故选：D.【点睛】本题考查数列分组求和，掌握等差数列和等比数列前n项和公式是解题基础.解题关键是确定数列Cn的前35项中有多少项是2n中的，又有多少项是3n中的.12.我国古代数学著作九章算术中有如下问题：今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升 （注：一斗为十升）.问，米几何？ ”下图是解决该问题的程序框图，执行该程 序框图，若输出的 S=15（单位：升），

14、则输入的k的值为（）?叵A. 45B. 60C. 75D. 100【答案】B【解析】【分析】根据程序框图中程序的功能，可以列方程计算.【详解】一一123.由题息 S-15,S 60.234故选：B.【点睛】本题考查程序框图，读懂程序的功能是解题关键.二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。13.若曲线f（x） aex lnx （其中常数a 0）在点（1, f （1）处的切线的斜率为 1,则a 【答案】e【解析】【分析】利用导致的几何意乂，由 f (1) 1解方程即可.【详解】12由已知，f (x) ae -,所以f (1) ae 1 1,解得a -.xe-2故答案为：± .

15、e【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的基本运算能力，是一道基础题22214.已知M是抛物线y 2x上一点，N是圆x (y 2)1关于直线x y 0对称的曲线C上任意一点，则|MN的最小值为.【答案】、3 1【解析】【分析】由题意求出圆的对称圆的圆心坐标，求出对称圆的圆坐标到抛物线上的点的距离的最小值，减去半径即可得到MN的最小值.【详解】假设圆心0,2关于直线x y 0对称的点为x0,y0 ,y021x 2则有x0,解方程组可得，x0 y0 2y0 0 0222所以曲线C的万程为x 2 y 1 ,圆心为C 2,0 ,设 M x,y (x 0),则 |MC 2 x 2 2 y2,22222

16、2又 y 2x,所以 MC x 2y2=x2 2x 4 x 13,MC 2 .3,即MC . 出，所以MN . 而1 ,minminmin故答案为：3 1.【点睛】点与圆上点的距离的该题考查的是有关动点距离的最小值问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点,最小值为到圆心的距离减半径，属于中档题目15.袋中有形状、大小都相同的 4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为 .5【答案】56【解析】试题分析：根据题意，记白球为A,红球为B,黄球为C1,C2 ,则一次取出2只球，基本事件为 AB、AC1、AC2、BCi、BC2、C1C2共6种，其中2只

17、球的颜色不同的是 AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种;5所以所求的概率是 P 5.6考点：古典概型概率x 32-,x- 0216.已知函数f(x)，若f 3m 1 f 2 m ,则实数m的取值范围为 x 32-,x 021 3【答案】(1,3)2 4【解析】【分析】画图分析可得函数是偶函数，且在(0,)上单调递减，利用偶函数性质f(x) f(x)和单调性可解【详解】作出函数f x的图如下所示,观察可知，函数 f x为偶函数，且在,0上单调递增，在(0,)上单调递减，故 f 3m 1 f (2 m) |3m 1| |2 m|c 2 c c c138m 2m 3 0- m -24 '

18、;1 3故实数m的取值范围为(一，一).2 41 3故答案为：(-,32 4【点睛】本题考查利用函数奇偶性及单调性解不等式.函数奇偶性的常用结论：(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x) f(x).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.在 AABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, sin A sinB a b c sinC sinB ,a 2币,且VABC的面积为6J3.求A;(2)求VABC的周长.【答案】(1) A 一；10 2日 3【解析】【

19、分析】(1)利用正弦，余弦定理对式子化简求解即可；(2)利用余弦定理以及三角形的面积，求解三角形的周长即可.(1) Q sinA sinB a b c sinC sinB ,由正弦定理可得:a b a b ccb,即:O OO1b2 c2 a2 bc,由余弦定理得cosA - ,Q A2(2)A 所以 S abc bcsin 6 J3 , 3230, A . 3bc 24,又Qb2 c2 a2bc ,且 a 2.7,22b c 3bc a 100, b c 10,ABC的周长为10 2s本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的面积公式，也考查计算能力，属于基础题218 .已知函数 f (x

20、) x x 1,且 m,n R .(1)若m 2n 2,求f(m) 2 f (n)的最小值，并求此时 m,n的值；(2)若 |m n| 1,求证：|f(m) f (n) | 2(|m| 1).7-2【答案】(1)最小值为一，此时m n 一 ；(2)见解析33【解析】【分析】(1)由已知得 f(m) 2f(n) (m2 2n2) (m 2n) 3 m2 2n2 1,法一：Qm 2n 2, m2 2n ,根据二次函数的最值可求得;法二:运用基本不等式构造法三：运用柯西不等式得:221,2.,m 2n - (m +4mn3221/22m 2n =-(m n3.2、124 r 14n ) = - (m

21、 2n)=-,可得最值;33)(12 12 12) -(m n n)2,可得最值;3(2)由绝对值不等式得,f (m)f(n)m n 1 (n m)(2m1)n 2m 1(2 m1)2(m1),可得证.(1) f (m) 2f(n)(m22n2)(m2n)2n21,法一：Q m 2n 2,2 2n,f(m) 2f(n) (2_2_22n) 2n 16n28n6(n3)2f (m) 2 f (n)的最小值为7 ,此时m n 3.9919法一 :Q m 2n = -(3m 3_ 212 _226n )= -m +2(m +n )4n2,4f(m) 2f(n) 3法三：由柯西不等式得:7,即f (m

22、) 2f (n)的最小值为 31 / 2 , -(m +4mn3-,此时m321 /4n ) = -(m 323，2n)2匕2-21/22m 2n = -(m n32222121_2n )(111 ) (m n n) (m 2n)334f(m) 2f 31、一、1，即 f (m)32 f (n)的最小值为-,此时m3f(m) f(n)(m22、n ) (m n)又 m n 1 (n m)(2 m 1)2m 1 1 (2 m1)2( m1),|f(m) f(n)| 2(|m|1).本题考查运用基本不等式,柯西不等式,绝对值不等式进行不等式的证明和求解函数的最值,属于中档题.19.在直角坐标系xO

23、y中，直线l的参数方程为(t为参数).以原点。为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为(1)写出圆C的直角坐标方程;(2)设直线l与圆C交于A , B两点，P(cossin ) 14.求 | PA |22 .| PB |的值.【答案】(1) (x 3)2 (y 3)2 4； (2) 20【解析】 【分析】（1）利用x cos ,y sin 即可得到答案；（2）利用直线参数方程的几何意义，PA2 PB2 t； t； t1 t2 2 2t1t2.【详解】解：（1）由2 6 （cos sin ） 14,得圆C的直角坐标方程为2222,x y 6x 6y 14 ,即（x 3） （y 3

24、）4.（2）将直线l的参数方程代入圆 C的直角坐标方程，得（也t 1）2 （t 3）2 4, 22即t2 4历 6 0,设两交点A, B所对应的参数分别为t1，t2 ,从而 t1 t2 4 2, t1t2 6一.22 o o2则 PA PBt2 tft1 t22也 32 12 20.【点睛】本题考查了极坐标方程与普通方程的互化、直线参数方程的几何意义等知识，考查学生的计算能力，是一道容易题.20. VABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,已知 ccosB bsinC 0, cosA cos2A.1求C ；2若a 2,求，VABC的面积Svabc【答案】（1） . （2）

25、 33 .【解析】【分析】1由已知利用正弦定理，同角三角函数基本关系式可求tanB 1 ,结合范围B 0,，可求B 一,4由已知利用二倍角的余弦函数公式可得2cos2A cosA 1 0 ,结合范围A 0,可求A,根据三角形的内角和定理即可解得C的值.2由1及正弦定理可得 b的值，根据两角和的正弦函数公式可求sinC的值，进而根据三角形的面积公式即可求解.1 Q由已知可得ccosB bsinC ,又由正弦定理-A_sinBc,可得 ccosB csinB , sinC即 tanB 1,Q B 0,22Q cosA cos2A 2cos A 1 ,即 2cos A cosA又A 0,cosA1，

26、、-,或1（舍去），可得2A B 12由正弦定理asinAQsinCsinSVABC1,八-absinC 2一，a 42,一，可得 sinBsinAcosBa sinBsinAcosAsinB2_2_22.63-223 .33本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式，三角形的内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式等知识在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.21 .设椭圆2E: y2 1 ,直线l1经过点M m ,0 ,直线l2经过点N n ,0 ,直线l1 P直线l2,且直线I, l2 2分别与椭圆E相交于A, B两点和C, D两点.

27、(I )若 M,（n）若直线N分别为椭圆E的左、右焦点，且直线l1 x轴，求四边形ABCD的面积；11的斜率存在且不为 0,四边形ABCD为平行四边形，求证：m n 0;（m）在（n）的条件下，判断四边形 ABCD能否为矩形，说明理由【答案】（I） 2V2； （n）证明见解析；（出）不能，证明见解析（I）计算得到故AC 1* D1,咚，计算得到面积.(n)设ii为y kx m ,联立方程得到同理CDk216k2 8k2k22 2 八n 851（出）XiX22 一4k mX1X2根据设AB中点为P a,b ,根据点差法得到结论.(I )M 1,0 , N 1,0 ,A 1,故四边形ABCD的面积

28、为2 2.(n)设 l1为 y k x m设 A X1,y1 , B X2,y2AB1 k2X1X2X1X2X1X21 k22k 2k2m 2k2AB2kb4k2m2k2 12k2m2 22k2 1同理可得 cd J k2 16 28k2n2 8, 2k2 1ABCD ,故在k216k2 8k2m2 82k2 1计算AB一, 2 T22 T2 X 16k 8k m 82k21,CD得到得到证明.0,2k2同理2kd4k2mX4X1X21 k20,故D 1,2m2k22k即m2n2，m（出）设AB中点为a,b2X122y12X222y2相减得到X1X2y1y2y1y20,同理可得：CD的中点Q

29、c,dc 2kd0,2 0, 16k2 8k2m2 82k2 12、. 16k2 8k2n2 82k22kb0, d b故kPQc a2kd 2 kb2kABCD不能为矩形.【点睛】 本题考查了椭圆内四边形的面积，形状，根据四边形形状求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能 力.22x y222.如图，设椭圆Ci： 72r 1(a b 0),长轴的右端点与抛物线C2： y 8x的焦点F重合，且a b椭圆Ci的离心率是43 .2(I)求椭圆Ci的标准方程;【解析】(n)过F作直线l交抛物线C2于A, B两点，过F且与直线l垂直的直线交椭圆 Ci于另一点C,求ABC面积的最小值，以及取到最小值时直线l的方程.【答案】(I) y2 i； (n) ABC面积的最小值为9, x y 2. 42【解析】【分析】(I)由已知求出抛物线的焦点坐标即得椭圆中的a,再由离心率可求得 c,从而得b值，得标准方程；(n )设直线l方程为x my 2 ,设A(xi, y。B(x2, y?),把直线方程代入抛物线方程，化为 y的一元二次方程，由韦达定理得 y 丫2,乂丫2,由弦长公式得 AB ,同理求得C点的横坐标，于是可得 FC将面积表示为参数的函数，利用导数可求得最大值2 y b2i(a b 0),【详解】2x(I) .椭圆 Ci : -2 a长轴的右端点与抛物线 C2： y2 8x的焦点F